基于合成導向矢量廣義MUSIC算法的水平極化米波雷達測高方法

王國鉉， 王鴻幀， 鄭桂妹， 宋玉偉

(空軍工程大學防空反導學院，西安，710051)

米波雷達因具有信號衰減弱、探測距離遠、抗擊隱身目標和反輻射導彈能力突出等優點，被廣泛應用于現代戰爭[1]。但其波束較寬、波段較低，在低仰角區域地(海)面反射回波較強而不可忽略，導致嚴重的多徑效應，在對低空、超低空目標的檢測及跟蹤上存在弱點[2-3]。目標高度與仰角具有幾何對應關系，測量目標高度等效于測量目標仰角[4]。低空目標仰角估計問題可等效為2個空間臨近相干源的超分辨問題[5]，超分辨技術是提高米波雷達低空目標仰角估計性能的重要手段。

為解決多徑條件下目標仰角估計中直達波與反射波之間的強相干性，可以采用空間平滑[6-9]、矩陣重構[10]等解相干算法進行解相干處理或利用無需解相干的最大似然[11-13]或廣義MUSIC[14-16]算法估計目標仰角。空間平滑算法將整個陣列劃分為多個重疊的子陣，通過對各子陣協方差矩陣求平均的方式達到解相干的目的，有前向平滑、后向平滑和前后向平滑3種方式。空間平滑算法不僅要求陣列具有平移不變性的特殊空間幾何結構，而且會損失陣列有效孔徑從而導致測角精度下降。文獻[7]將前后空間平滑多重信號分類(forward backward spatial smoothing multiple signal classification，FBSSMUSIC)算法應用到米波雷達低仰角估計中，但效果一般。文獻[8]綜合分析了FBSS解相干算法在米波雷達低空目標測高問題中應用，指出該算法即使在接收信號協方差矩陣滿秩條件下，也會出現去相干失效、仰角誤差很大的現象。文獻[9]研究表明空間平滑算法在多徑衰減系數相位為0°或±180°時解相干能力幾乎為0，仰角估計誤差會急劇增大。典型的矩陣重構類解相干算法有Toeplitz矩陣重構法[10]，其根據回波數據協方差矩陣的Toeplitz性質進行矩陣重構來解決協方差矩陣秩虧問題。矩陣重構類方法不犧牲陣列孔徑，但其不是無偏估計所以誤差較大。另外，最大似然算法和廣義MUSIC算法無需解相干處理即可估計出目標仰角。文獻[11]將ML算法利用交替投影(alternating projection, AP)技術求解應用到米波雷達測高中，將回波相關矩陣在各個信號子空間中交替迭代，完成目標的DOA估計。文獻[12]提出了陣列內插的波束域ML測高方法，采用陣列內插的方法在保證大間距線陣波束域變換無模糊性的同時降低了運算量。文獻[13]緊密結合米波常規陣列雷達特點，在鏡面多徑反射信號模型基礎上，總結歸納了以傳統ML算法為基礎的3種米波雷達測高方法，并對這些方法進行了理論性能分析，梳理了3種方法之間的相互關系。然而，最大似然算法計算復雜度相對于廣義MUSIC算法高，尤其是在多個目標DOA估計場景中。

基于此，本文在均勻線陣米波雷達經典鏡像多徑傳播信號模型基礎上，總結歸納了以廣義MUSIC算法為基礎的3種測高方法：①基于改進廣義MUSIC算法的測高方法[14]；②基于廣義MUSIC算法的低仰角和多徑衰減系數聯合估計的測高方法[15]；③基于合理權值的廣義MUSIC算法的測高方法[16]。并在重點分析以上算法的基礎上提出一種采用新的導向矢量的基于廣義MUSIC算法的精確測高方法，通過仿真實驗驗證了其有效性與優越性。

1 信號模型

假設一個米波雷達采用垂直放置的均勻線陣作為接收天線，其采用經典鏡像多徑傳播信號模型，見圖1。雷達在A處，目標在T處，B為多徑反射點。其中ha和ht分別為天線架設高度和目標高度，R為雷達與目標的水平距離，Rd與Ri分別為直達波和多徑反射波路徑長度，θd與θs分別為目標直達波與反射波入射角。

圖1 米波雷達經典鏡像多徑傳播模型

由圖1可得Rd和Ri分別為：

(1)

(2)

對式(1)和式(2)進行二項式展開可得：

(3)

(4)

在實際情況中，當目標飛行高度較低時，R≥ha,ht。因此可舍棄高次項，僅保留二項式中的前兩項，得到Rd和Ri的近似值為：

Rd=R+(ht-ha)2/2R

(5)

Ri=R+(ht+ha)2/2R

(6)

則直達波與反射波的波程差ΔR的公式[17]為：

ΔR=Ri-Rd≈2htha/R=2hatan(θd)

(7)

因波程差ΔR引起的相位差α為：

α=2πΔR/λ=4πhatan(θd)/λ

(8)

式中：λ為波長。

米波雷達回波信號有4條傳播路徑：A-T-A路徑、A-T-B-A路徑、A-B-T-A路徑和A-B-T-B-A路徑。常規陣列米波雷達估計低空目標仰角時，因距離分辨力有限，往往將低空目標和鏡像目標當作同距離單元內的目標，因此可僅考慮接收多徑，將其看作2條路徑，即A-T-A路徑、A-T-B-A路徑[17]。

則在t時刻第m個陣元接收數據為：

(9)

式中：j為虛數單位，ε=ρe-jα表示多徑衰減系數，ρ為地面反射系數；s(t)為信號復包絡；nm(t)為加性高斯白噪聲。

則整個陣列在t時刻接收到的數據為：

X(t)=[x1(t),…，xm(t),…，xM(t)]T=

[a(θd),a(θs)][1,ε]Ts(t)+N(t)=AΓs(t)+N(t)

(10)

式中：N(t)為加性高斯白噪聲矢量；t∈(t1,t2,…,tL)，L為快拍數；M為天線陣元數目；Γ=[1,ε]T，A=[a(θd),a(θs)]為信號復合導向矢量，a(θd),a(θs)表示直達波與反射波的導向矢量，表達式為：

a(θd)=[1,…,e-2jπdmsin(θd)/λ,…,e-2jπdMsin(θd)/λ]T

(11)

a(θs)=[1,…,e-2jπdmsin(θs)/λ,…,e-2jπdMsin(θs)/λ]T

(12)

根據式(10)可計算信號協方差矩陣為：

(13)

(14)

式中：X為整個陣列接收數據矩陣。

為了討論問題方便，文中假設為單目標模型，非相干多目標情況類似，這里不再贅述。

2 基于廣義MUSIC算法的測高方法

將廣義MUSIC算法應用于米波雷達測高中，其譜峰搜索方程如下：

(15)

由圖1中的幾何關系易得：

sin(θd)=(ht-ha)/Rd

(16)

sin(θs)=-(ht+ha)/Ri

(17)

又有R≈Rd≈Ri，則由式(16)和式(17)推導出θd與θs的關系式如下：

θs=-arcsin(sin(θd)+2ha/R)≈-θd

(18)

利用式(18)可將復合導向矢量A由二維降為一維。降維后的導向矢量如下：

A1=[a(θd),a(-arcsin(sin(θd)+2ha/R))]

(19)

降維后的廣義MUSIC譜峰搜索方程如下：

(20)

(21)

該方法在降低運算量的同時提升了測高精度[14]，稱此為方法(1)。

文獻[15]在此基礎上，提出了一種目標仰角和多徑衰減系數聯合估計算法，即方法(2)。其搜索方程式如下：

(22)

(23)

式中：ω=[1,0]T。

方法(2)經過一次角度搜索，可同時估計目標角度和多徑衰減系數ε，后可利用多徑衰減系數計算得到地面反射系數ρ。

文獻[16]理論推導出方法(1)和方法(2)有效性的實質是對基本譜峰搜索方程進行加權，抑制了小角度產生的大譜值。在此基礎上，提出了基于廣義MUSIC算法的低仰角估計方法模型，并給出方法(3)。其搜索方程式如下：

(24)

(25)

(26)

經文獻[16]仿真驗證，當式(25)中δ≤1，式(26)中δ=1.1時，方法(3)精度最高。由于兩式效果相近，本文實驗選取式(26)進行對比仿真。

與方法(1)和方法(2)相比，方法(3)利用了更加合理的權值，對于低仰角目標估計的成功概率更高，測高精度優于方法(1)和方法(2)或與其一致，總體上性能更優。

3 基于合成導向矢量廣義MUSIC算法的測高方法

基于合成導向矢量廣義MUSIC算法的測高方法是在方法(1)基礎上，利用多徑衰減系數ε中地面反射系數ρ的先驗信息，將多徑反射條件下的合成導向矢量A0代替降維后的復合導向矢量A1，再用廣義MUSIC算法進行譜峰搜索得到目標仰角估計值。

3.1 地面反射系數分析

水平極化和垂直極化條件下的Fresnel反射系數ρh、ρv表達式分別為：

(27)

(28)

式中：φg為擦地角；εc為地面復介電常數，通常可由相對介電常數εr、波長λ和電導率σe表示，εc=εr-j60λσe。

在水面、陸地、植被等不同的陣地場景下，其大小不盡相同，常見介質下的參數見表1。

表1 幾種典型介質參數

圖2和圖3分別為不同極化方式下，波長為1 m條件下，不同反射介質下的Fresnel反射系數幅度和相位與擦地角φg之間的變化圖。分析圖2和圖3，得到以下結論：當擦地角較小時，即目標處于低仰角區域時，各反射介質下的水平極化Fresnel反射系數幅度近似為1，相位近似為180°。即當雷達信號為水平極化波時，低仰角區域ρ取值在-0.9至-1之間。而垂直極化Fresnel反射系數的幅度先隨著擦地角的增大而快速減小至最小值(對應擦地角被稱為Brewster角)，然后隨著擦地角的繼續增大，垂直極化Fresnel反射系數的幅度開始逐漸增加。值得注意的是，不同反射介質下的Brewster角均不相同，且當擦地角在Brewster角附近時，垂直極化的相位會快速下降。

(a) 水平極化菲涅爾反射系數幅度

(b) 垂直極化菲涅爾反射系數幅度圖2 菲涅爾反射系數幅度隨擦地角變化

(a) 水平極化菲涅爾反射系數相位

(b) 垂直極化菲涅爾反射系數相位圖3 菲涅爾反射系數相位隨擦地角變化

從上述分析結論中可知，垂直極化波的地面反射系數由于在低仰角區域幅度和相位的劇烈變化不能當成已知量，而對于水平極化波而言，將地面反射系數當成已知量是可行的。

3.2 基于合成導向矢量的廣義MUSIC算法

綜上所述，合成導向矢量A0的表達式為：

A0=A1Γ=

[a(θd),a(-arcsin(sinθd+2ha/R))][1,ε]T=

a(θd)+ρe-jαa(-arcsin(sinθd+2ha/R))

(29)

則合成導向矢量廣義MUSIC算法譜峰搜索方程如下：

(30)

根據式(8)，反射波與直達波的相位差α=4πhatan(θd)/λ，當天線架高ha和波長λ已知時，α是隨θd變化的變量。這樣多徑條件下A0是θd的函數，則式(30)為一維搜索。經譜峰搜索獲得目標仰角后，根據式(21)計算目標高度。

綜上，總結基于合成導向矢量廣義MUSIC算法的水平極化米波雷達測高方法步驟如下：

步驟1根據雷達陣元位置按照式(11)～(12)計算其直達波導向矢量a(θd)和反射波導向矢量a(θs)，得到復合導向矢量A=[a(θd),a(θs)]；

步驟2利用式(18)對復合導向矢量A進行降維得到降維導向矢量A1；

步驟3在水平極化Fresnel反射系數已知的情況下，按照式(8)計算波程差引起的相位差α，后按照式(29)計算合成導向矢量A0；

步驟6利用式(21)提供的幾何關系將目標仰角數據轉換為目標高度數據。

上述步驟利用的地面反射系數是根據陣地條件并經試驗校正后的已知參數。

3.3 方法性能分析

由估計理論可知，同樣的條件下，若信號的先驗知識越多，所需估計的參數就越少，則性能也越好。本文方法利用了水平極化米波雷達在水平地面上反射系數ρ已知的先驗知識，因而仰角估計誤差相對于前3種方法也會大大降低，雷達的測高性能會進一步提高。

需注意的是，本文方法有以下限定條件：①陣地反射面必須滿足瑞利條件，是平坦地面，當陣地為起伏地面時測高精度會隨著起伏程度變大而下降，可提前探測地形條件并通過已知目標修訂地面反射系數數值，從而提高本文方法精度和適應性；②本文信號模型未考慮地球曲率，即目標距離需小于雷達直視距離；③當天線架高ha與信號波長λ的比值ha/λ過大時，反射波與直達波的相位差α將會存在大于2π的情況，這樣在譜峰搜索時會存在假譜峰。根據雷達基本參數設置天線架設高度，當θd最大值取10°時，ha/λ小于0.5/tan(10°)=2.83時不存在假譜峰的問題，若米波雷達波長為2 m，則其天線架設相對陣地反射面的高度ha需小于5.6 m。

4 仿真實驗

各實驗基礎條件設置如下：考慮一米波雷達采用垂直均勻線陣，回波信號為水平極化波，雷達工作頻率f0=150 MHz，陣元數目M=8，陣元間隔d=0.5λ，地面反射系數ρ=-0.95，添加噪聲為高斯白噪聲。本文采取蒙特卡洛重復實驗對比不同算法的測高精度，實驗次數為300次，高度均方根誤差(root mean square error，RMSE)公式為：

(31)

4.1 空間譜對比實驗

實驗條件：空間非相干目標數量為2，目標1高度ht1=10 km，目標2高度ht2=20 km，2個目標距離均為200 km，即目標1直達波入射角θd1=2.86°，目標2直達波入射角θd2=5.74°，信噪比SNR分別取20 dB和10 dB，快拍數L=30，天線高度ha=5 m，角度搜索范圍為0°～10°，搜索間隔為0.1°。

圖4給出2種方法的空間譜對比圖。仿真結果表明：①當SNR取20 dB時，文獻[16]與本文方法都能準確測量目標仰角，但本文方法譜峰更尖銳，性能更佳；②當SNR取10 dB時，文獻[16]方法的空間譜只有1個譜峰，已無法準確分辨兩個目標仰角，而本文方法仍能清晰分辨2個目標仰角，角度分辨力更強，主要因為本文方法利用了地面反射系數ρ已知的先驗信息。

(a)SNR=20 dB

(b)SNR=10 dB圖4 空間譜對比圖

4.2 目標仰角影響測高性能實驗

實驗條件：空間目標數量為1，Rd=100 km，SNR=10 dB，L=30，ha=5 m，改變目標仰角的取值，變化范圍為0.6°～9°，角度間隔為0.3°。角度搜索范圍為0°～10°，搜索間隔為0.01°。

圖5(a)給出2種方法目標仰角與高度RMSE的關系圖。仿真結果表明：①目標仰角與高度測量誤差一定程度上呈負相關關系，但存在隨目標仰角變化在區間內會呈現一定的起伏變化，主要原因是目標仰角變化帶來多徑衰減系數相位的周期性變化，進而影響了算法效果。隨著目標仰角進一步變大，直達波和反射波的間隔變大，算法效果受衰減系數相位的影響逐漸變小，高度估計性能整體呈上升趨勢。②總體上看，在同等目標仰角條件下，隨著先驗信息利用增多，本文方法高度測量精度較文獻[16]更高，性能更佳。③與文獻[16]方法相比，本文方法高度測量誤差并沒有隨著目標仰角的變化有較大的起伏變化，說明在已知地面反射系數數值的情況下本文算法大大降低了多徑效應的影響。

(a) 測高精度

(b) 分辨成功概率圖5 目標仰角對測高性能的影響

圖5(b)為目標仰角變化時的分辨成功概率。當空間譜曲線在直達波方向和多徑信號方向附近產生明顯的譜峰，且兩峰值之間的空間譜曲線為凹曲線時認為分辨成功。仿真結果表明對波束寬度內的2個相干源，本文方法較文獻[16]分辨成功概率更高，具有更低的分辨率門限。

4.3 天線架高影響測高精度實驗

實驗條件：空間目標數量為1，θd=6°，Rd=200 km，L=30，SNR=10 dB，改變ha的取值，變化范圍為3～20 m，間隔為1 m，角度搜索范圍為0°～10°，搜索間隔為0.01°。

圖6給出了2種方法天線架高與目標高度RMSE關系圖。仿真結果表明：①當目標直達波入射角固定時，高度估計誤差隨天線高度變化一定程度上呈周期性變化，主要原因是天線高度變化帶來多徑衰減系數相位的周期性變化，進而影響到算法效果;②總體上看，在同等天線高度條件下，隨著先驗信息利用增多，本文方法高度測量精度較文獻[16]更高，性能更佳；③與文獻[16]所提方法相比，本文方法高度測量誤差并沒有隨著天線架高的變化有較大的起伏變化，說明在已知地面反射系數數值的情況下本文算法大大降低了多徑效應的影響。

圖6 天線架高對測高精度的影響

4.4 信噪比影響測高精度實驗

實驗條件：空間目標數量為1，θd=4.5°，Rd=200 km，ha=5 m，L=30，SNR取值范圍為-10～20 dB，變化間隔為5 dB，角度搜索范圍為0°～10°，搜索間隔為0.01°。

圖7給出2種方法信噪比與目標高度RMSE關系圖。仿真結果表明：①信噪比與不同方法的高度測量精度呈正相關關系；②總體上看，在同等信噪比條件下，隨著先驗信息利用增多，本文方法測量精度較文獻[16]更高，性能更好。

圖7 信噪比對測高精度的影響

4.5 快拍數影響測高精度實驗

實驗條件：空間目標數量為1，θd=4.5°，Rd=200 km，ha=5 m，SNR=10 dB，快拍數L取值范圍為3次至30次，變化間隔為3次，角度搜索范圍為0°至10°，搜索間隔為0.01°。

圖8給出2種方法快拍數與目標高度RMSE關系圖。仿真結果表明：①快拍數與不同方法的高度測量精度呈正相關關系；②總體上看，在同等快拍數條件下，隨著先驗信息利用增多，本文方法測高精度較文獻[16]更高，性能更好。

圖8 快拍數對測高精度的影響

4.6 幅相誤差影響測高精度實驗

實驗條件：空間目標數量為1，θd=6°，Rd=200 km，L=30，SNR=10 dB，ha=5 m，幅度誤差和相位誤差均服從均勻分布，幅度誤差變化范圍為0%～20%，變化間隔為2%，相位誤差變化范圍為0°～45°，變化間隔為5°，角度搜索范圍為0°～10°，搜索間隔為0.01°。

圖9給出2種方法幅相誤差與目標高度RMSE關系圖。仿真結果表明：①隨著幅相誤差的增大，算法性能隨之下降；②總體上看，在同等幅相誤差條件下，隨著先驗信息利用增多，本文方法測高精度較文獻[16]更高，性能更好；③相位誤差在10°以內對本文算法影響不大。

(a) 存在幅度誤差

(b) 存在相位誤差圖9 幅相誤差對測高精度的影響

4.7 地面反射系數誤差影響測高精度實驗

實驗條件：地面反射系數誤差變化范圍為0%～20%，變化間隔為2%，其它仿真條件與4.6節相同。SNR分別取0 dB和-10 dB。

圖10給出兩種方法兩種SNR條件下地面反射系數誤差與目標高度RMSE關系圖。仿真結果表明：①地面反射系數誤差對文獻[16]算法估計性能無較大影響，即文獻[16]算法未考慮地面反射系數誤差的影響，而本文算法中，當SNR較低時，地面反射系數誤差對算法估計性能影響較大，影響程度隨著SNR降低而變大，主要原因是本文算法利用了地面反射系數已知的先驗條件；②總體上看，在同等地面反射系數誤差時，無論何種SNR，本文方法測高精度均較文獻[16]更高，性能更好。

(a) SNR=0 dB

(b) SNR=-10 dB圖10 地面反射系數誤差對測高精度的影響

5 結語

本文緊密結合米波常規陣列雷達的特點，總結和歸納了現有的基于廣義MUSIC算法的3種測高方法，并利用雷達陣地反射面滿足瑞利判據時水平極化波地面反射系數可已知的先驗信息提出了一種采用直達波和反射波合成導向矢量的基于廣義MUSIC算法的精確測高方法。經仿真驗證，隨著先驗信息利用增多，本文所提方法比現有基于廣義MUSIC算法的測高方法具有更佳的高度測量精度及角度分辨力，但使用時需根據陣地情況提前校對好地面反射系數，防止因地面反射系數出現偏差造成測高性能下降。