關于非齊次樹指標馬氏鏈隨機矩陣的一個強偏差定理

金少華，王麗君，譚彥華

（河北工業大學 理學院，天津 300401）

0 引言

強偏差定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一，對強偏差定理的研究不僅對概率論與隨機過程自身的發展很有意義，而且在統計學中統計量的分析及排隊論的逼近理論中有廣泛應用。樹模型近年來已引起物理學、概率論及信息論界的廣泛興趣。樹指標隨機過程已成為近年來發展起來的概率論的研究方向之一?？茖W家在研究桿狀菌的分裂時，總結出桿狀菌分裂的規律，即一個桿狀菌在分裂時，從中間斷開，這樣就分裂成兩個新桿狀菌，這兩個新的桿狀菌為原來桿狀菌的后代。如果把每一次分裂中的桿狀菌看成一個頂點，那么桿狀菌的分裂過程就可以抽象為一個二叉樹結構。如果桿狀菌分裂時受到周邊環境的影響，這樣桿狀菌的分裂過程就可以抽象為一個隨機環境中的二叉樹模型，因此研究隨機環境中樹指標隨機過程不僅具有理論意義，更具有應用價值[1]。文獻[2]首先研究給出了二叉樹有限狀態分枝馬氏鏈的隨機序偶出現頻率的強大數定律，之后研究給出了二叉樹有限狀態分枝馬氏鏈函數的強大數定律，作為推論給出了二叉樹有限狀態分枝馬氏鏈的Shannon-McMillan定理。Shi Zhiyan等[3]給出了m根Cayley樹上m階漸近奇偶馬氏鏈的強大數定律。Huang Huilin等[4]研究給出了2根Cayley樹上二重循環馬氏鏈的漸近均分性。Tang Ying等[5]給出了齊次樹指標漸近奇偶馬氏鏈的強大數定律，并通過一個例子說明了所得結果的重要性。劉建國等[6]利用二元函數延遲平均的強極限定理和條件期望的平滑性，給出了可列馬氏鏈狀態出現頻率延遲平均的強大數定律。文獻[7]研究給出了齊次樹指標馬氏環境中的馬爾科夫鏈的Shannon-McMillan定理。楊潔等[8]研究給出了關于齊次樹指標馬氏鏈的廣義熵遍歷定理。文獻[9]研究給出了樹指標馬氏雙鏈的Shannon-McMillan定理。文獻[10]給出了連續狀態非齊次馬氏鏈多元函數的強大數定律。Yang Jie等[11]給出了非齊次馬氏鏈廣義樣本相對熵的強大數定律。Shi Zhiyan等[12]給出了隨機環境中Cayley樹指標馬氏鏈的Shannon-McMillan定理。文獻[13]給出了馬氏環境中樹指標馬氏鏈隨機轉移概率調和平均的強極限性質。文獻[14]給出了2個漸近循環馬爾科夫鏈之間相對熵密度率的強極限定理。文獻[15]給出了關于樹上m重非齊次馬氏信源的一個小偏差定理。本文通過引入滑動相對熵的概念，研究給出了關于非齊次樹指標馬氏鏈的一個強偏差定理。

1 基本概念

設{Nn,n≥1}是一列正整數集，T是一個具有根頂點O的無限樹，如果T的第n(n≥0)層上的每個頂點均與第n+1層上的Nn+1個頂點相鄰，則稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹。特別地，若對非負整數集N，用模m的同余關系對其進行分類得到如下模m的剩余類：

當n∈(i)時，令Nn+1∈αi（αi均為正整數且不同時為1），i=0,1,2,…,m-1，就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0,α1,…,αm-1。以下恒以T表示樹Tα0,α1,…,αm-1，以S(t)表示頂點t的所有子代的子圖，Ln表示第n(n≥0)層上所有頂點的子圖。

定義1設{Ω,F,P}為一概率空間，{Xσ,σ∈T}為定義在該概率空間上并于字母集S={1 ,2,…,m}上取值的隨機變量族，設

是S上一概率分布，而

是定義在S2上的隨機矩陣列，如果?t,si∈T滿足si∧t≤1≤i≤n,有

并且

則稱{Xσ,σ∈T}為具有初始分布（1）與轉移矩陣列（2）的在S上取值的樹指標非齊次馬氏鏈。則其聯合分布為

設Q是可測空間(Ω,F)上另一概率測度，且隨機變量關于Q獨立，即存在S上的一列分布

設{al,l≥1}是一單調不減的非負整數數列，令

定義2設{Xσ,σ∈T}為具有初始分布（1）與轉移矩陣列（2）的在S上取值的樹指標非齊次馬氏鏈，式（4）是給定的一列S上的分布。則稱

與

分別為{Xσ,σ∈T}相對于獨立測度Q的滑動似然比和滑動相對熵。

2 強偏差定理

引理1設{Xσ,σ∈T}是如前定義的樹T上的非齊次馬氏鏈，如前定義。設，對一切n≥1，取λξn,k使得

令

證由式（3），有

由式（10），有

令

則

由式（12）和式（13），有

定理1設{Xσ,σ∈T}為具有初始分布（1）與轉移矩陣列（2）的在S上取值的樹指標非齊次馬氏鏈。pξn,k，λξn,k，Rn(ω)及R(ω)均如前定義。設k∈S，Sξal,n(k,ω)表示Xξal+1,Xξal+2,…,Xξal+n中狀態k出現的次數，c為一非負常數，令

則

證由引理1及Doob鞅收斂定理知，存在集合A(λ),P(A(λ))=1，使得

即

則由式（19）和式（20）有

由式（21）有

當λ＞1時，將式（22）兩端同除以lnλ，有

由式（23）與上極限的性質

及不等式

有

當c＞0時，函數在處取得最小值，于是有

當c=0時，取正有理數λi(i=1,2,…)，使得λi→1+(i→+∞)，并令，則對一切自然數i，由式（24），有

因為P(A*)=1，故由式（26）及式（27）知式（17）成立。

當0＜λ＜1時，將式（22）兩端同除以lnλ，得

利用下極限的性質

及不等式

由式（28）有

當c＞0時，函數在處取得最大值，于是有

當c=0時，取正有理數λi(i=1,2,…)，使得λi→1-(i→∞)，并令，則對一切自然數i，由式（29），有

因為P(A*)=1，故由式（31）及式（32）知式（18）成立。

推論1設{Xσ,σ∈T}為具有初始分布（1）與轉移矩陣列（2）的在S上取值的樹指標非齊次馬氏鏈。pξn,k，λξn,k，Rn(ω)及R(ω)均如前定義。設k∈S，Sξal,n(k,ω)表示Xξal+1,Xξal+2,…,Xξal+n中狀態k出現的次數，令H(0)是滿足下面條件（33）式和（34）式的點ω的集合：

則

證在式（17）和式（18）中令c=0，即得式（35）成立。