數(shù)學(xué)建模視角下棱錐外接球半徑優(yōu)化求解路徑

張隆億，肖金枝

(福建省永春第一中學(xué)，福建泉州，362601)

數(shù)學(xué)建模能力是指能在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型,求解模型,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型;能對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題.數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)建模的重要內(nèi)容,主要包括:收集數(shù)據(jù),整理數(shù)據(jù),提取信息,構(gòu)建模型,進(jìn)行推斷,獲得結(jié)論.

含棱錐外接球半徑的試題，能有效考查學(xué)生對球的截面性質(zhì)，立體圖形到平面圖形轉(zhuǎn)化的掌握程度，考查邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).難度可控，常滲透在選擇題、填空題之中，備受高考命題者的青睞.從聯(lián)考的實(shí)測數(shù)據(jù)來看，這類試題得分率較低，本文以球的截面性質(zhì)抓手，建立模型，探求棱錐外接球半徑優(yōu)化路徑.

模型1：椎體內(nèi)接于長方體

常見的可內(nèi)接于長方體的椎體有：墻角棱錐及變形、對棱相等的三棱錐等.

案例1(2021·朝陽區(qū)校級四模·文改編)已知三棱錐A-BCD，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=3，則棱錐A-BCD的外接球表面積.

評注：試題以對棱相等的三棱錐為背景，考查棱錐的外接球面積.利用球的截面性質(zhì)直接求解,在求解截面外接圓半徑較為麻煩，費(fèi)事費(fèi)力時，抓住對棱相等這個主要條件，識別模型，利用模型優(yōu)化棱錐外接球的求解路徑，達(dá)到事半功倍的效果.

模型2：單截面模型

② 側(cè)棱長相等的棱錐P-ABC中，d=|h-R|(h為棱錐的高)

模型3：雙截面模型

案例4(2021·百強(qiáng)名校5月份模擬)已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PC=BC=2，AB=4，∠APC=120°，平面PAC⊥平面ABC，則球O的體積為.

簡而言之，棱錐的外接球半徑求解問題, 學(xué)生常因?yàn)闃?gòu)圖困難、無法球心位置、不能準(zhǔn)確將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形等造成失分.解題關(guān)鍵在于確定球心位置.本文以球的截面性質(zhì)為主要突破口，對棱錐的外接球半徑求解建模、解模做了些探索，優(yōu)化了求解路徑，有效破解此類問題的解題障礙，達(dá)到事半功倍的效果.