“計算海洋聲學”課程內容優化研究

劉 巍，馬樹青，藍 強

（國防科技大學 氣象海洋學院，湖南 長沙 410073）

一、課程介紹

“計算海洋聲學”是國防科技大學海洋信息工程、水聲工程方向的骨干專業課程，主要講授如何建立水聲傳播物理過程的數學模型及其相應的計算機算法，并通過計算機仿真研究海洋環境、聲源頻域與位置等聲學相關要素對海洋聲場的影響規律。目前我校“計算海洋聲學”課程教材為《計算海洋聲學（第二版）》，該書于1994年面世，并于2011年推出第二版，內容（按章節順序）主要包括：海洋聲學基礎、波動方程理論、射線法、波數積分法、簡正波法、拋物方程法、有限差分和有限元法、寬帶建模與噪聲建模，此外還涉及聲納方程、波束形成、匹配場處理等多種水聲應用技術，構成了內容豐富、架構完備的水聲建模理論體系，并通過多個水聲標準算例搭建了從理論模型到計算機仿真的技術鏈條［1］。

“計算海洋聲學”課程承擔著培養水聲信息領域高技術創新型人才的重要任務。該課程理論知識體系從水聲波動方程出發，沿環境簡化與方程近似兩條主線將波動方程各類求解方法分類展開，綜合運用高等數學、數學物理方法、計算方法、計算機編程等多方面的基礎知識，并涉及水聲物理、計算數學及計算機科學等領域的專業技術。學生通過該課程能夠掌握海洋中聲能傳播的求解方法，獲得水聲傳播基本物理規律，具備水下聲場建模與聲納性能評估的能力，并相應提高數學物理方程推導、水聲場計算機仿真、聲場可視分析等多方面的專業技術水平［2］。此外，該課程強調水聲物理與計算機技術相結合，能夠充分發揮國防科技大學在高性能計算、計算數學等學科的優勢，從而在我國水聲建模與仿真技術總體落后于發達國家的大背景下，爭取形成“計算海洋聲學”方向的局部優勢，并將研究成果適時融入課程，批量培養水聲信息方向的高技術創新型人才。

然而，該課程教學目前面臨著多方面的挑戰。學生方面，由于各類水聲模型均涉及大量數學公式，而選課研究生的本科專業背景多樣、數學基礎差異顯著，因此需要合理設定水聲模型數學方面的深度、難度才能提高研究生學習該課程的實際收益［3］。教師方面，由于海洋聲學在當今信息時代發展速度明顯加快，要求教師付出更多努力提升自己以適應當前快速、多元的學科發展態勢，此態勢的主要特征為：期刊電子檢索出現免費的趨勢，使相關研究信息生產與傳播速度提高；計算機性能提升迅速，海洋聲學借助計算數學與高性能計算而開辟的新技術發展賽道不斷涌現。課程教學內容方面，近幾年為了減輕研究生課業壓力，該課程學時數被大幅壓縮，這顯然與新知識不斷出現相矛盾，并直接促使任課教師對課程內容做相應調整。以上幾個方面的挑戰將課程發展改革的重點聚焦到課程內容上，為此本文結合課程教學實踐，對該課程內容的調整與優化進行了研究。

二、課程內容優化研究

課程內容優化的總體方案為：充分調研“海洋聲學基礎”等相關課程的知識體系，刪減重復內容；將現有教材中與整體知識架構不協調的時域有限差分與有限元法,替換為頻率域有限差分法；梳理“計算海洋聲學”知識體系，整合相近水聲模型教學內容；對課程知識體系進行整體優化。

（一）刪減重復內容

與“計算海洋聲學”課程內容相關的其他課程包括“海洋聲學基礎”“水聲信號處理”等，其中“海洋聲學基礎”（又名“水聲學原理”）課程包含了水聲學簡史、聲納方程、海水介質及邊界聲學特性、聲傳播理論（波動方程）、射線法（較詳盡）、簡正波法（較簡略）、水聲目標的聲反射與散射、海洋混響與噪聲、聲傳播起伏等內容，與“計算海洋聲學”教材中第一章（海洋聲學基礎）、第三章（射線法）、第五章（簡正波法）、第九章（環境噪聲）的內容有重疊；而“水聲信號處理”課程內容與“計算海洋聲學”第十章（噪聲中的信號）內容有重疊。因此，在“計算海洋聲學”課程學時數被大幅壓縮的情況下，可考慮刪減“計算海洋聲學”第一、三、九、十章。此外，“計算海洋聲學”第二章中的均勻介質與分層介質等內容可歸入第四章與第五章，從而使第二章可專注于波動方程推導與寬帶模型相關理論（原教材第八章）。

（二）替換不協調內容

“計算海洋聲學”第七章有限差分法和有限元法的內容為求解時間域波動方程的時域水聲模型，與第三章射線法、第四章波數積分、第五章簡正波和第六章拋物方程均為頻率域水聲模型并不協調。依據聲場中任意位置處的聲壓是否具有周期性，可將聲場類型分為穩態（steady-state）聲場與非穩態聲場。聲源短時間振動激發的聲場（類似于地震波）或聲源持續振動下的初始時間段內，聲場各位置的聲壓不具有周期性（非穩態），此時聲壓可由時域波動方程描述（聲壓是三維空間+時間的四維函數）。與非穩態聲場相對應的是穩態聲場，即持續簡諧振動的聲源（可能包含多個頻率），在經過足夠長的時間后，聲源激勵與邊界反射已經充分發展，時間平均聲能量傳輸路徑趨于穩定，聲場內任意點的聲壓具有類似簡諧振動的表達形式，此時可將時域波動方程轉換為頻率域Helmholtz方程，即對于某個特定頻率而言，頻率域聲壓僅與三維空間位置有關［4］。

目前，“計算海洋聲學”主要內容是如何準確、高效求解頻率域Helmholtz方程，雖然也存在求解時間域波動方程的算法，但因存在時間累積誤差、缺少標準算例、計算代價過大等原因，仍處于關鍵算法研究過程中，暫時不適合作為研究生課程教學內容。此外，近幾年來，采用數值方法直接離散水聲Helmholtz方程的水聲模型取得了令人矚目的進步，主要包括有限差分法、邊界元法與有限元法：其中邊界元法適合求解分層（各層交界面可不是平面）介質的聲場；有限元法通用性最好且容易處理各類邊界，但存儲量與計算量較大，目前暫未實現大規模海洋聲場模擬；有限差分法通用性較好，且具有高階精度格式構造簡單、規則網格坐標無須存儲、算法程序存儲量小、計算效率高等優點，已被用于求解三維海洋聲場。因此，可以采用求解頻率域Helmholtz方程的有限差分模型替換現有第七章內容，從而使該課程主要內容始終圍繞頻域水聲模型（課程知識脈絡更清晰）。頻率域有限差分模型的主要教學內容包括差分格式、聲源處理方法、邊界條件、完全匹配層、方程組求解、預條件加速、聲場數據可視化等，其中聲源處理方法可采用波數積分法或鏡像法，且有限差分模型在水平分層理想環境下的計算結果也可用波數積分法或鏡像法校核。

（三）整合相近模型

“計算海洋聲學”第四章波數積分與第五章簡正波都是在水平分層海洋環境下的波動理論解法，二者均根據聲場軸對稱特性將直角坐標水聲Helmholtz方程轉換為周向無關的柱坐標方程，并采用Hankel變換獲得Sommerfeld積分與深度分離波動方程（簡稱深度方程）。二者的區別是波數積分法直接求解深度方程并進行離散形式的水平波數積分；而簡正波法應用留數定理，忽略分支割線的積分，從而將沿實軸的積分轉換成實軸上的留數項之和。可見波數積分與簡正波的模型假設、求解過程類似，可考慮將兩章合并，在相同理論框架下（Sommerfeld積分）引出兩個分支（直接積分與留數定理）。目前《計算海洋聲學》教材第五章簡正波法中缺少三個與波數積分法緊密相關的知識點，分別是分離變量法、Wronskian行列式與深度方程缺失非齊次項。其中分離變量法在簡正波內容開始階段就被應用，但并未給出能夠使用分離變量法的前提條件；實際上，Sommerfeld積分式中的波數核函數僅與水平波數和深度有關，而Bessel函數僅與水平波數和水平距離有關，當水平波數離散后，即可實現深度項（波數核函數）與水平項（Bessel函數）的分離，此即簡正波可采用分離變量法的理論依據。而Wronskian行列式與深度方程缺失非齊次項是關聯的，波數積分法導出的深度方程具有奇異項，在跨過聲源點的線段上對深度坐標進行積分，可獲得聲源深度上、下表面的波數核函數及其導數的關聯條件（簡稱聲源條件），從而可將深度方程求解區域劃分為聲源上方與下方兩部分，并在聲源處通過聲源條件實現耦合（深度方程非齊次項即被聲源條件代替）；基于以上原因，波數積分法可采用傳遞函數矩陣法求解深度方程，將分別滿足上、下邊界條件的齊次深度方程解在聲源深度根據聲源條件建立聯系，進而獲得同時滿足上、下邊界條件的非齊次深度方程解，此解可寫成分數形式，且在簡正波法計算核函數留數時,需要對此分數的分母求導，即可得到分母位置的Wronskian行列式。從以上分析可知，簡正波法與波數積分法是緊密相關的，可考慮將兩章合并，在相同理論框架下引出兩個分支。

（四）優化課程知識體系

完成以上課程內容調整后，可對課程教學內容進行整體優化，“計算海洋聲學”新課程內容主要包括水聲波動方程推導、寬帶模型、波動理論類水聲模型與數值類水聲模型（拋物方程與頻域有限差分）。其中水聲波動方程以流體介質為對象（將沉積層也近似為流體），從理想（無黏性）流體歐拉方程出發，在海水宏觀靜止、小擾動（介質壓強變化與密度變化成正比）假設下，推導出時間域水聲波動方程（時空四維），再假設聲場具有穩態特性，將時間域水聲波動方程中物理聲壓的時間簡諧因子提出，從而獲得以頻率域復聲壓為變量的水聲Helmholtz方程（齊次方程）；然后定義Green函數形式，通過高斯定理配置Helmholtz方程非齊次項（狄拉克函數），并提出三類邊界條件，包括：第一類（Dirichlet，如海面壓力釋放邊界）、第二類（Neumann，如剛性海底邊界或對稱邊界）與第三類（Robin，如聲場人工截斷處的Sommerfeld輻射邊界）。

波動理論類水聲模型包含波數積分與簡正波兩類方法，從水平分層環境假設開始，推導柱坐標系Helmholtz方程，應用Hankel變換得到非齊次深度方程與Sommerfeld積分方程，然后引出直接積分與應用留數定理兩個分支：直接積分先對水平波數進行離散，然后采用傳遞函數矩陣法（或有限元法）求解每個水平波數下的深度方程，并采用梯形公式計算Sommerfeld積分（即波數積分法），也可將Bessel函數近似為指數函數（遠場近似）并采用快速Fourier變換技術加快計算（即快速場模型）；應用留數定理可將沿實軸正向的Sommerfeld 積分轉換成有限個留數項之和（忽略虛軸路徑的積分值），計算速度可顯著提高，教學內容涉及簡正波表達式的推導（如上節關于Wronskian 行列式的討論）、齊次深度方程特征值與特征向量求解、多個簡正波的合成等。此外，拋物方程模型與頻域有限差分模型也具有多方面的相似之處，即二者均需要設置網格、邊界條件與初始聲場，二者也可進行某種方式的聯合，如在直角網格下，用有限差分法迭代計算近距離聲場，然后啟動拋物方程模型讀入有限差分求解區域的最外層結果并用作其初始場，進而向外逐層推進求解遠距離聲場。因此，可考慮設置一個數值水聲模型類（與波動理論類并列），并引出拋物方程與頻域有限差分兩個分支。

結語

“計算海洋聲學”與計算機技術緊密相關，其內容只有隨著計算機技術的發展而不斷調整與更新，才能保持課程活力，從而吸引研究生選修該課程，并促進“計算海洋聲學”技術持續發展。進入新世紀以來，超級計算機、高性能計算、云計算、量子計算、5G、大數據、機器學習、人工智能等具有革命性的計算機技術快速迭代，知識分化速度加劇，大量具有時代氣息的新領域、新課程不斷出現，而研究生課程學時總量有限，為了減輕研究生的課業負擔，“計算海洋聲學”等具有較長學科歷史的課程學時被相應壓縮。計算機學科的飛速進步與課程學時被縮減形成了課程內容改革的外部壓力，促使授課教師突破現有“計算海洋聲學”教材限定的課程內容框架，處理好各相關課程的教學內容分配與知識銜接，并在保持課程本質不變的情況下盡可能吸納更先進的計算機技術。本文對“計算海洋聲學”課程內容進行了調整與優化，可更加清晰地梳理該課程知識體系，但教學內容與方案仍需要在未來進行不斷修改與調整，以將計算機技術與計算海洋聲學技術的進步及時融入課程，實現課程的常講常新。