幾何直觀素養(yǎng)表現與表現性任務設計

浙江寧波市奉化區(qū)教師進修學校（315000）宋煜陽

一、幾何直觀的內涵變化

幾何直觀，既是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下稱“2011年版課程標準”）的核心詞之一，又是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱“2022年版課程標準“）提出的核心素養(yǎng)之一。雖然名稱沒有發(fā)生變化，但在概念表述上發(fā)生了變化，具體內容對照如表1所示。

表1 “幾何直觀”概念表述的對比

什么是幾何直觀？2011年版課程標準中定義為“利用圖形描述和分析問題”，2022年版課程標準中定義為“運用圖表描述和分析問題的意識與習慣”。在概念內涵上，原先的“利用圖形”調整為了“運用圖表”，這意味著什么？說明直觀的手段豐富了，除了圖形，還可以是表格。而列表解決問題，就充分發(fā)揮了表格在一一列舉、有序思考中的直觀作用。

人教版教材中還有許多幫助學生體會列表的直觀性的素材。如，一年級連加問題“3個同學一起折小星星，每人折了6個。他們一共折了多少個小星星？”（如圖1），本質是解決“幾個6相加”。教學中，教師在組織學生自主畫圖、列式表征的同時，引入表格并給出部分信息，就能讓學生解讀表格信息后繼續(xù)填寫，體會表格的直觀性。此外，三年級的“正好問題”“長方形和正方形拼組后的周長最短問題”等，也都突出列表法在一一列舉時不重復、不遺漏的特點，使學生感受到列表法的有序性。

圖1

幾何直觀概念內涵發(fā)生變化的是，要求更高了，更強調意識與習慣的養(yǎng)成。這一要求凸顯了幾何直觀作為培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的整體性、一致性和階段性。為此，幾何直觀培養(yǎng)的目標，不僅僅是形成描述和分析問題的手段技能，更重要的是形成意識、養(yǎng)成習慣。

二、幾何直觀的素養(yǎng)表現

幾何直觀的素養(yǎng)表現主要包括圖形的特征與分類、圖形的描述與性質、建立數與形的聯系、利用圖表探索思路四個部分。

1.圖形的特征與分類

圖形的特征與分類，要求“能夠感知各種幾何圖形及其組成要素，依據圖形的特征進行分類”，要點是圖形與要素感知、根據圖形特征分類。

史寧中教授指出，幾何直觀表現形式包括實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀四種形式。這里強調的是圖形直觀這種表現形式，重點感知圖形要素和特征分類。如圖2所示的選擇題就是考查學生對圖形特征的理解，以及梳理圖形概念之間的關系的能力。

圖2

2.圖形的描述與性質

圖形的描述與性質，要求“根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質”。2022年版課程標準新增了“尺規(guī)作圖”，要求學生運用語言描述圖形，并利用尺規(guī)工具畫出相應圖形，促使學生體會或探索圖形的性質。

比如，借助用直尺和圓規(guī)作圖的方法，引導學生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性，以及線段的長度就是三角形的周長。在這個過程中，實踐操作、直觀演示都能幫助學生進一步理解三角形的周長就是三條線段首尾相連的總長度，對圖形周長的本質屬性有更為清晰的認識。

又如，在三角形三邊關系的探索中，關于“兩邊之和等于第三邊”“兩邊之和小于第三邊”時能否圍成三角形的情形歷來是教學的難點。以往教學中，教師一般是借助小棒等實物操作（也就是實物直觀的手段）來驗證，而小棒由粗細造成的誤差，以及小棒固定的長度限制了學生自主探索的空間，會造成學生感悟不深。現在借助尺規(guī)工具，在三角形三邊關系探索中能夠體現幾何直觀的優(yōu)勢，學生可以自主探索，任意調整圓規(guī)，畫出不同長短的線段，不拘泥于教師給定的長度；可以通過用圓規(guī)畫弧線，體會線段圍不成三角形的原因——兩條短的弧線沒有交點，也就不能圍成三角形。

3.建立數與形的聯系

建立數與形的聯系，要求“建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型”。這部分主要表現為數的概念和數的運算的表征與理解、數量關系的表征。

比如，十進制是數的認識核心要素。不僅是整數的認識，小數的認識也強調“相鄰計數單位是10”。因此，可以利用直觀圖幫助學生體會相鄰計數單位之間的十進制關系。在“千以內數的認識”教學中，教師可以依次出示如圖3所示的直觀圖，讓學生體會相鄰計數單位之間的十進制關系：10個一是1個十，10個十是1個百，10個百是1個千。當然，在認識小數時，可以借助圖形之間的聯系進一步理解計數單位之間的十進制關系，例如逆向推算：把立方體看成1，那么一個面、一條、一個小方塊分別是它的

圖3

幾何直觀在數的運算中的運用，主要體現在對算理的表征與理解。對于抽象思維水平不夠的學生，通過幾何直觀來理解相對抽象的算理是非常有必要的。比如，在“異分母分數加減法”教學中，為了解釋說明“對于為什么要先通分再計算”，教師可利用分數墻，讓學生直觀看到的分數單位不同，不能直接相加；用作為分數單位，既可以表示的大小，也可以表示的大小；也就是3個與2個相加，得出5個，結果為在這個過程中，學生直觀理解了“計數單位轉化、計數單位個數合并”，從而理解異分母分數加減法的算理。

在解決問題的過程中，幾何直觀主要體現在題意的理解與數量關系的分析上。比如，人教版教材中的“例8媽媽買3個碗用了18元。如果買8個同樣的碗，需要多少錢？”，強調畫圖是解決問題的有效策略，培養(yǎng)學生借助直觀圖理解問題、解釋算法的能力。因此，在組織學生讀題、明確信息和問題后，可以提出以下要求：如果你解決這個問題有困難，可以嘗試畫圖來分析；如果你能夠直接列式，請畫圖解釋算式的含義或道理。通過比較實物圖、示意圖和線段圖，學生不僅分析了兩步計算的數量關系，感知了“單一量不變”的問題特征，還體會到線段圖在幾何直觀層面更為抽象、更為便捷。

4.利用圖表探索思路

利用圖表探索思路，要求“利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路”。比如，能在熟悉的情境中描述簡單的路線圖：描述從學校回家的路線示意圖，注明方向和途中的主要參照物。可以讓學生先用日常語言描述回家的路線，然后在圖上標出方位，畫出路線圖，標明主要參照物，從而建立幾何直觀。

三、幾何直觀的表現性任務設計

因為幾何直觀是指運用圖表描述和分析問題的意識和習慣，所以就意識和習慣而言，幾何直觀評價的關鍵在于學生應用幾何直觀的自主性、自覺性和自省性，這種以自我調控為特征的意識形態(tài)，很難用操作層面的學習任務來衡量。但是，圍繞識圖、畫圖兩個維度設計表現性任務，就能考查學生對“圖表描述和分析問題”的表現水平。

1.識圖表現性任務設計

所謂識圖，就是借助提供的圖示或部分圖示，通過直觀辨認、動態(tài)想象、變式比較、推理分析等活動，理解概念的本質屬性和算理算法，簡化思路，發(fā)現和解釋數學規(guī)律。

（1）從各類圖示中識別概念

①從關系圖中識別圖形的分類

例1下面集合圖中表示的關系正確的有（）。

主要通過識別關系圖，梳理圖形之間的關系，進一步明確復合概念的特征。

例1就是通過集合圖來考查學生對圖形之間的關系是否了解。題中涉及圖形之間一般與特殊的關系，如長方形和平行四邊形、等邊三角形與等腰三角形；還涉及圖形定義與特征之間的關系，如梯形與四邊形、等腰直角三角形與直角三角形的關系都可以從定義、特征等方面進行梳理。

②從復雜圖形中識別圖形的概念

例2在平面圖形中，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形。那么，圖中共有（）個梯形。

在復雜的圖形中識別圖形，側重考查學生有序觀察的能力。通過變式活動，剔除概念的非本質屬性，凸顯概念的本質屬性。

對于例2，既需要從不同方位來辨認哪個四邊形只有一組對邊平行，又需要對非常規(guī)的梯形CDEF進行識別，進一步強化了梯形對邊平行的本質屬性。

③從圖形的操作中想象結果

例3一塊長方形的硬紙板被折疊起來，如圖所示，其中涂色部分形狀為正方形。圖中a，b分別表示多少厘米？（）

例4聰聰先將一個正方形彩紙按下圖所示的方式對折后沿虛線裁剪，最后將彩紙展開鋪平，得到的圖形是（）。

在折疊、旋轉、軸對稱等圖形運動中展開動態(tài)想象，辨認展開圖或立體圖，重在通過直觀想象活動進一步鞏固圖形的特征與性質。

例3是折疊一塊長方形的硬紙板，觀察和分析折疊前后的兩個圖形，本質上就是對正方形特征、長方形的長寬關系的辨析。例4是兩次翻折正方形，想象軸對稱變換后的整個圖形，重在考查學生的空間想象能力。

（2）從圖示表征中理解概念

例5下面4幅圖中，有（）幅可以解釋乘法分配律。

在概念教學中，可采用數形結合的方式來表征概念，從而幫助學生理解定義、定律、性質等。

例5是在選擇圖示中幫助學生理解乘法分配律的內涵，使學生對乘法分配律的外部表現和內部要義有了更清晰的理解。

（3）利用動態(tài)想象簡化思路

幾何直觀要善于從問題的本質出發(fā)，巧妙利用平移、旋轉等能夠簡化解決問題的思路，獲得更為便捷的方法。

例6梯形上底AB長為3 cm，下底DC長為7 cm，高為4 cm，P為DC邊上任意一點，求陰影部分的面積。

常規(guī)解題思路有兩種：第一種思路是“梯形面積-空白三角形面積”；第二種思路是直接求兩個陰影部分的三角形面積，利用創(chuàng)新的思路是使P點運動到C點位置，與C點重合，就可以直接求得陰影部分三角形的面積。

（4）利用圖形直觀解釋數學事實

利用圖形直觀解釋數學事實，主要包括探索、解釋規(guī)律，驗證或證明定律、性質或定理。

例7觀察下列等式：1+3=4，4+5=9，9+7=16，

16+9=25……

①用4個圖形分別表示上面的等式，你能寫出第6個算式并畫出對應的圖，再在圖中表達出這種對應關系嗎？

②你能用含有n（n≥1）的等式表示這個規(guī)律嗎？

③你還能找到其他規(guī)律并用含n的等式表示出來嗎？

對于問題①②，可引導學生借助圖形進行圈圈畫畫，以感知規(guī)律。

從陰影部分來看，即1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42。一般規(guī)律為1+3+5+7+…+（2n-1）=n2。

再來看問題③，需要換個角度來畫一畫、看一看、想一想。可以從斜的方位進行思考。

經過不同角度的圈畫、觀察，就能有新的發(fā)現：1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2。

當然，幾何直觀除了可以解決代數的規(guī)律問題，還可以直觀解釋圖形的相關定理。

2.畫圖表現性任務設計

（1）用圖來表征題意和數量關系

通過圖來表征運算的意義和數量關系，是評價畫圖表現性的常見任務。重在考查算理理解、數量關系分析表征和簡化思路等水平。

例8畫一畫，涂一涂，算一算。

畫出乘法意義，本質上是對分數意義“分了又分，取了又取”的過程理解，也是對分數乘分數算理的理解。

例9聰聰家離圖書館1600米，他從家步行到圖書館，每分鐘走50米，走了8分鐘。

①聰聰現在大約在什么位置？請用▲在線段圖上標出來。

②聰聰還要走多少米才能到圖書館？

例9結合具體情境，在考查常見數量關系“速度×時間=路程”的同時，還要求學生對已走的路程與全程關系進行直觀判斷，幫助學生進一步理解行程問題中的元素以及數量關系。

例10方老師要買一臺打印機，李老師要買一件毛衣。打印機是800元/臺毛衣是200元/件。商場有促銷活動，如果購買500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。兩位老師合起來買比分開買能省多少錢？

方法1：分開買，（800-500）×80%+500+200=940（元）。合起來買，（800+200-500）×80%+500=900（元）。省的錢數為940-900=40（元）。

方法2：200×（1-80%）=40（元）。

方法2為什么如此簡單呢？教師組織學生畫圖后分析，得出利用幾何直觀簡化了解決問題的思路。

（2）用圖來表達問題過程和結果

畫圖是解決問題的重要策略。其中，用圖來表達解決問題的過程和結果是畫圖策略的主要手段。

例11聰聰在排隊，他的前面有8個人，后面有5個人。這個隊伍里一共有多少人？

先請學生猜測結果，然后組織學生嘗試畫圖表征；再提出問題：題目中沒有1，怎么會加1呢？最后小結：在解題遇到困難時，采用畫圖的方法可以把復雜的問題變得直觀，便于解決。

類似地，有余數除法解決問題、找次品等都可以通過畫圖尋找答案，同時也展現了解決問題的過程。

（3）用圖表解決開放性問題

面對開放性問題，教師要鼓勵學生通過列表、畫圖進行有序思考。

例12“五一”期間，聰聰、明明等小朋友隨家長到某景區(qū)游玩。下面是購買門票時，聰聰和明明的對話。請根據圖中信息算一算、比一比，說一說采用哪種方案更劃算。

通過“大人和兒童共10人”這條信息進行列表，就能不遺漏、不重復地得出結果，且學生容易理解。

例13聰聰家距離學校500米，明明家距離學校900米，聰聰家距離明明家有多少米？請畫圖計算并說明。

通過畫圖進行分類討論，得到“900”“1400”“介于900至1400之間”三種情形，考查了學生全面思考問題的意識與能力。

幾何直觀，重在意識與習慣的養(yǎng)成。教師要緊扣幾何直觀素養(yǎng)的內涵與主要表現，將識圖、畫圖的表現性任務一以貫之；要緊扣第一、二學段“初步形成幾何直觀”、第三學段“形成幾何直觀”的學段目標，培養(yǎng)和發(fā)展學生的幾何直觀核心素養(yǎng)。