例析立體幾何中與垂直相關的探索性問題

何秋霞

(江蘇省南京市高淳區湖濱高級中學)

立體幾何中的探索性問題具有一定難度,而有關垂直的探索性問題是其中的一類.探索性問題大致可分為是否成立問題和是否存在問題.它們設問不同,但本質上都是探索性問題.筆者認為立體幾何中與垂直相關的探索性問題可以分為如下兩類:

1)是否成立問題——適合題設條件的結論是否成立,探索條件或位置.

2)是否存在問題——滿足某條件時結論才能成立.

1 是否成立問題

判斷一個命題是否成立,是較為簡單的探索性問題.立體幾何中常見的是否成立問題通常是以幾何體為載體考查線線、線面、面面的位置關系,其中以垂直關系最具代表性.解決這類問題常用的思路有兩種:1)先給出判斷結果再證明或舉反例.2)先假設結論成立再進行邏輯推導,若推導不出矛盾,則結論正確;若推導出矛盾,則結論錯誤.

例1如圖1 所示,在四面 體PABC中,△PAC和△ABC均為等腰三角形,且∠APC＝∠BAC＝90°,PB＝AB＝4.判斷AB⊥PC是否成立并給出證明.

圖1

解析已知AB⊥AC,欲判

斷AB⊥PC是否成立,只需判斷AB⊥AP是否成立.

經判斷知AB⊥PC不成立,證明如下.

假設AB⊥PC,由∠BAC＝90°,有AB⊥AC,又PC∩AC＝C,PC?平面PAC,AC?平面PAC,所以AB⊥平面PAC,又AP?平面PAC,所以AB⊥AP,從而BP＞AB,這與PB＝AB矛盾,故假設不成立,即AB⊥PC不成立.

例2如圖2所示,AB是圓O的一條直徑,C是圓上不同于A,B的點,PA垂直于圓O所在平面,平面PAC與平面PBC是否一定垂直? 請說明理由.

圖2

解析判斷面面是否垂直,就是尋找一個平面內有無一條直線垂直于另一個平面內的兩條相交直線.

經判斷知平面PAC⊥平面PBC.證明如下.

因為C在以AB為直徑的圓周上(除A,B兩點外),AC⊥BC,PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.

又PA∩AC＝A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,BC⊥平面PAC,而BC?平面ABC,所以平面PAC⊥平面PBC.

2 是否存在問題

是否存在滿足某個條件的結論,一般稱為存在性問題.立體幾何中與垂直有關的存在性問題較為常見.

解決存在性問題的思路有三種:

1)先猜后證——先給出結論再證明滿足條件,相當于找到使命題成立的充分條件,再證明命題成立.

2)先作后算——先作出符合條件的圖形再由題設條件推導出結論,相當于承認命題成立,尋找命題成立的必要條件.

3)邊作邊證邊算——一邊應用條件作圖,一邊證明并計算.

2.1 探索線面垂直

探索線面垂直問題是探索與垂直有關問題的基礎題目.可以將線面垂直轉化為線線垂直,進而由線線垂直尋找探索點的位置.

例3如圖3所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰三角形,∠A1C1B1＝90°,A1C1＝1,AA1＝,D為A1B1中點.

圖3

(1)求證:平面AC1D⊥平面ABB1A1;

(2)在AB1上是否存在一點E,使得AB1⊥平面C1DE? 若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

解析(1)可 證C1D⊥平 面ABB1A1(具體求解過程略).

2.2 探索面面垂直

面面垂直的本質仍是線面垂直,因此,探索面面垂直仍回到探索線面垂直.

例4如圖4所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB＝1,BC＝2,CD＝1＋,過A作AE⊥CD,垂足為E.現將△ADE沿AE折起使得DE⊥EC,如圖5所示,問:在線段AE上是否存在一點F,使得平面BDF⊥平面BDC? 若存在,指出F的位置;若不存在,說明理由.

圖4

圖5

解析方法1假設在線段AE上存在點F,使得平面BDF⊥平面BDC.由DE⊥EC,DE＝,EC＝1,得DC＝2＝BC,取BD的中點M,連接CM,FM,FC,則CM⊥BD,如圖6所示.

圖6

因為平面BDF⊥平面BDC,CM⊥BD,CM?平面BDC,平面BDF∩平面BDC＝BD,所以CM⊥平面BDF,又FM?平面BDF,所以CM⊥FM.因為DE⊥EC,DE⊥AE,AE∩EC＝E,所以DE⊥平面ABCE,DE⊥EB.

方法2假設在線段AE上存在點F,使得平面BDF⊥平面BDC.延長BC于N,使得BC＝CN＝2,連接DN,如圖7 所示,由＝1,得DC＝2,則DN⊥DB.因為DE⊥EC,DE⊥AE,AE∩EC＝E,所以DE⊥平面ABCE,DE⊥EB.

圖7

探索性問題分散在立體幾何的各模塊之中,考查思維的靈活性,綜合考查邏輯推理素養、運算求解能力、空間想象素養、分類討論思想等.

(完)