帶非線性項的積分器鏈嵌套飽和時滯控制

劉 俊

（1.湖南機電職業技術學院 信息工程學院，湖南 長沙 410151；2.中南大學 自動化學院，湖南 長沙 410083）

0 引言

1992 年A.R.Teel 對飽和控制做了開創性工作[1]，后續國內外學者在飽和控制尤其是輸入包含時滯方面做了大量的研究[2-15]，至今仍然是控制領域的研究熱點之一[16-19]。F.Mazenc 等[7-8]首次使用有界和時滯控制解決了多積分器系統的全局穩定問題。隨后，這些成果被推廣到前饋非線性系統。其整體思路是利用平面轉換，構造標準型進行自然對消，完成飽和退化分析，解決了具有輸入時滯的前饋系統全局穩定問題[9-12]。其中，Ye H.W.等[9]提出了一種新的由級聯飽和函數組成的非線性控制器，Zhou B.等[6]提出了兩種前饋非線性系統的有界時滯控制，包含級聯飽和控制器和嵌套飽和控制器。

沿著文獻[6]和[9]的思路，針對積分器鏈，本文提出了一種新的嵌套飽和時滯控制算法。與同類文獻相較而言，本文與文獻[9]的級聯飽和控制不同，本文控制器為嵌套飽和控制，可以處理非線性高階擾動和輸入時滯；相對于文獻[6]，本文所提出的控制器在系統狀態和飽和函數前面都包含了乘性系數，因而具有更強的靈活性；相對于文獻[10-12]，得益于系統狀態和飽和函數都包含可調乘性系數，本文控制器可以處理輸入包含較大時滯的情形。

本文首先針對帶非線性項積分器鏈系統，設計坐標變換和控制器；然后進行系統穩定性分析，包括飽和退化分析和退化后系統的漸進穩定分析；最后通過對一個慣性擺實例進行仿真實驗，驗證所設計控制器的有效性。

1 系統和控制器介紹

帶高階非線性項的積分器鏈系統為

系統（1）滿足假設1。

假設 1

針對系統（1）設計如下坐標轉換：

式中：ki＞0,λi＞0,i=1,2,3,4。

則系統轉換成：

針對式（3），設計如下嵌套飽和控制器：

式中sat為標準飽和函數，且

其中ε為飽和度。

控制器（4）的參數滿足如下條件（5）：

引理1[6]設γ＞0，ε＞0，β1＞0，β2＞0 為4 個給定的數，考慮標量系統：

那么存在一個有限時間T＞t0，滿足

此外，v能被簡化為

2 漸進穩定性分析

漸進穩定性分析分為飽和退化分析和退飽和系統的漸進穩定分析兩個階段。首先，針對控制器（4），利用平面轉換構造標準型，進行自然對消，完成飽和退化分析；然后，利用一個重要矩陣不等式和李雅普諾夫定理，完成漸進穩定性分析。

2.1 系統飽和退化分析

事實1在滿足假設1 和條件（5）時，控制器（4）飽和退化。

證明分別考慮y4,y3,y2,y1子系統。

步驟1首先考慮y4子系統

式中t≥t0+τ。

將上式兩邊從t-τ到t積分，得

將其代入式（7），得

結合式（4）有

步驟2分析y3子系統，當t≥T4時：

將式（8）兩邊從t-τ到t積分，得

將其代入式（8），有

結合式（4）有

即y3子系統飽和退化。

步驟3分析y2子系統，當t≥T3時：

類似步驟1 和步驟2 的分析，在滿足條件（5）時，y2子系統飽和退化。

步驟4分析y1子系統，當t≥T2時，

類似步驟1 和步驟2，由引理1，可知當滿足條件（5）時，y1子系統飽和退化，證畢。

經上述4 個步驟后，系統（3）的狀態進入區域：

2.2 退飽和系統漸進穩定分析

通過上述飽和退化分析，退化后的系統可以被表述為

式中：

因為c3(t)和c4(t)有界，可以假定：

根據牛頓-萊布尼茨公式，有

將其代入式（12）得到：

然后集中處理系統（16）。

定義矩陣：

和一個矩陣不等式：

注意到A是一個穩定矩陣，通過調節L和β，總是存在一個正定矩陣P滿足不等式（18）。

假設 2

式中L、β在（17）（18）中給定；P在（18）中定義。

事實2在假設2 前提下，系統（16）是漸進穩定的。

證明定義系統（16）的候選李雅普諾夫函數：

沿著系統（16）對V1(y)求導：

利用不等式

得到

由式（17）和（18），最終得到

根據事實1 和事實2，可得本文的重要結論：

定理1當假設1、假設2 和條件（5）滿足時，系統（3）（4）全局漸進穩定。

注：本文提出的控制器參數條件較為簡單，且可以同時在系統狀態和飽和函數前配置系數，具有較大的靈活性。后續仿真實驗說明控制器（4）可以處理較大時滯。

3 仿真實驗

考慮慣性擺系統

式中τ＞0 為輸入時滯。

根據定理1 選擇控制器（4）的參數。

最終得到系統（22）的控制器方程：

選取初始條件：

對系統（22）在控制器方程（23）下進行仿真實驗得到的仿真結果如圖1 所示。從圖1 可以看出，在時滯較大的情形下，系統（22）在控制器方程（23）下依然可以全局漸進穩定，說明嵌套飽和時滯控制器（23）具有較好的魯棒性。

圖1 系統（22）在控制器方程（23）下的系統狀態軌跡Fig.1 System state trajectory of system（22）under controller（23）

4 結語

本文提出了一種嵌套飽和時滯控制器，實現帶高階非線性項四階積分器系統的全局漸進穩定。系統的穩定分析分為飽和退化分析和退飽和系統兩個階段。首先，利用平面轉換構造標準型，進行自然對消，完成飽和退化分析；然后，利用一個重要矩陣不等式和李雅普諾夫定理，完成漸進穩定分析。最后，通過一個慣性擺系統的仿真實驗，驗證了控制器的有效性。本文的控制器參數條件較為簡單，可以同時在系統狀態和飽和函數前配置乘性系數，能處理較大時滯，具備一定的工程價值。后續主要工作是把控制器推廣到低階前饋系統，并能處理狀態系數不確定問題。