物理模型建構過程中定性和定量思維發展研究
——以牛頓第二定律的應用等時圓模型建構為例

徐桂媚

(廣西百色高級中學，廣西 百色 533200)

1 研究背景

《普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）》學科核心素養提出：模型建構是科學思維的基本要素，科學探究包括問題、證據、解釋和交流等要素[1]。課程目標明確指出通過高中物理課程的學習，具有建構模型的意識和能力，能運用科學思維方法[1]，從定性和定量兩個方面對相關問題進行科學推理、找出規律、形成結論，從不同角度思考問題，追求科技創新[1]。另外，關于定性分析和定量計算方法的應用很多專家也進行過調查研究，筆者引用比較典型的研究成果，比如海門中學的潘岳松老師提出從定性分析到定量計算是提升學生物理學科核心素養的有效途徑[2]。針對他的方法介紹，他舉例：從極限法到變力做功模型，從特殊值法到流體模型，從電場線分布到等量同種電荷分布模型等[2]。他的方法理論水平既有高度又有深度，方法應用還有廣度。本研究以高中物理牛頓第二定律的應用等時圓模型建構教學為例，課堂中教師主要負責引導學生建構物理模型，在物理模型的應用過程以學生的思維發展和積極表達為主，對比教師全程講授的課堂，學生個體參與深度思考、集體積極討論，課堂學習有效性較高，老師在課堂上當眾表揚學生則會讓學生更愿意表達自己的想法，讓課堂充滿溫度。

2 等時圓模型建構

2.1 教師引導學生應用牛頓第二定律對等時圓模型的等時性進行推理論證

關于等時圓模型，有以下3 種典型情境。在3 種情境中，共同條件是要求研究對象為“質點”或可看作質點的物體；運動過程要求“由靜止開始”，也就是初速度為零；運動軌道為“光滑弦”。下面分別就3 種情境應用牛頓第二定律進行推理論證。

情境1：如圖1 甲所示。設某一條光滑弦與豎直方向的夾角為θ，圓的直徑為d，直徑對應的角為直角。質點從圓周上沿不同傾角的光滑弦做初速度為零的勻加速直線運動到達B 點[3]：

圖1 等時圓情境

由牛頓第二定律：mgcosθ=ma。得加速度a=gcosθ.由運動學公式.由幾何關系，dcosθ=x.得出結論運動時間為，與軌道長短，軌道傾角無軌。

情境2：如圖1乙所示。質點A點沿不同傾角的光滑弦做初速度為零的勻加速直線運動到達圓周上。證明過程與情境1類比，得出相同結論。

情境3：如圖1丙所示。設某一條光滑弦與豎直方向的夾角為θ，圓的直徑分別為d1和d2。質點由圓心為O1的圓周上沿傾角不同的光滑弦做初速度為零的勻加速直線運動到圓心為O2的圓周上：

由牛頓第二定律：mgcosθ=ma.得加速度a=gcosθ.由運動學公式.由幾何關系，d1cosθ+d2cosθ=x.所以運動時間為。

2.2 學生總結等時圓模型建構步驟

圖2 等時圓模型建構步驟

2.3 學生在等時圓模型應用過程中定性分析和定量計算思維發展

【例1】研究物塊沿圓環上不同的光滑桿從靜止開始自由下滑，如圖3和圖4。教學過程中發現，學生在學習等時圓模型之前，很多學生對題目的情境陌生，不會尋找題目中幾何關系的關聯之處，不會在看似不同的運動過程中用不變量代替變化量，甚至想不到應用動力學觀點思考問題。在學會建構等時圓模型之后，學生只需要達到模型構建第一步的要求，就可以用定性思維快速思考出結果為幾個過程運動時間相等。

圖3 例1圖示

圖4 例1圖示

【例2】(多選)如圖5甲所示，ac為虛線圓的豎直直徑，Oa、Ob和ad是豎直平面內三根固定的光滑細桿，物體分別沿細桿由靜止開始下滑，比較滑環沿Oa、Ob、da到達a、b所用的時間t1、t2、t3大小。

圖5 例2 圖

思維方式一：定性分析思維1。在學會建構等時圓模型之后，學生只需要達到模型構建第二步和第三步要求，就能針對題中運動過程快速判斷t1＝t3，對模型理解水平高的學生，可以根據題目圖示特征，應用模型建構步驟中構建最低點的辦法，定性平移Ob邊，使b點到達a點，由Oa和ad在等時圓上，Ob在等時圓外，如圖5 乙所示，就可以定性分析判斷出t2>t3＝t1.推薦學生用這一思路解決這個具體問題。

思維方式二：定性分析思維2。有學生嘗試建構等時圓最高點的辦法比較t1和t2的大小，如圖Ob弦在等時圓上，Oa弦在等時圓內，如圖5 丙所示，即t1

思維方式三：定性分析與定量計算相結合。由c→a和由O→b滑動的小滑環相比較，滑行位移大小相同，初速度均為零，但加速度aca>aOb，由可知，tca＜t2。這種思維方式會顯得比較復雜，學生也不容易掌握方法。

由以上分析可知，引導學生構建物理模型，在學生學習物理方法過程中可以把陳述性零散的思維方式向程序性思維方式轉化，對學生的思維發展是非常必要的。

【例3】如圖6 所示，有一個圓，其底部與另一半圓的直徑水平相切于o點，o點剛好是半圓的圓心，它們處在同一豎直平面內.現有三條光滑軌道aOb、cod、eof，軌道兩端均在上下兩圓的圓周上，軌道與豎直直徑的夾角關系為α>β>θ.現讓一質點先后從三條軌道頂端無初速度地下滑到底端，則質點在三條傾斜軌道上運動過程中所經歷的時間關系為[3]

圖6

A.tab＝tcd＝tefB.tab>tcd>tef

C.tab

思維方式一：定性分析思維1——模型建構與動力學觀點相結合。圖中等時圓部分運動時間相等，半圓部分每條軌道都是相等的半圓半徑，設沿ao軌道、co軌道、eo軌道到達o點的速度分別為va、vb、ve，v=gcosδt，由θ＜β＜α→ cosθ＞cosβ＞cosα學生可以判斷出va＜vc＜ve，ob過程、od過程、of過程位移大小相等，ta＞tc＞te也就是說小物塊在每一條傾斜軌道上滑動時所經歷的時間差異主要由下半圓的運動時間差異影響。

思維方式二：定性分析思維2——模型建構法。如圖7 所示，過d點作od的垂線與豎直虛線交于G，以oG為直徑作圓，可以看出f點在輔助圓內，而b點在輔助圓外，由等時圓結論可知，tab>tcd>tef。思維方式三：定量計算思維——由動力學觀點，列方程定量計算求解。設完整圓直徑為d，半圓半徑為r，質點運動軌道與豎直方向夾角為δ，則，由已知條件θ＜β＜α→cosθ＞cosβ＞cosα，即tab>tcd>tef。

圖7

3 培養學生定性和定量思維的方法策略

3.1 培養學生模型建構能力及定性分析和定量計算相結合的思維

在模型建構過程中，教師需要做好定量計算的示范，引導學生用定量計算的方法進行推理論證，只有教師在課堂上帶領學生得出數據的結論，學生才會信服，才能在應用中運籌帷幄。比如，在等時圓模型建構過程中，教師需要引導學生把質點的運動用動力學方程證明出質點在不同軌道上運動時間的大小關系。在模型應用過程中，用定性思維分析可以快速解決問題。

3.2 教師要善于把課堂時間還給學生

教師既要在備課時做好預設，也要在上課時給課堂生成機會，給學生有思考和表達的時間。相對于教師教法再精彩，學生也無動于衷的被動接受并且沒有時間思考問題的課堂教學。教師在上等時圓模型這一節課時，只是引導學生建構模型，其他時間都交給學生，讓學生思維發展有充分的時間。首先，從能夠在課堂上提出不同解題技巧的學生個人學習發展方面看，他不是被動接受老師的教法，而是思維緊跟老師的教學步驟，且自己也在集中精力對相關問題進行思考，這就是個人高效學習結果的具體表現。其次，從全班學生學習發展方面看，能夠有同學在課堂上提出與老師教法不同解題技巧，可以豐富全班同學的思維方式，而不是局限于學到老師備課時預設的學習內容；另外，一個學生的積極思考，也有助于全班學生積極參與進課堂，從而促進整個課堂所有學生進行有效學習。第三，從教師的教學發展來看，青年教師要探索快速成長路徑，符合《學記》中“教學相長”理論，學生需要時間思考，更需要表達想法的機會，不僅僅學生的關鍵能力得到發展，老師也可以從學生的思維方式和表達中得到預設以外成長。

3.3 及時反思有助于教師在課堂上更好地引導學生思維發展

關于等時圓模型的教學，教師在第二個班上課時，先是試探性地觀察提問，想尋找第二個班會不會也有老師預設以外的收獲。第一輪觀察提問中，沒有收獲。教師趁機分享了第一個班的快速解題技巧，并且表揚了第一個班的學生：善于緊跟老師的教學步驟，積極思考，有限時間里能夠提高學習效率，然后再拋出等時圓模型的另一道難度提高的題目。學生限時訓練，教師實時觀察記錄。走到一個男生的旁邊時，這個男生小聲地提問授課教師“如果這道題目讓老師解答，老師是不是想要先畫出等時圓？”老師回答是肯定的，因為授課教師預設的教學內容就是要讓學生掌握應用牛頓運動定律解決物理問題的關鍵能力，等時圓是一個應用牛頓運動定律來解決問題的理想化的物理模型，授課教師備課時每一道例題的選擇都是圍繞這一個思路準備的。這時男生說，我不用畫圓，解題更快，于是他給授課教師描述了他的方法。因為授課教師已經在上一個班收獲了預設以外的驚喜，這時候教師便讓這個男生上講臺，把他的方法分享給了全班學生，他覺得圖中上部分完整圓還是可以直接按照等時圓模型處理，下部分半圓，其實3 條軌道都是半徑，軌道的長度相等，軌道越陡時，物體運動越快。這一定性分析的解法贏得了全體學生熱烈的掌聲，定圓心找半徑畫軌跡作圖步驟對學生能力要求較高，而且時間較長，所以能夠不用作圖不用計算就解決問題的方法肯定是值得推薦的，但是，定性分析畢竟容易出問題，證據不如定量計算讓人信服。

3.4 教師與學生平等地進行學術交流可以增強學生信心

還是在第二個班授課，下課時，另外一個男生叫住授課教師，他還有另一個解題方法，同樣不用作圖，他不想影響老師的上課進度，所以選擇下課時間再跟老師討論，真是個體貼懂事的學生。該學生對物理過程，運用牛頓運動定律，通過運動分析寫出了運動學公式和受力分析找出來牛頓第二定律表達式，從而定量求出時間的表達式，那么，比較物體運動時間長短的問題就可以找到讓人信服的證據了。可見，在第二個班授課時，表揚第一個班的行為起到激勵第二個班思考問題的效果。課后一個女生繼續刨根問底說，定性分析的方法怎么能夠直接由軌道越陡，運動時間就越短呢？雖然情境中物體位移大小相同，但是，從半圓開始的過程，初速度是不同的。這時候教師不僅僅看到了學生積極思考，還看到了學生敢于質疑，能夠從別人的分析中提出自己的觀點，這又是更大的進步了。于是，教師給她介紹了定量分析的方法，她困惑了一天的問題，終于明白了。這個女生還說把定性分析命名為揚五州法，把定量分析命名為謝成法。