例談一元二次方程的異化與同構(gòu)在初高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

俞 綱 張文俊 李毅梅

(云南省昆明市第三中學(xué))

解方程是學(xué)生在初中就學(xué)習(xí)過的內(nèi)容,但很多時(shí)候,我們對方程的使用只注重如何根據(jù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式求出方程的根,而忽視對方程結(jié)構(gòu)的靈活運(yùn)用.縱觀近年的中考和高考試題,有不少題都需要通過對方程結(jié)構(gòu)的靈活運(yùn)用來尋找計(jì)算的突破口,這值得學(xué)生重視.

1 方程結(jié)構(gòu)的異化使用

例1(2021年云南中考卷24)已知拋物線y＝－2x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)(0,－2),當(dāng)x＜－4時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)x＞－4時(shí),y隨x的增大而減小.設(shè)r是拋物線y＝－2x2＋bx＋c與x軸的交點(diǎn)(交點(diǎn)也稱公共點(diǎn))的橫坐標(biāo),m＝

(1)求b,c的值;

(2)求證:r4－2r2＋1＝60r2;

(3)以下結(jié)論:m＜1,m＝1,m＞1,你認(rèn)為哪個(gè)正確? 請證明你認(rèn)為正確的那個(gè)結(jié)論.

解析(1)b＝－16,c＝－2(求解過程略).

(2)由于方程r2＋8r＋1＝0的根比較復(fù)雜,且r不指定是哪一個(gè)根,因此不能簡單運(yùn)用求根公式或根與系數(shù)的關(guān)系直接解決,要將方程有針對性地“異”化為其他形式進(jìn)行求解.

點(diǎn)評上述兩題難倒很多學(xué)生,大家想不到要將標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程異化為其他形式進(jìn)行求解,因此“吐槽”此題很偏很怪,完全不是一元二次方程的典型問題,甚至很多高中學(xué)生都無從下手.其實(shí)這些題并不是很難,只是學(xué)生對于方程的使用過于機(jī)械與死板,缺乏對方程的結(jié)構(gòu)與形式進(jìn)行有針對性的變形,缺乏靈活運(yùn)用的意識.其實(shí)這種意識在高中也是必須具備的,如函數(shù)中的隱零點(diǎn)問題就是這種思想的運(yùn)用.當(dāng)然,除了要注意把一個(gè)方程異化為其他形式之外,我們還要注意能在多個(gè)形式類似的方程中發(fā)現(xiàn)其共同的結(jié)構(gòu)本質(zhì),從而同構(gòu)出相同的方程.

2 方程結(jié)構(gòu)的同構(gòu)使用

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若動點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.

當(dāng)過點(diǎn)P的兩條切線均與坐標(biāo)軸垂直時(shí),P的坐標(biāo)為(±3,±2),此時(shí)點(diǎn)P也在圓x2＋y2＝13上.

綜上,點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝13.

點(diǎn)評求解該題的技巧在于兩條切線所滿足的條件是相同的,從而兩切線斜率所滿足的等式是相同的結(jié)構(gòu),從而同構(gòu)出一個(gè)一元二次方程,并運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系來轉(zhuǎn)化,避免了復(fù)雜的計(jì)算.

同理,切線DB的方程為

把式①與式②分別看作關(guān)于x1,y1和x2,y2的二元一次方程,它們結(jié)構(gòu)相同,我們同構(gòu)得2tx－2y＋1＝0,則A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足該二元一次方程,而兩個(gè)不同點(diǎn)確定唯一一條直線,所以直線AB方程為2tx－2y＋1＝0,直線AB恒過定點(diǎn)

點(diǎn)評求解該題的技巧在于并沒有用A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)來表示直線AB的方程,而是從直線DA的方程和直線DB的方程同構(gòu)出一個(gè)二元一次方程,以此作為直線AB的方程,避免了復(fù)雜的計(jì)算.

例5(2021年全國甲卷理20)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O.焦點(diǎn)在x軸上,直線l:x＝1 交C于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M(2,0),且圓M與l相切.

(1)求拋物線C和圓M的方程;

(2)設(shè)A1,A2,A3是C上的三個(gè)點(diǎn),直線A1A2,A1A3均與圓M相切.判斷直線A2A3與圓M的位置關(guān)系,并說明理由.

(1)拋物線C:y2＝x,圓M:(x－2)2＋y2＝1(求解過程略).

所以直線A2A3與圓M相切.當(dāng)直線斜率不存在時(shí),可以驗(yàn)證該結(jié)論也成立.

綜上,若直線A1A2,A1A3與圓M相切,則直線A2A3與圓M相切.

點(diǎn)評方法1的關(guān)鍵是把式①整理為關(guān)于y2的一元二次方程,從而同構(gòu)出關(guān)于y的一元二次方程,且認(rèn)定y2,y3為該方程的兩根,借助根與系數(shù)的關(guān)系完成計(jì)算.其實(shí)我們也可以把式①整理為關(guān)于x2,y2的二元一次方程來使用.

變式已知拋物線y2＝2px上的點(diǎn)M(m,0)(m＞0),是否存在以M為圓心,r為半徑的圓M,使得對于C上三個(gè)點(diǎn)A1,A2,A3,當(dāng)直線A1A2,A1A3均與圓M相切時(shí),必有直線A2A3與圓M也相切?若存在,則圓M的半徑r與m有何關(guān)系?

由式①得2pm－2pr＝r2,把該式代入式②化簡,可得16p3r4＝16p3r4恒成立;把2pm－2pr＝r2代入式③化簡,可得(2pr3)2＝4p2r6恒成立.由此可得,若直線A1A2,A1A3均與圓M相切,當(dāng)r滿足r2＋2pr－2pm＝0時(shí),必有直線A2A3與圓M也相切.

當(dāng)有直線斜率不存在時(shí),可以驗(yàn)證該結(jié)論也成立,即滿足條件的圓其實(shí)有很多個(gè),只要當(dāng)r滿足r2＋2pr－2pm＝0即可.

點(diǎn)評其實(shí)例5的本質(zhì)就是彭賽列閉合定理的一類特殊情況,變式相當(dāng)于用初等數(shù)學(xué)的方法對這類特殊情況進(jìn)行了一般化的證明,而這種同構(gòu)思想也正是我們解決圓錐曲線問題的一種重要技巧.

方程的異化與同構(gòu)本質(zhì)都是對方程結(jié)構(gòu)的靈活運(yùn)用,其實(shí)這種思想在數(shù)學(xué)中是極其重要的,特別地,在數(shù)學(xué)中用迭代算法求根、用不動點(diǎn)法求通項(xiàng)公式等時(shí)都會使用.要想運(yùn)用好該思想,我們必須明確目的,根據(jù)目的進(jìn)行針對性轉(zhuǎn)化,從而更好地利用方程的結(jié)構(gòu)巧妙地解決問題.

(完)