三角函數學習分化點的分析和教學策略

◎潘曉云

(山東省日照第一中學，山東 日照 276827)

一、三角函數學習分化點分析

(一)分化點的具體內容統計

(二)分化點的分布特點

(1)處于分化點的內容往往在所在的知識體系中處于比較重要的位置，也是教師在教學設計中的重點和難點，比如正弦函數的圖像與性質，兩角差的余弦公式，等等.

分類分化點 所在章節 教學表現具體內容1.2.1三角函數的定義弱分化點理解三角函數的定義,了解終邊相同的同一三角函數值都相等;掌握三角函數的定義域1.2.3同角三角函數的基本關系式強分化點理解同角三角函數的基本關系式,并能利用公式進行簡單的求值、化簡和證明1.2.4誘導公式強分化點理解任意角α與α+k·2π(k∈Z),α與-α的三角函數間的關系;理解任意角α與α+(2k+1)π(k∈Z),α與α+π2的三角函數間的關系1.3.1正弦函數的圖像與性質強分化點會用單位圓中的正弦線畫出正弦函數圖像;熟練運用五點作圖法作出正弦函數的簡圖函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像及性質強分化點能正確使用“五點法”“圖像變換法”畫出y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像;會用“換元法”研究正弦型函數的性質3.1.1兩角和與差的余弦強分化點會推導兩角和與差的余弦公式,并能簡單應用3.1.2兩角和與差的正弦強分化點能根據兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦公式;能運用上述公式進行簡單的恒等變換3.2.1倍角公式強分化點能根據兩角差的余弦、正弦公式及兩角和的余弦、正弦公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式;能正確運用倍角公式進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式的證明

(2)處于分化點的內容往往是對數學思維要求比較高的知識點，這些知識點思維抽象，數學符號多，體現了數學的多種核心素養.因此成為高考考查的重點、熱點，如正弦型函數的圖像和性質，三角恒等變換，等等.

(3)在不同的模塊中，分化點在很多情況下是多種形式的，可能是陳述型、程序型、過程型等兩種或者以上的綜合體，考查的能力也是多樣的，如三角恒等變換中，公式多，題型靈活，綜合性強.

(三)分化點產生的因素

(1)由于分化點內容本身較抽象、難度高、知識點多,因此對學習者的分析理解能力、邏輯思維要求都較高.

(2)學生對高中的數學學習的適應能力不同,包括閱讀方式、學習方式、思維習慣等不同,由此導致學生思想的變異和分化嚴重.

(3)教師對分化點了解不足,教學方式的固定以及對課堂知識的影響都可以導致分化點的增加.

(4)學生對理論、方法的掌握不徹底,甚至不能運用;在課堂上質量很差,對所授內容掌握不牢固;思考時間不足,做題時間也不足;反思總結很少;心態不積極.

二、三角函數學習分化點的教學策略

教育的魅力就在于它的復雜性與過程性.在此過程中，因為知識的層層深入，難度的層層遞進，學生分化點由此形成.教師在教學過程中，不僅僅是知識的傳播者，更是學生的引領者.對學生出現的問題，必須去探究是哪些因素的作用，如何去消除其中的不利因素，及時清理學生的障礙,如此就可以更好地處理數學分化點的問題.

(一)突破分化點的一般教學策略

(1)更新觀念，面向全體

高中數學新課標強調,必修的教學是要適應全體中小學生的共同數學需要,是學校教育必需的重要教育科目.所以教師的授課必須針對每個孩子,尤其是分化點的教學，要特別重視學困生和有分化傾向的孩子,針對不同的孩子，針對不同的學習特點,分層教學.

(2)教學設計要針對分化點層層遞進，讓學生有“豁然開朗、柳暗花明”的體會

在分化知識點的教學方面,應根據課程性質和學習者的理解程度,在課程設置中細致分類,合理劃分,從而降低難度,以問題為引領，逐漸深入，必要時反復鞏固.使知識由單純的記憶層面向認知、運用、創造的層面逐步深入,逐步提高.

(3)激發學生的“內驅力”，讓學生體會到學習數學的樂趣

分化點的知識就是學生思維的弱點，也是學生畏懼的地方，要求他們付出更大的努力,所以發揮他們的主動性變得尤為重要.教師應積極引導，變學生的被動學習為自主學習，對分化點的教學能起到事半功倍的作用.

(4)注重學法指導，讓學生養成良好的數學思維習慣

分化點的學習也要注重學習方法，很多同學一直不適應高中的思維方式，還是沿用初中的學習方法，教師要引導學生調整自己的學習方法，督促學生注意反思總結.譬如做筆記時要學會分類整理，學會用自己的語言去分析問題，甚至可以寫出自己的心得，如此這般學生對知識的掌握更加牢固,也有助于學生對分化點的學習.

具體要做到以下幾點：

①引導學生注意新知識的生成過程.比如,誘導公式的教學要與正確理解、正確掌握、靈活運用相結合,切忌直授公式,注重演繹方法.比如有的教師把誘導公式總結成:奇變偶不變,符號看象限.在實際做題的過程中學生出錯率還是比較高，究其原因,口訣確實朗朗上口,但學生卻沒有理解誘導公式的實質,沒有明白公式的基本結構特征,也只有當他們真正掌握了誘導公式的實質內容,明白了公式的來龍去脈后,才能夠根據口訣更快更正確地運用公式.

②注重數形的結合.比如對三角函數的圖像與性質的掌握,既是重點,也是強分化點,就必須培養學習者“看圖說話”的基本意識,根據圖像探索特性,一目了然.

③培養學生的歸納總結能力.例如，引導學生總結每一塊知識常見的模型即所謂的母題;再如,讓學生總結同種類型題中不同的思維方法,即一題多法,又或者尋找解決各類問題的方法,而總結出它們共性的數學思維方式,即多題一法,從而形成解題模式.

④加強自我監控能力的訓練.分化點之所以讓學生分化，正是因為它們的難度超出了某些同學的能力，因此要重點引導他們在知識點構建和難題處理時該怎樣監測、控制和反思自身的復習方法和解題方式,引導他們歸納、整理解題方式與思路.比如在研究三角函數的性質時,應該幫助學生建立整體代換的方法意識;在解決三角恒等變換中函數為正余弦的二次型的問題時,應該幫助學生形成降冪—化正弦型或余弦型這一程序；等等.這樣隨著學生一次次成功地完成這些過程,他們便能產生自動化、無意識的思維,以便實現解題方式的分化.

(二)不同類型分化點的教學策略

(1)要加強概念教學，重視概念形成過程

比如在“任意角的三角函數的定義”的概念教學中，可采用以下的思路：

師：我們已經推廣了角的概念，并且也學習了平面直角坐標系中的角，你能把銳角的三角函數也放在直角坐標系中研究嗎？如果能，初中三角函數定義中的直角三角形可以用什么代替呢？

生1:能，可以從終邊上一點作x軸垂線，原點、終邊上的點、垂足構成了直角三角形.

師:銳角三角函數定義中相應的量就用坐標系中的哪些量來代替了？

生2：對邊就成了點的縱坐標，臨邊就成了點的橫坐標，斜邊就成了點到原點的距離

師：如果在銳角α的終邊上另取一點P1(x1,y1)，那這個銳角的三角函數值發生變化嗎？為什么？

生3：不變.因為三角形相似，對應邊成比例

探究1銳角α的三角函數值與誰有關？與誰無關？

生4：與終邊上的點的位置無關，只與角的大小有關

探究2：既然與點的位置無關，同學們能否在角的終邊上找到一個合適的點P，使三角函數的表達式更簡潔呢？

由上一環節得到單位圓上點的坐標表示的銳角三角函數：

探究3：請同學們用同樣的思路研究任意角的三角函數的定義.

探究4：根據任意角的三角函數的定義，它們的自變量和函數值分別是什么？定義域呢？

這樣的設計以“過程—對象—過程”的循環模式引入數學知識，以概念形成的方式進行教學，以歸納的形式概括出這類事物的本質屬性[4].

(2)要加強解題指導，重視對學生的引導

下面以一個例題為例談談如何引導學生在解決問題的過程中培養良好的數學能力.

探究1：化簡函數的處理路徑？(化為正弦型函數)

探究2：條件“f(x)在(π,2π)內沒有零點”的處理策略？一是直接處理，轉化為恒成立問題；二是間接處理，轉化為存在性問題.下面分小組分別探究：

【點評】1.直接處理，是全稱命題，為不等式恒成立問題；2.無窮個否定性命題的處理與轉化，最后化為集合的交并補運算.

方法2:若函數f(x)在(π,2π)內沒有零點，則(π,2π)是函數f(x)正區間的子集，或是負區間的子集

【點評】1.間接處理，是特稱命題，為存在性問題；2.轉化為存在性問題：(π,2π)是某個同號區間的子集；3.由必要條件確定整數k的取值(難點)；4.注意分離參數異同(ω限制k還是k限制ω)，以及不等式傳遞性探求必要條件.

通過上述對例題深度的逐漸展開，教師有效地調動了學生的積極性.而且,通過對問題的剝繭抽絲，教師也能夠達到培養學生數學能力的目的.

(3)在教學中滲透數學思想方法，重視作圖、讀圖能力

數形結合的思想不僅是解決數學問題的一種策略和思想，也是解決數學問題的一種重要的方法.三角函數的圖像和性質一節，重點考查了三角函數的性質，而三角函數的圖像則是研究三角函數的性質、解決三角函數相關問題的重要的工具，正所謂“以形助數”，因此，把握好數形結合思想是學好數學的關鍵之一，也是突破三角函數學習分化點的關鍵之一.

(4)在公式的教學中，要重視公式的推導過程以及公式之間的聯系

如和角公式與差角公式的教學中，由于結構相似，學生容易將公式混淆，教學中要讓學生自己動手去推導，教師只是提示公式之間的邏輯關系，這樣學生更能理解公式的結構以及公式之間的聯系，從而更好地記憶公式.同時，在推導完公式后，教師要及時設置題組對公式的正向使用及逆向使用進行強化訓練，達到及時鞏固的目的.久而久之，就可以讓學生靈活準確地運用公式，并且可以促進學生思維的發展[5].

總之，分化點的處理是一個比較復雜的課題，不同類型的分化點處理策略也不同，老師只有認真鉆研教材教法，用心研究分化點產生的原因，改進教學，才能較好地解決數學學習分化點的問題，從而突破分化點或降低分化點的難度.