適應(yīng)于障礙物真實(shí)結(jié)構(gòu)的航天器集群避障運(yùn)動(dòng)控制*

周 昊 黨朝輝

1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072 2. 西北工業(yè)大學(xué)航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

0 引言

碰撞規(guī)避是航天器、無人機(jī)、機(jī)械臂、輪式機(jī)器人等真實(shí)個(gè)體或集群運(yùn)動(dòng)控制所必須考慮的重要因素。尤其在復(fù)雜空間環(huán)境中，由于衛(wèi)星等空間設(shè)備的高昂成本，為保證其正常工作，需要采取合適的策略避免其與障礙物發(fā)生碰撞。而對(duì)航天器集群而言，由于機(jī)載設(shè)備能力有限，需要采用較為簡單且有效的避障策略。現(xiàn)有的碰撞規(guī)避算法大致分為慎思規(guī)劃型[1-5]、反應(yīng)控制型[6]和混合集成型三類[7]。人工勢(shì)場(chǎng)法是一種典型的反應(yīng)控制型方法，適用于障礙物結(jié)構(gòu)和分布較為簡單的情形，具有控制律設(shè)計(jì)簡單、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，在自動(dòng)駕駛[8]、無人機(jī)/航天器編隊(duì)飛行[9-11]、航天器交會(huì)對(duì)接[12-14]、天體著陸探測(cè)[4]等領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用。

由于人工勢(shì)函數(shù)的一般形式是一個(gè)以點(diǎn)到障礙物距離為自變量的函數(shù)，與障礙物形狀無關(guān)，因而人工勢(shì)場(chǎng)法自誕生起便適用于一般形狀障礙物[15]。但除圓形或球形等簡單障礙物之外，點(diǎn)到障礙物表面距離一般沒有解析公式，從而限制了該方法的應(yīng)用范圍。對(duì)于長方體、圓柱等較為簡單的非球形障礙物，一種可行的策略是采用高階超二次曲面(superquadric，或稱超橢球，superellipsoid)對(duì)障礙物形狀進(jìn)行近似[15]或逼近[16](在障礙物表面處與其形狀相契合，在無窮遠(yuǎn)處趨近于常規(guī)橢球)。該方法可用于航天器近距離機(jī)動(dòng)控制[17]，復(fù)雜區(qū)域中無人機(jī)航跡規(guī)劃[18]、大型空間結(jié)構(gòu)自主裝配[19]等任務(wù)，并且可推廣至對(duì)圓錐、棱錐、梯形等更多幾何圖形的近似。Ren等受文獻(xiàn)[16]啟發(fā)，提出了一種基于廣義Sigmoid函數(shù)的不規(guī)則曲線/曲面障礙物勢(shì)場(chǎng)設(shè)計(jì)方法[20]，但由于勢(shì)函數(shù)的有界性，缺乏個(gè)體與障礙物間距離有界性的證明。Zhang等設(shè)計(jì)了一種類似于不規(guī)則天體多面體引力模型的勢(shì)場(chǎng)建模方法[21]。陳提等通過將航天器簡化為橢球的組合，并基于橢球表面間的近似距離度量，為航天器集群自主裝配設(shè)計(jì)了考慮個(gè)體間碰撞規(guī)避的控制律[22]。除避障外，非球形勢(shì)場(chǎng)還可用于制導(dǎo)等方面。如張大偉等基于橢圓蔓葉面勢(shì)場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)了航天器安全交會(huì)制導(dǎo)(但障礙物仍簡化為球體)[13]，等。

總而言之，對(duì)于非球形甚至不規(guī)則形狀的障礙物，由于其外形表征的困難，現(xiàn)有的大多數(shù)基于人工勢(shì)場(chǎng)的避障控制研究或者無法使所設(shè)計(jì)的人工勢(shì)函數(shù)精確擬合障礙物外形，或者依賴于障礙物的絕對(duì)位置和精確外形，并且普遍缺乏避障有效性的嚴(yán)格證明。為了使航天器/機(jī)器人/無人機(jī)等真實(shí)個(gè)體或集群實(shí)現(xiàn)在真實(shí)障礙環(huán)境下的避障運(yùn)動(dòng)，對(duì)于結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的障礙物的精細(xì)化碰撞規(guī)避，則普遍采用路徑規(guī)劃方法，如通過臨時(shí)改變個(gè)體的目標(biāo)位置以繞開障礙物[23]。這給個(gè)體的計(jì)算能力以及運(yùn)動(dòng)行為決策的實(shí)時(shí)性帶來了挑戰(zhàn)。

本文利用一種可由膠囊體(兩端面用半球替代的圓柱)、長方體等基本幾何體組成的復(fù)雜障礙物，設(shè)計(jì)一種可同時(shí)證明閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性及避障效果的避障運(yùn)動(dòng)控制方法。具體地，以參考航天器附近的航天器編隊(duì)形成運(yùn)動(dòng)控制為例，本文首先基于基本幾何體勢(shì)場(chǎng)以及參考航天器的幾何結(jié)構(gòu)，并借鑒經(jīng)典人工勢(shì)場(chǎng)的形式，給出一種適應(yīng)其幾何形狀的參考航天器勢(shì)場(chǎng)建模方法；然后針對(duì)編隊(duì)形成任務(wù)，為航天器集群設(shè)計(jì)一種考慮個(gè)體間、個(gè)體與障礙物間碰撞規(guī)避的控制律，并對(duì)該控制律作用下閉環(huán)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及碰撞規(guī)避效果進(jìn)行了嚴(yán)格的理論分析。最后通過仿真案例，說明所設(shè)計(jì)控制律在編隊(duì)形成和碰撞規(guī)避方面的有效性。

1 問題描述

考慮由n個(gè)航天器組成的集群相對(duì)于另一尺寸較大、結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的參考航天器的運(yùn)動(dòng)。其中參考航天器繞中心天體以圓軌道運(yùn)動(dòng)。因而可在參考航天器當(dāng)?shù)厮?當(dāng)?shù)劂U直坐標(biāo)系(簡稱為LVLH坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于參考航天器質(zhì)心處，x軸沿中心天體質(zhì)心到參考航天器質(zhì)心方向，z軸沿參考航天器角動(dòng)量方向，y軸按右手定則確定)中，將集群中任意一個(gè)航天器i(稱為追蹤航天器，i= 1,2,…,n)的運(yùn)動(dòng)表示為如下C-W方程：

(1)

其中,ξi= (xi,yi,zi)T∈R3×1為質(zhì)心位置坐標(biāo)，ζi∈R3×1為質(zhì)心速度坐標(biāo)，Ui∈R3×1為控制量，D21和D22分別為：

ω表示參考航天器繞中心天體的公轉(zhuǎn)軌道角速度。

2 障礙物的簡化及其人工勢(shì)場(chǎng)建模

當(dāng)給定障礙物幾何外形以及位置和方位參數(shù)后，其周圍的人工勢(shì)函數(shù)建模可按照障礙物幾何外形簡化→基本幾何單元分解→基本幾何單元?jiǎng)莺瘮?shù)構(gòu)造→基本幾何單元?jiǎng)莺瘮?shù)疊加4個(gè)步驟進(jìn)行(應(yīng)保證各基本幾何單元均為凸幾何體)，得到的人工勢(shì)函數(shù)負(fù)梯度即為所需的人工勢(shì)場(chǎng)。

考慮到航天器一般可簡化為基本幾何體的組合，我們分別給出點(diǎn)到兩種基本幾何體的距離公式，分別為點(diǎn)P(x,y,z)到膠囊體(兩端面用半球替代的圓柱)的距離公式：

(2)

以及點(diǎn)P(x,y,z)到長方體的距離公式：

(3)

其中,C(xC,yC,zC)分別為兩種幾何體的中心，r為膠囊體端部半球半徑，h為膠囊體的高，a，b和c分別為長方體的長、寬、高，如圖1所示。膠囊體縱軸默認(rèn)沿z軸方向，長方體的長、寬、高默認(rèn)沿x、y、z方向，否則先進(jìn)行坐標(biāo)變換，再套用上述公式。

圖1 兩種基本幾何體參數(shù)示意圖

在此基礎(chǔ)上給出上述幾何體人工勢(shì)函數(shù)形式化的表達(dá)式為:

(4)

(5)

如果參考航天器B可表示為基本幾何體Bi(i=1,2,…,nb，nb為參考航天器基本幾何單元個(gè)數(shù))的并集，并用VBi(x,y,z)表示基本幾何體Bi的勢(shì)函數(shù)，則參考航天器的人工勢(shì)函數(shù)可以表示為：

(6)

其負(fù)梯度即為參考航天器人工勢(shì)場(chǎng)。

我們參考中國空間站結(jié)構(gòu)，先分別合并各艙段的太陽能電池板以及橫縱兩組艙段本體，再分別用兩個(gè)膠囊體近似橫縱兩組艙段，用五個(gè)長方體近似各艙段的太陽能電池板，從而可將參考航天器幾何結(jié)構(gòu)表示為圖1中的7個(gè)基本幾何體的組合，得到圖2所示的參考航天器簡化幾何結(jié)構(gòu)。

圖2 參考航天器結(jié)構(gòu)圖

于是參考航天器的勢(shì)場(chǎng)/勢(shì)函數(shù)可表示為這些基本幾何體的勢(shì)場(chǎng)/勢(shì)函數(shù)的疊加。進(jìn)而可以在追蹤航天器的控制律中設(shè)計(jì)合適的避障項(xiàng)，使得追蹤航天器在成功到達(dá)目標(biāo)位置的同時(shí)，與參考航天器間的距離始終大于某一閾值，從而避免與其發(fā)生碰撞。

3 航天器集群控制律設(shè)計(jì)

使追蹤航天器i(i=1,2,…,n)運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)位置可視為使追蹤航天器i的如下誤差系統(tǒng)漸近收斂到0：

(7)

(8)

代入到原誤差系統(tǒng)式(7)可得到如下閉環(huán)誤差系統(tǒng):

(9)

其中,VB為公式(6)定義的障礙物勢(shì)函數(shù)，Vij為個(gè)體i和j(j= 1,2,…,n,j≠i)之間的勢(shì)函數(shù)，可類似于公式(4)，定義為

(10)

其中，Do> 0 為個(gè)體間碰撞規(guī)避檢測(cè)距離閾值，cSpacecraft> 0 稱為個(gè)體間碰撞規(guī)避系數(shù)。

上述誤差系統(tǒng)控制律式(8)對(duì)應(yīng)于原系統(tǒng)式(1)的控制律為：

(11)

為了證明閉環(huán)誤差系統(tǒng)式(7)的穩(wěn)定性，我們可以為整個(gè)集群構(gòu)造如下形式的正定李雅普諾夫函數(shù):

(12)

(13)

滿足半負(fù)定條件。所以在所設(shè)計(jì)的集群航天器控制律式(11)作用下，各航天器的閉環(huán)誤差系統(tǒng)式(9)是穩(wěn)定的，在不陷入局部極值的情況下能夠使航天器集群收斂到期望構(gòu)型。另一方面，由于障礙物排斥勢(shì)場(chǎng)在邊界處趨于無窮大，而包含障礙物勢(shì)函數(shù)的集群李雅普諾夫函數(shù)式(12)隨時(shí)間單調(diào)遞減，因此個(gè)體與障礙物表面不會(huì)發(fā)生碰撞。

4 仿真與結(jié)果分析

所得的仿真結(jié)果如圖3～6所示。可以發(fā)現(xiàn)，航天器集群能夠以10-6km量級(jí)的較高精度收斂到目標(biāo)構(gòu)型，并且集群個(gè)體間、個(gè)體與障礙物之間分別保持4.842 m和9.718 m以上的安全距離，同時(shí)個(gè)體控制量幅值處于10-4km/s2的可接受量級(jí)處。因而，所設(shè)計(jì)的控制律和參數(shù)取值能夠保證航天器編隊(duì)形成任務(wù)的安全成功執(zhí)行。

圖3 航天器集群編隊(duì)形成運(yùn)動(dòng)軌跡

圖4 各航天器位置誤差模值隨時(shí)間變化圖

圖5 各航天器控制量模值隨時(shí)間變化圖

圖6 航天器集群個(gè)體間及與障礙物表面最小距離變化圖

與之對(duì)比，在其他參數(shù)完全相同的情況下，采用文獻(xiàn)[22]中的一種橢球近似障礙物勢(shì)場(chǎng)重新進(jìn)行仿真。其中障礙物基本幾何單元由其包絡(luò)橢球替代，對(duì)應(yīng)的人工勢(shì)函數(shù)可表示為如下形式：

(14)

圖7 障礙物包絡(luò)橢球及其到點(diǎn)P(x,y, z)近似距離構(gòu)造

仿真參數(shù)η= 10-8km4/s2，γ=100 km-1，其他參數(shù)同上。得到的仿真結(jié)果如圖8～9所示。可以發(fā)現(xiàn)，由于在整個(gè)空間中避障力始終存在，集群最終構(gòu)型出現(xiàn)一定誤差(比期望構(gòu)型半徑偏大)。在γ不夠大時(shí)，這種現(xiàn)象較為明顯。并且，該方法會(huì)縮小個(gè)體的允許運(yùn)動(dòng)空間(位于圖7所示的包絡(luò)橢球之外)，限制了在軌服務(wù)空間范圍。

圖8 橢球近似障礙物勢(shì)場(chǎng)下的航天器集群運(yùn)動(dòng)軌跡

圖9 橢球近似障礙物勢(shì)場(chǎng)下的各航天器位置誤差模值隨時(shí)間變化圖

5 結(jié)論

研究了適應(yīng)于空間障礙物真實(shí)結(jié)構(gòu)的航天器集群避障運(yùn)動(dòng)控制問題。基于所建立的適應(yīng)于空間障礙物形狀的人工勢(shì)場(chǎng)，為航天器集群編隊(duì)形成設(shè)計(jì)了一種避障控制律，分析了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制律在目標(biāo)構(gòu)型形成、碰撞規(guī)避等方面的有效性。與已有的橢球近似人工勢(shì)場(chǎng)研究相比，本文勢(shì)場(chǎng)適應(yīng)于外形更一般化的障礙物的具體形狀特征。與已有無界形式的非球形人工勢(shì)場(chǎng)研究相比，本文勢(shì)場(chǎng)僅利用鄰近障礙物信息，并且僅依賴于個(gè)體與障礙物表面間的相對(duì)測(cè)量信息，擺脫了對(duì)障礙物整體幾何結(jié)構(gòu)的依賴。后續(xù)需要對(duì)所設(shè)計(jì)的控制律結(jié)構(gòu)加以改進(jìn)，以取得更好的避障運(yùn)動(dòng)效果。同時(shí)需要研究不同參數(shù)對(duì)性能指標(biāo)的影響，為該方法的實(shí)際應(yīng)用提供設(shè)計(jì)依據(jù)。