一道立體幾何問題的多視角探究

汪 梅

(江蘇省昆山市柏廬高級(jí)中學(xué))

立體幾何問題可以考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力、識(shí)圖能力.角度和距離是立體幾何中兩個(gè)重要的度量,其中線面角的概念和求法既是教學(xué)的重難點(diǎn),也是高考的高頻考點(diǎn).學(xué)生在解決線面角問題時(shí)會(huì)面臨兩個(gè)選擇:運(yùn)用幾何法(傳統(tǒng)方法)求解或運(yùn)用向量法求解.在運(yùn)用幾何法解題時(shí)學(xué)生常感到作圖難,角不好找;在運(yùn)用向量法解題時(shí)學(xué)生可能會(huì)遇到個(gè)別點(diǎn)的坐標(biāo)不好求,從而導(dǎo)致解題失敗.本文以一道立體幾何題為載體,從幾何法和坐標(biāo)法這兩種視角深刻分析這類題的解決方法.

1 試題呈現(xiàn)

題目如圖1所示,在四面體ABCD中,已知△ABD是邊長(zhǎng)為2 的等邊三角形,△BCD是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,E為線段AB的中點(diǎn),G為線段BD的中點(diǎn),F為線段BD上的點(diǎn).

圖1

(1)若AG∥平面CEF,求線段CF的長(zhǎng);

(2)若二面角A-BD-C的大小為30°,求CE與平面ABD所成角的大小.

2 解法探究

在第(1)問中,由線面平行的性質(zhì)定理可得AG∥EF,從而得出F為BG的中點(diǎn),進(jìn)而可以在△BCD中求出CF.

在第(2)問中,首先要找出二面角A-BD-C的平面角,若用幾何法求CE與平面ABD所成角的大小,需要作出線面角或用等積法求出C到平面ABD的距離,但是四面體ABCD的體積不易求出;若用坐標(biāo)法求解,那么如何建系及求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是難點(diǎn).

視角1幾何法

分析1真作高真求高策略:運(yùn)用射影法作出斜線在平面內(nèi)的射影,進(jìn)而將線面角轉(zhuǎn)化為線線角,最終轉(zhuǎn)化為求三角形中的角.先作出線面角,再在具體直角三角形中求解.

解法1如圖2所示,連接CG,因?yàn)椤鰾CD與△ABD是共用同一條底邊BD的等腰三角形,且G為BD的中點(diǎn),所以AG⊥BD,CG⊥BD.

圖2

又因?yàn)镃G?平面BCD,AG?平面ABD,所以∠AGC為二面角A-BD-C的平面角,所以∠AGC＝30°,得AG＝,CG＝1,過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AG,垂足為M,連接EM.

因?yàn)锳G⊥BD,CG⊥BD,AG∩CG＝G,AG?平面ACG,CG?平面ACG,所以BD⊥平面ACG,因?yàn)镃M?平面ACG,所以BD⊥CM.因?yàn)锽D∩AG＝G,BD?平面ABD,AG?平面ABD,所以CM⊥平面ABD,所以ME為CE在平面ABD內(nèi)的射影,故∠CEM為CE與平面ABD所成角.

點(diǎn)評(píng)本題屬于中檔題,注重對(duì)四基(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))的考查,體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的特點(diǎn).幾何法以邏輯推理作為工具解決問題.用幾何法解題首先要掌握二面角平面角的作圖方法,厘清圖中面面、線面間的關(guān)系,分析出平面ACG和平面ABD的垂直關(guān)系是能否直接作出線面角的關(guān)鍵.

轉(zhuǎn)換視角若作射影有難度,線面角不易直接求得,可運(yùn)用等體積法間接求出點(diǎn)到平面的距離.

分析2假作高真求高策略:等體積法,求點(diǎn)到平面的距離(此時(shí)無(wú)須關(guān)注垂足的具體位置).

解法2同解法1可求得∠AGC＝30°.

點(diǎn)評(píng)有些學(xué)生對(duì)二面角平面角及線面角概念理解不到位,可能作不出二面角A-BD-C的平面角,更作不出線面角.視角2中很多學(xué)生想不到用轉(zhuǎn)化法求三棱錐C-ABD的體積.新高考全國(guó)卷注重對(duì)立體幾何中傳統(tǒng)方法的考查,事實(shí)證明遇到立體幾何問題就建立空間直角坐標(biāo)系運(yùn)用向量法求解不一定是最好的方法,所以多掌握一些解題方法是有益處的.方法單一,僅憑借一種方法應(yīng)對(duì)所有的題目有時(shí)是吃虧的.對(duì)比以上兩個(gè)視角,視角1利用面面垂直的性質(zhì)直接作出了線面角,視角2利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離,但是視角1體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“多思少算”的理念,所以要求學(xué)生在平時(shí)的訓(xùn)練中優(yōu)化自己的運(yùn)算.

轉(zhuǎn)換視角有時(shí)無(wú)論是直接作圖還是運(yùn)用等積法都不易求出高,此時(shí)可以考慮借助空間向量解決問題,因?yàn)橄蛄渴茄芯繋缀螁栴}的有效工具.

視角2向量法

分析3直線與平面所成的角,可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.若直線的方向向量與平面法向量夾角為銳角,則對(duì)應(yīng)線面角是其余角;若兩向量夾角為鈍角,則線面角為其補(bǔ)角的余角.

解法3如圖3 所示,連接CG.在等邊△ABD中,G為BD的中點(diǎn),所以AG⊥BD.又因?yàn)椤鰾CD是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,G為線段BD的中點(diǎn),所以CG⊥BD,所以∠AGC為二面角A-BD-C的平面角,所以∠AGC＝30°.

圖3

又0°≤θ≤90°,所以θ＝45°,故CE與平面ABD所成角的大小為45°.

點(diǎn)評(píng)z軸的建立是本題的關(guān)鍵,筆者認(rèn)為最好能找出底面的垂面,利用面面垂直的性質(zhì)可知只要在垂面內(nèi)作交線的垂線就可以作出z軸.不難發(fā)現(xiàn),視角1中的幾何法無(wú)疑是本題最簡(jiǎn)單的解法.

3 問題的拓展

變式在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠BAD＝60°,點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)(如圖4),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,連接A1B,A1C,得到四棱錐A1-BCDE(如圖5).

圖4

圖5

(1)證明:平面A1BE⊥平面BCDE;

(2)若A1E⊥BE,連接CE,求直線CE與平面A1CD所成角的正弦值.

解析(1)證明過(guò)程略.

(2)方法1真作高真求高策略

如圖6所示,易證CD⊥平面A1DE.因?yàn)镃D?平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1DE.

圖6

因?yàn)槠矫鍭1CD∩平 面A1DE＝A1D,在△A1CD中,過(guò)E作EF⊥A1D于F,連接CF,則∠ECF是直線CE與平面A1CD所成角.

方法2假作高真求高策略

因?yàn)锳1E⊥BE,A1E⊥DE,BE∩DE＝E,BE?平面BCDE,DE?平面BCDE,所以A1E⊥平面BCDE.因?yàn)镃D?平面BCDE,所以A1E⊥CD,因 為CD⊥DE,DE∩A1E＝E,DE?平 面A1DE,A1E?平面A1DE,所以CD⊥平面A1DE.因?yàn)锳1D?平面A1DE,所以CD⊥A1D,又因?yàn)镃D＝A1D＝2,所以S△A1CD＝2.

方法3向量策略(建系法)

圖7

設(shè)平面A1CD的一個(gè)法向量為n＝(x,y,z),則

4 解題反思

新高考注重對(duì)學(xué)生能力的考查,強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)與延伸,強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)科關(guān)鍵能力尤其是對(duì)思維認(rèn)知能力的考查.該類型題目對(duì)數(shù)學(xué)中邏輯推理能力、直觀想象能力、數(shù)據(jù)分析與處理能力等均有涉及,注重對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

立體幾何中綜合法求角關(guān)鍵是“找、作、化”,不論是找出所求角還是作出所求角,最后一定要?dú)w到一個(gè)可解的三角形中求解.

注重非特殊圖形情況下建系訓(xùn)練,真正掌握運(yùn)用空間向量的方法解決問題,而不是只會(huì)套路性地解題.運(yùn)用空間向量法求解問題時(shí),要避免建系不當(dāng)或者是因?yàn)檫\(yùn)算錯(cuò)誤造成失分.

(完)