舒爾不等式的四元形式

我們知道，著名的舒爾不等式的一種三元形式為：已知a,b,c≥0, 則有abc≥(b+ca)(c+a-b)(a+b-c) ①.在文獻[1]中，給出了不等式①的四元形式：

問題1：設a,b,c,d是非負實數，證明：(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)≤(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)②.

說明：顯然，在不等式②中令d=0,便導出舒爾不等式①.

針對如下形式的舒爾不等式：已知a,b,c≥0, 則有(a+b+c)3+9abc≥4(a+b+c)·(ab+bc+ca)③.

探究其四元形式，筆者獲得：

問題2：已知a,b,c,d≥0, 證明：(a+b+c+d)3+9(abc+bcd+cda+dab)≥4(a+b+c+d)(ab+bc+ca+ad+bd+cd)④.

證明：不妨設a≥b≥c≥d≥0,應用三元舒爾不等式有(a+b+c+d)3=[a+b+(c+d)]3≥4(a+b+c+d)[ab+b(c+d)+(c+d)a] -9ab·(c+d).于是，只要證明4(a+b+c+d)[ab+b(c+[d)]+(c+d)a]-9ab(c+d)≥4(a+b+c+d)(ab+bc+ca+ad+bd+cd)-9(abc+bcd+cda+dab)等價于9(bcd+cda)≥4(a+b+c+d)cd,等價于9(a+b)≥4(a+b+c+d), 因為a≥b≥c≥d≥0,所以9(a+b) ≥8(a+b)≥4(a+b+c+d),成立.獲證.

說明：顯然在不等式④，令d=0,便導出舒爾不等式③.