一次函數法巧析高中物理力學和電學實驗題

郭海明

（廣州中學，廣東 廣州 510630)

1 引言

高中物理實驗中明確要求學生具備實驗數據分析處理能力[1]。高中物理用到的數據處理方法主要有函數法和圖像法，相比而言，圖像法更加形象、直觀，是進行實驗數據處理的首選方法。受高中生知識水平以及手動繪圖的限制，高中物理實驗通常采用最簡單的線性圖像來處理數據[2]。通過對往年的高考實驗題進行分析，可以發現線性圖像出現的頻率極高[3]。然而，高考中出現的線性圖像往往是非常規的性線圖像，比如：在“探索加速度與力、質量的關系”這一實驗中，要求學生繪制的是a?F、a?M圖像，而在高考試題中給出的卻是圖像。因此，如果沒有一個清晰的解題思路，學生往往會覺得無從著手，使這類問題成為學習難點。由于試題中給出的是線性圖像，那么圖中代表橫坐標的變量x和代表縱坐標的變量y必然要滿足一次函數關系式：y=kx+b，這里k為斜率，b為圖像在y軸的截距。因此，解決這類實驗題的關鍵在于建立對應的一次函數關系式。我們根據多年的教學經驗，總結了一套用于解決這類線性圖線問題的普適性方法，我們稱之為“一次函數法”。該方法將解題過程分為以下四步：（1）明確圖像中滿足線性關系的物理變量；（2）將實驗的物理情形用數學表達式表式；（3）以題目中代表橫坐標的物理變量為x，以代表橫坐標的物理變量為y，將列出的數學表達式轉化成：y=kx+b的形式；（4）找到斜率k和截距b所代表的物理意義，并將其它物理量用k和b表式。接下來，我們將分別以力學實驗中“探索加速度與力、質量的關系”、“測量滑動摩擦系數”以及電學實驗中的“測量金屬電阻率”、“測量電源電動勢和內電阻”為例，介紹利用一次函數法解答與線性圖像有關的高考實驗題。

2 一次函數法在“探究加速度、力和質量關系”實驗題中的應用

2.1 實驗原理：

如圖1 所示，砝碼在重力作用下拉動小車在木板上作勻加速運動（在此之前平衡了小車所受的滑動摩擦力），在運動過程中，利用打點計時器在小車后面拖動的紙帶上打點，用以計算小車的加速度。通過改變砝碼的質量可以獲得力和加速度的關系；通過改變小車的質量（在車廂中加法碼）可以獲得質量和加速的關系。

2.2 例題分析

例題1：某同學使用圖1 所示的裝置，通過小車的運動來驗證牛頓第二定律；圖2 為研究“在合外力F保持不變的條件下，小車的加速度與其質量的關系”時所畫出的函數圖象。其中，以小車上砝碼的質量m為橫坐標，以小車加速度的倒數為縱坐標，直線的斜率為k，圖像的縱截距為b，若牛頓第二定律成立，則小車受到的拉力F為___________，小車的質量m'為___________.

圖1 實驗裝置

圖2 ? m圖像

解題方法與步驟：

（1）明確圖像中滿足線性關系的物理變量：從圖2 中可以看出，滿足線性關系的物理量是代表橫坐標的m和代表縱坐標的；

（2）將實驗的物理情形用數學表達式表式：法碼在重力作用下拉動質量為m' 的小車，小車上裝有質量為m的砝碼，使小車和法碼在木板上作勻加速運動，加速度為a，用數學表達式表式為：F=(m+m')a；（3）將列出的數學表達式轉化成：y=kx+b的形式：圖1（b）中代表橫坐標x的物理變量是小車上法碼的質量m，代表縱坐標y的物理變量是加速度的倒數，因此，我們將F=(m+m')a變形為：;

（4）找到斜率k和截距b所代表的物理意義，并將其它物理量用k和b表式：從式中可以得到圖像的斜率為，截距為，所以作用力.

3 一次函數法在“測量滑動摩擦系數”實驗中的應用

3.1 實驗原理

測量摩擦系數的實驗是高中物理中的常考實驗，而且用來測量摩擦系數的實驗也有很多。圖3 所示裝置為利用牛頓第二定律來測量摩擦系數，物塊在重物的牽引下由靜止開始運動，當重物落地后，物塊再運動一段距離后停在水平桌面上，用打點計時器和紙帶記錄物塊的運動。除此之外，還可以利用動能定理來測量摩擦系數，如例題2 所示。

圖3 利用牛頓第二定律測量滑動摩擦系數的實驗裝置

3.2 例題分析

例題2：利用如圖4 所示的裝置可測量滑塊與斜面之間的動摩擦因數，光電門A、B 兩點高度差為h，水平距離為s，一滑塊自斜面上下滑，滑塊上有一寬度為d的窄遮光片，滑塊每次從斜面上不同點由靜止開始滑下，記下其通過兩個光電門時相應的時間tA、tB值。某實驗小組同學實驗測量得到h=0.3 m，

圖4 利用動能定理來測量摩擦系數的裝置

d=0.5 cm，根據多次測量tA、tB值，由計算機處理得到和，圖像如圖5 所示，可計算得到滑塊與斜面動摩擦因數μ=(保留兩位有效數字)。

圖5 圖像

解題方法與步驟：

（1）明確題目中滿足線性關系的物理變量：從圖5 中可以看出，滿足線性關系的物理量是代表橫坐標的和代表縱坐標的；

（2）將實驗的物理情形用數學表達式表式：質量為m的滑塊在外力（重力和摩擦力）作用下沿斜面下滑。滑塊從A 運動到B 的過程，根據動能定理：外力所做的功等于滑塊動能的增量，可得：

4 一次函數在測量金屬電阻率實驗中的應用

4.1 實驗原理：

44.2 例題分析

例題3：某實驗小組利用圖6 所示電路圖來測量金屬絲的電阻率，圖7 為測得的實驗結果。螺旋測微器測得的金屬絲的直徑為0.200 mm。圖像中圖線的斜率k、電源電動勢E和金屬絲橫截面積s的乘積代表的物理量是，其數值和單位為（保留兩位小數）。

圖6 測量金屬絲的電阻率的電路圖

圖7 ? L 圖像

解題方法與步驟：

（1）明確圖像中滿足線性關系的物理變量：從圖7 中可以看出，滿足線性關系的物理量是代表橫坐標的L和代表縱坐標的；

（2）將實驗的物理情形用數學表達式表式：根據閉合電路歐姆定律可得；

（3）將列出的數學表達式轉化成：y=kx+b的形式：圖7 中，代表橫坐標x的物理變量是金屬絲的長度L，代表縱坐標y的物理變量是電流的倒數，因此，我們將變形得到：；

（4）找到斜率k和截距b所代表的物理意義，并將其它物理量用k和b表式：從式中可得圖線的斜率，截距為：。因此，圖像中圖線的斜率k、電源電動勢E和金屬絲橫截面積s的乘積為：。因此，圖像中圖線的斜率k、電源電動勢E和金屬絲橫截面積s的乘積代表的物理量是電導率ρ。由圖（b）可以得出圖線的斜率k=10.7A?1m?1，代入數據：E=3V，s=π/2×(d/2)2=1.57×10?8m2,可得：ρ=kEs=1.01×10?6Ωm。

5 一次函數在“電源電動勢和內電阻測量”實驗中的應用

5.1 實驗原理：

如電路圖8 所示，電源電動勢和內電阻滿足U=E?Ir，實驗中改變滑動變阻器的阻值，電路中的電流I和路端電壓U均發生相應的變化。通過做出電源的U?I圖線（如圖9），可以獲取以下信息：縱軸截距表示電源電動勢E；橫軸截距表示短路電流I短；線斜率的絕對值表示電源的內阻r（由，知，而直線的斜率，所以。

圖8 測量電源電動勢和內電阻的電路圖

圖9 U ? I圖線

5.2 例題分析

例題4：某實驗小組利用電壓表、電阻箱組成如圖10 所示電路，用來測量電池組的電動勢和內電阻，其中電池組由兩節干電池組成。實驗中測出幾組電阻箱的阻值R和對應電壓表的示數U。實驗結果如圖11 所示，若直線的斜率為k，縱軸截距為b，則電源電動勢為，電阻為 。

圖10 實驗電路圖，

圖11 ?圖像

解題方法與步驟：

（1）明確圖像中滿足線性關系的物理變量：從圖11 中可以看出，滿足線性關系的物理量是代表橫坐標的和代表縱坐標的；

（2）將實驗的物理情形用數學表達式表式：根據閉合電路歐姆定律可得：；

（3）將列出的數學表達式轉化成：y=kx+b的形式：圖11 中代表橫坐標x的物理變量是電阻箱電阻值的倒數，代表縱坐標y的物理變量是電壓表讀數的倒數，因此，我們將變形為：

（4）找到斜率k和截距b所代表的物理意義，并將其它物理量用k和b表式：從式中

6 結語

處理實驗數據的方法豐富多樣，利用函數圖像是處理數據的一把利器。本論文通過有關力學和電學的四道實驗題，簡單解析了線性圖像在力學、電學實驗中的應用。不管線性圖像中橫坐標和縱坐標如何變化，我們都可以先根據物理性形列出相應的數學表達式，然后經過變形處理，將表達式變換成y=kx+b這種一次函數形式，從而利用函數的斜率和截距求解出相應的物理量，達到事半功倍的效果。