教而后記，學之有成
——由教學后記引出的教學思考

江蘇省南京市鐘英中學 季 偉

教學后記，受限于時間和空間，只簡短地記錄教學中的感受，很多時候上課時感觸很多，課后教案上也只是留下只言片語，很容易遺忘。但如果養成階段性整理和思考的好習慣，就會使我們受益良多。

寫教學后記能幫助教師迅速接收課堂中的反饋信息，克服教學中的干擾因子；有助于找出教學設想在具體實施過程中的成功和不足之處，為調整教學提供可靠依據；有助于加深對課程標準的領會、教材的理解和加大教法的改革力度。它是促進自己教學水平、教學能力提高的有效途徑。

筆者在整理近日的教案時，對教學后記及相應的教學片段進行了整理和思考。筆者強烈地感受到，教師要在課余認真讀書，學習先進的教學理念，教學設計要提出好的問題和自然的教學過程，使得教學優質高效，尊重學情，能適度進行調整，發揮教師的教學機智。

一、研究課標，精讀教材，更新教學理念

十年樹木，百年樹人，樹人大計，教師為本。教師要想課堂優質高效，教出優秀的學生，首先要有先進的教學理念，而更新教學理念的最有效的方法就是靜下心來讀書。讀什么書？《義務教育數學課程標準》（以下簡稱《課標》）和教材是首選。研究《課標》，能使我們清晰數學的本質、數學課程的性質、基本理念、設計思路、數學課程目標和內容等；而教材作為實現數學課程目標、進行課堂教學的重要素材，凝結了教育專家們的心血，是教師備課的不二之選。它不僅值得，更是需要我們認真精讀、反復研讀。

在“同底數冪的乘法”這節課中，筆者根據課堂教學過程，寫下教學后記：“本節課在運算性質的探究上，花費了較多的時間，導致后面的鞏固提升環節時間不夠，但個人認為是值得的，也是必要的。同底數冪乘法的運算性質是冪的運算中第一個運算性質，本節課的探究，既獲得這個性質，也是為后續研究其他運算性質提供范式。在探究的過程中，由于臨時增加了兩個問題，用時超出了預期。但對學生而言，在學習過程遇到困難時，能借助教師具有啟發性的問題，自己解決困難，這樣的學習過程，有效地積累了數學活動經驗，增強了學習的信心，積攢了學習的寶貴財富?！苯虒W片段如下。

PPT展示：一種電子計算機，每秒可進行1014次運算，工作103秒可進行多少次計算？

筆者提問：“怎樣解決這個問題？”學生答：“用1014×103。”

筆者追問：“用乘法進行運算，你能得出這個算式運算的結果嗎？請同學們在草稿本上先試著算一算。”（巡視一圈發現，只有少數幾個同學能夠正確進行運算，大多數同學束手無策）

筆者發現這個問題有難度，先讓學生回答這樣一個問題：“102是什么形式？105呢？”

生：“是有理數冪的形式?！?/p>

筆者：“我們在七年級學習有理數的運算時，知道乘方運算是特殊的乘法運算，那么你能寫成乘法的形式嗎？”

學生齊答：“10×10，10×10×10×10×10。”

筆者繼續提問：“你能計算出102×105的結果嗎？結果能寫成冪的形式嗎？”

生：“102×105＝10×10×10×10×10×10×10＝10000000＝107?！?/p>

筆者：“請用相同的方法計算103×106，結果寫成冪的形式?！?/p>

生：“103×106＝10×10×10×10×10×10×10×10×10＝1000000000＝109?！?/p>

筆者：“那你現在會計算1014×103嗎？”

生：“是1017?！?/p>

經歷上述兩個運算，讓學生進一步思考：如果將指數一般化，10m×10n(m、n是正整數)等于什么呢？

生：“等于10m＋n。10m有m個10相乘，10n有n個10相乘，所以10m×10n一共有（m+n）個10相乘，寫成冪的形式就是10m＋n?！?/p>

筆者追問：“再進一步，將底數也一般化，am×an(m、n是正整數)又等于什么呢？大家會算嗎？”

教學后記中寫道“花費了較多的時間”是因為筆者本來的教學設計是問完1014×103的結果之后，直接提問10m×10n等于什么，但巡視時發現大多數學生對于計算1014×103束手無策，所以停下預設追問的腳步，臨時增加了兩個問題——“102×105”和“103×106”。前一個問題，教師引導學生思考并完成（回顧乘方的意義）；后一個問題，學生獨立思考并完成。附加的問題顯然給了學生啟發，使得學生思考10m×10n時有方法可以類比。學生回答出10m×10n＝10m＋n，筆者追問：怎樣得到的？學生已經能從乘方的意義出發，進行代數推理了。最后，學生自己推理出同底數冪的乘法運算性質am×an＝am＋n（m、n是正整數）。同底數冪的乘法運算性質是學習冪的運算其他性質的基礎，其探究過程也與后續幾種冪的運算性質的探究過程類似，所以本節課筆者不吝時間，讓學生深刻地感受探究的“套路”，讓后續的探究有法可循。在探究過程中，筆者不斷追問學生為什么，意圖讓學生不僅要知道算法，還要明晰運算的原理。

上述的這則教學后記，涉及學生的探究活動，以問題為引領，以充足的時間做保障，使得學生的探究活動真實而有意義。筆者發現后，及時思考，做出調整，盡可能減少學生的損失。從教學片段中可以看出，教師已然成為學生學習活動的組織者、引導者和合作者，關注學生的學習過程、思維過程，并在教學過程中反復滲透特殊與一般、歸納、類比等數學思想方法，這些教學行為都來源于平時研讀的《課標》和教材，反映了教師先進的教學理念。就在前幾天，筆者聽了一位教師的“同底數冪的除法”這節課，教師開課就在黑板下寫下“am÷an＝?”，并用時6分鐘就和學生一起得到了運算性質，然后進入例題操練。聽完那節課，筆者深深地感受到這種不關注過程、不關注學生思維、偏離《課標》精神的課堂教學是真實存在的，其背后的主要原因，是教師教學理念的落后。所以，教師必須認真讀書，及時更新教學理念，與時俱進。

二、問題精致，過程自然，有效設計教學

教學設計是在教育教學理論和思想的指導下，根據教學對象和教學內容，制定教學目標，設計教學問題、活動以及具體步驟的完整過程。有效的教學設計是課堂優質高效的前提，是學生學有所得的保障，是所有教師孜孜不倦的追求。曹才翰、章建躍博士在《中學數學教學概論》中提出，優質的教學設計有兩個關鍵點：提出好的問題和設計自然的過程。所以，我們平常的教學設計在問題的提出方面需多花心思，大膽設計，精心打磨，教學過程尊重教學規律，重視數學原理，打造問題精致、過程自然的優秀教學。

在“同底數冪的除法”這節課中，筆者根據課堂教學過程，寫下教學后記：“本節課情境的設計感覺不好，主要的原因是‘26÷24＝22’這個等式得出，對下面運算性質的探究活動有負面影響，學生似乎掌握了套路，僅從情境中的式子就猜到了同底數冪除法的運算性質，但是并沒有真正理解同底數冪除法的運算性質，所以后續通過計算來探究性質這一教學活動沒有落到實處，探究有了摻假的成分。好在第二節課做了及時調整，修改了情境中的數據，同時增加了對運算過程的要求，效果好多了?！苯虒W片段如下。

PPT展示：一個長方體的體積是26cm3，底面積是24cm2，求這個長方體的高。你能解決這個問題嗎？

學生馬上回答道：“用26÷24＝22。26是64，24是16，64÷16＝4＝22?！?/p>

筆者：“那‘26÷24’是怎樣的運算？”

學生齊答：“同底數冪的除法?！?/p>

此時表面上來看，學生能夠做出正確解答，并且能夠用自己的語句模仿描述出同底數冪的除法名稱。但自習分析后，筆者發現26÷24這個引例起了負面作用，部分學生是在利用有理數的乘方運算法則，將26÷24這個算式轉換成64÷16這個算式后，利用有理數的除法運算得出的結果。

PPT展示：問題1，計算下列各式。

（1）28÷23＝______ ，25＝_______；

（2）（-3）5÷（-3）2＝______ ，（-3）3＝______ ；

筆者巡視時發現學生的運算速度大大出乎自己的意料，非?？?。學生普遍出現了這樣的解答方式：28÷23＝28-3＝25＝32，下面兩題也是這樣算的。突如其來的情況讓筆者有點接不上話，筆者提問：“為什么可以這樣算？”學生類比同底數冪的乘法答道：“同底數冪相除，底數不變，指數相減。”

……

課間的十分鐘，筆者對教學設計做了一些調整，來到另一個班。

PPT展示：一個長方體的體積是310cm3，底面積是34cm2，求這個長方體的高。

學生回答：“是310÷34?！?/p>

筆者：“這是怎樣的運算？”

學生回答：“同底數冪的除法?！?/p>

PPT展示：問題1（同上）。

筆者讓學生寫出計算的過程。之后再觀察這三個小題，有什么發現？

第一節課的情境引入可謂失敗，備課時，設計長方體的情境，原本希望給學生一個好算一點的式子，既能感受同底數冪除法的必要性，又能初次感受同底數冪除法的運算性質，沒想到學生卻借此“經驗”，快速解決探究中的計算問題，使得運算性質的探究名不符實。調整之后，情境中的數字較大，不好計算，學生感受到同底數冪除法運算的必要性，卻無從知道運算的結果，設置了一個懸念。對于后面探究活動中的計算，筆者做出明確要求——要有過程，學生只能腳踏實地、按部就班地進行計算，使得探究有了實效。尤其是計算第三個式子，學生給出了兩種算法，后一種算法正是同底數冪除法的運算性質的推理過程的特殊形式，為運算性質的得出做了鋪墊。

“冪的運算”這一章，主要是基于運算性質的教學，而運算性質的得出有它們的共性——歸納。結合兩個教學片段可以看出，兩節課都設計了問題情境，讓學生感受運算的必要性，然后都是從特殊、具體的例子出發，用問題或者問題串激發學生思考探究，從而得出一般、抽象的運算性質。不同之處在于，同底數冪的乘法作為冪的運算中的第一個運算性質，遵循學生的認知規律和最近發展區理論，教學的問題和問題串設計“小而碎”，從具體的“1014×103”，到指數一般化、底數一般化，一步一步走向最終的高度抽象的運算性質，其間，每一步都追問其原理，體現了運算教學中知算法、明算理的教學原則。同底數冪的除法是本章最后一個運算性質，學生已經積累相當的經驗，所以問題的設計“大而整”，給出三個式子讓學生計算，通過式子結構和計算結果，學生自己觀察、思考、猜想、歸納，再進行代數推理論證，得出運算性質。從上述的“同和異”不難看出備課時細膩的心思，即對精致問題和過程自然的追求，對教學設計高效、教學效益最大化的渴望。

三、尊重學情，適度調整，發揮教學機智

《課標》在課程基本理念中指出，教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，這里“學生的認知發展水平和已有的經驗”就是指學生的學情。好的教學，教師心中一定對學生的學情充分掌握，并在教學設計中體現出對學情的尊重。

在“平行四邊形（3）”這節課中，筆者根據課堂教學過程，寫下教學后記：“本節課是平行四邊形的第三課時，在前兩課時中，學生已經了解并掌握平行四邊形的性質及判定方法，因為平行四邊形有四種判定方法，學生在解題過程中如何選擇，并如何優化選擇最便捷的判定，是本節課的重點也是難點。所以如何讓學生發現，并逐步歸納優化選擇方案，成為筆者頭疼的問題。幸運的是，筆者在本節課中精選了兩題，讓學生有了充分且充足的時間進行思考并探究，輔以小組合作學習，讓學生充分參與學習與研究，積累了數學活動經驗?！苯虒W片段如下。

圖1

筆者巡視一圈，發現個別學生無法解決，筆者適當點撥，讓學生能用一種方法解決此題。完成之后，筆者先不講解例題，讓學生再用另一種方法解決，目的是讓學生進一步回顧平行四邊形的四種判定方法之間的內在聯系。在學習判定時，每一種判定方法在證明時，都可以轉化為平行四邊形的定義，所以四種方法之間存在相通性，但是礙于學生的學情，可能無法用自己的語言組織出這樣的結論，所以安排這樣的提問。

有的學生用“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”來證明，有的用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明。筆者繼續追問：“能用‘一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形’來證明嗎？‘對角線互相平分的四邊形是平行四邊形’呢？四種方法皆可，你有什么發現呢？”學生答道：“四種方法都能用，但是用‘對角線互相平分的四邊形是平行四邊形’最方便?！?/p>

在此時本節課推至高潮，學生不僅從直觀上發現平行四邊形的判定方法之間的內在聯系，并且能有效找出最優化的解決方法。

（筆者靈機一動，再出一題）

PPT展示：如圖2，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，過點C作CF//AB，交DE的延長線于點F，求證：四邊形DBCF是平行四邊形。

圖2

筆者問：“最優化、最便捷的方案又是什么呢？”

學生答道：“用‘一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形’這個判定方法最快?！?/p>

筆者追問：“再小組討論一下，如何優化選擇方案？”

學生答：“看條件，條件給在哪里，就選擇哪種判定方法。”

安靜的自學氛圍，激烈的討論，充分調動著學生學習數學的熱情，學生在解決第一題時，往往只愿意用一種方法解得答案即可，但是筆者在語言的引導與要求中，不斷“逼迫”學生進一步思考探究，不斷將分裂的知識融合為一個有序的鏈條。在小組合作學習中，學生找到了自身價值，也樹立起挑戰困難的信心，原本需要大量練習來歸納的內容，僅僅兩道題，就迎刃而解。

在本節課的教學片段中，學生已經掌握所有平行四邊形的判定方法，所以提出第一個例題學生是可以解決的，是可行的，這屬于尊重學情。但是當學生束手無策，教師附加過渡性問題，或者附加合作學習形式，給予學生幫助，這也屬于尊重學情。重視學情的教師，是機智的教師；尊重學情的教學，是有效的教學。

教師通常在備課時完成教案，教案中的教學設計就是教師在課堂教學中將要實施的方案。這樣的方案是靜態的，而學生是個性的、發展的，教學過程是動態的，所以課堂上經常有教師始料不及的問題和現象發生，教育學中的專有名詞叫“預設和生成”。在同底數冪的乘法中，學生算不出“1014×103”是意外的生成，這個意外卻促成了教師的教學機智，接連附加兩個問題，幫助學生解決困難。在同底數冪的除法中，教師的預設不夠充分，情境的設計不夠優質，導致后續的教學出現尷尬的場面，而課間十分鐘的思考和調整，使得教學的有效性顯著提升，體現了教師的教學機智。在平行四邊形的判定中，學生對于方法之間的聯系感到陌生，根據學情，教師增加解決方法的多樣性，并結合合作學習模式，讓學生在探討中，發現并掌握相關知識間的聯系，達到舉一反三的效果。

綜上所述，無論從筆者的教學后記，還是從真實的教學片段都可以看出，教師的教學要尊重學情，并且在教學過程中，要因地制宜、適度調整，發揮教師的教學機智。