淺談高考數學考試中的不等式

席雪梅

(合肥體育運動學校 安徽合肥 230031)

不等式在數學中有著非常重要的地位，發揮著重要的作用。不等式在高考中一直都是熱門的話題，在往年的高考中占分比例較大，考查的形式多樣，運用到的方法也靈活多變。平時我們比較關注等式問題而容易忽視不等式的問題，殊不知不等式的研究涉及面更廣、難度相對比較大，但卻有利于學生獨立思維能力的提高；不等式題目出現的形式多種多樣，其解題方法的難易也有不同的差距。為了更好地掌握中學數學及高考數學題中不等式的內容、考點和解題技巧等，本文結合有關不等式的教材和研究者們的研究成果，對中學數學中不等式類題目進行研究，從而找出解題的技巧和規律，為學生的“學”和教師的“教”提供一定的幫助。

一、不等式的基本概念

數量關系可分為等量關系和不等量關系。不等量關系和等量關系是非常重要的研究對象，是解決數學問題的關鍵。下面描述的是不等式的內容和它本身的一些問題，其中有不等式的基本概念和中學中常見的不等式。

不等式是指不等量關系的式子，它分為嚴格不等式和非嚴格不等式，用數學符號“>”“<”連接的不等式稱為嚴格不等式，用“≥”“≤”連接的不等式稱為非嚴格不等式，也稱為廣義不等式。總的來說，用“≠”“>”“<”“≥”“≤”這些數學符號連接起來的式子，叫作不等式。

二、中學數學中的不等式試題研究

(一)不等式試題的統計與分析

我們知道中學數學中的不等式主要集中在高中階段，而高中教育的最終目標就是高考，高考標準化是由制定高考的大綱、試題的編擬和試卷的合成的標準化、考試實施的標準化、評分的標準化、分數轉化的標準化這五個部分構成。而在高考中，不等式又有著舉足輕重的地位，被很多的研究者作為研究對象進行研究。例如，《高中數學不等式高考試題分析與教學策略研究》的作者張惠淑對近幾年來高考中的不等式內容進行分析和總結，并對不等式教學提出了相應的教學目標。

1.不等式內容的考點統計與分析

對于不等式試題的統計，筆者從近幾年的高考入手，并加以分析。雖然不等式涉及的知識點很廣，但是高考對不等式的考查還是有著一定范圍的。根據高中教材和高考的說明，筆者從不等式性質的應用、解不等式、不等式中的線性規劃、求最值和取值范圍這幾個方面，來統計2017年到2020年這四年來不等式在高考中出現的頻率。如表1所示。

從表格中可以看出，各個地方近四年來高考涉及的不等式知識頻率較高的是最值問題和解不等式。其中全國Ⅰ卷中，解不等式知識出現的頻率最高，達到9次；全國Ⅱ卷中涉及不等式知識點頻率最高的是求最值問題，達到8次；全國Ⅲ卷中涉及不等式知識出現頻率最高的還是求最值問題；就北京卷而言，近四年來高考中涉及的不等式知識點的頻率比較均勻。以上是各個地方近四年來高考中涉及不等式知識出現的頻率分析，據此我們可以清楚地了解到各個地方對于不等式的考查更側重于哪個知識模塊。

2.不等式出現的題型統計與分析

在數學的高考試卷中除了江蘇卷沒有選擇題，其他的數學高考卷中的題型分為選擇題、填空題和解答題。筆者以2020年各個地方數學高考試卷中涉及不等式出題的類型及關于不等式出題數在總題量中占的比值進行統計。如表2所示。

從2020年高考數學不等式相關試題出題類型統計表中可以看出，不等式占總題量的比值都在30%以上，其中最高的是北京卷和江蘇卷占到50%，天津卷占到40%，全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷的比值在30%以上。2020年關于不等式的出題量各省都是大于或等于7題，江蘇卷有11題，天津卷和北京卷都有10題，全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷分別有7題、9題、9題。從題型數量上看填空題少于解答題少于選擇題，而天津卷中解答題與填空題都有5題不等式的題目。

(二)中學數學中的不等式試題類型及解法

根據對近幾年來全國各個地方高考數學涉及的不等式知識中了解到，高考數學主要是從解不等式、不等式性質的應用、不等式中的線性規劃、求最值和求取值范圍這五個方面來考查，下面將對這五個方面和解題經常用的方法進行研究。

1.解不等式問題

解不等式經常會用到幾何、函數、集合、導數等知識點，涉及的不等式有一元一次和一元二次不等式、高次不等式和指數不等式等。根據題目要求可以直接解出不等式或間接解不等式。一般情況下，這個問題會以選擇題和填空題的形式出現，但也會以解答題的形式出現。

(1)直接解不等式問題

(2020年高考全國Ⅰ卷)設集合A={x|x2-4≤0}，B={x|2x+a≤0}且A∩B={x|-2≤x≤1}則a=( )。

A.-4

B.-2

C.2

D.4

分析：先求出集合A、B，再根據數軸上交集的結果得到關于a的方程，最后解出方程就可以得到a的值了。

(2)間接解不等式問題

分析：這道題涉及高中必修4里的三角函數知識，解此題要熟悉三角函數的和角公式，通過降冪變為我們熟悉的正弦函數，最后求出f(x)在區間上的最值。

2.不等式性質的應用問題及解析

利用不等式性質來比較大小在利用不等式性質來比較大小的題型中，很多時候會涉及三角函數、指數函數、對數函數等知識，因此解決這類問題，就要對這些知識點牢固掌握并能靈活地運用。如下列題型。

(2020年數學高考全國Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b，則( )

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

3.線性規劃問題

線性規劃問題差不多每一年的高考都會考，其主要是對最值問題的考查，出題的形式也是有選擇題和填空題、解答題，主要以選擇題與填空題的形式出現。線性規劃問題要根據圖形求出最值，很多時候它的題型都差不多，但也有一些與常規題型不同的題，這時解題就需要較強的遷移能力。

分析：根據題目中的條件作出約束條件的圖形，并畫出可行域，根據目標函數找出合適的坐標，求出最大值。

4.不等式最值問題

求最值是比較常見的問題，也經常運用到基本不等式、柯西不等式等知識，并結合圓錐曲線與直線的臨界問題出現。

分析：這道題是利用均值不等式來求最值的。常用的求最值的方法有分離法、換元法、直接法、“1”的替換法等，需根據題型選用。例如對于多元不等式問題，比較簡便的方法就是換元，把多元的問題轉化為一元的問題，從而解題。

5.不等式取值范圍問題

求不等式的取值范圍也是常考的一個知識點，主要考查不等式與函數、向量之間的關系。近幾年來的高考數學中經常以選擇題、填空題的形式出現。

A.(-2，2)

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.(-∞,-2]∪[2,+∞)

D.[-2,2]

三、總結和建議

(一)關于中學數學中的不等式題目解法研究總結

不等式在數學中占著重要的地位，它涉及的知識體系非常廣，在龐大的數學體系中有著不可缺少的地位。本文主要以比較有代表性的高考不等式試題作為統計對象，進行研究。

在統計研究中發現高考的選擇題、填空題、解答題(除江蘇卷沒有選擇題外)里都有涉及不等式的知識，在題量上解答題多于選擇題多于填空題，并且每一年題型的變化情況相差不大，其題量大多占總題量的百分之三十以上。

在高考中，有關不等式的試題有五種類型：解不等式問題、不等式性質的應用、不等式中的線性規劃、求最值和求取值范圍。通過對這些題型的分析發現，它們的解決涉及的知識點很多，集合、函數、導數、圓錐曲線等知識都有涉及，或者是解決集合、函數、導數、圓錐曲線等知識問題時，不等式是解決問題的關鍵。而直接考查不等式的問題卻比較少。

在解不等式問題時，如果只停留在找出答案是遠遠不夠的，要靈活運用所學知識，多方面思考問題，找到突破點，從而解決問題。在面對形式各異的題型中如果遇到無理不等式時，要把其轉變成熟悉的有理不等式來求解；遇到有理不等式的分式不等式時，要把其轉變成容易求解的整式不等式；如果是整式不等式中的高次不等式，就把其轉變成低次不等式。并且要學會用數形結合的方式來分析解題，這在解決不等式的線性規劃問題中經常用到。

(二)教學建議

教學不等式時，要從教材出發，引導學生掌握好基礎知識，再通過不等式的練習提高解題能力。

在不等式的教學中，要教會學生用數學的眼光看問題，用數學的思想解決問題，要重視學生能力的培養，發展學生的數學素養。教學中要重視知識的系統性，并且要根據學生的知識結構，有針對性地進行教學，鼓勵學生一題多解，培養學生的發散性思維，讓學生在多種解法中找到適合自己的解法，進行快速解答。