矩陣方冪的一種簡(jiǎn)單算法

◎邵逸民

(蘇州市職業(yè)大學(xué)教育與人文學(xué)院，江蘇 蘇州 215104)

一、定義及預(yù)備知識(shí)

定義給定任意一個(gè)n階矩陣A和一個(gè)大于1的正整數(shù)k，用Ak表示k個(gè)A的連乘積，稱(chēng)為A的k次方冪.

對(duì)于一些具有特殊結(jié)構(gòu)的矩陣，文[1～3]給出了矩陣方冪計(jì)算常用的方法，主要有：

(1)數(shù)學(xué)歸納法.如果n階矩陣A的低次冪是有規(guī)律可循的.可以先計(jì)算A的低次冪，找出其規(guī)律，再歸納出Ak并利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.

(2)二項(xiàng)式法.如果n階矩陣A是主對(duì)角元素相同的上或下三角陣，則可以將該矩陣寫(xiě)成兩個(gè)較為簡(jiǎn)單的矩陣之和從而求出它的方冪.例如，將已知矩陣分解成aE+B(其中E是n階單位矩陣，B是n階矩陣)的形式，因?yàn)閱挝痪仃嘐與矩陣B乘法可交換，所以可用二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開(kāi)得到結(jié)果.

因?yàn)锽2=0，且E與B矩陣乘法可交換，所以可用二項(xiàng)式定理，故

(3)對(duì)角化法.當(dāng)n階矩陣A可對(duì)角化時(shí)，可通過(guò)求與A相似的對(duì)角矩陣B的方冪來(lái)求Ak，即如果矩陣A是一個(gè)可對(duì)角化矩陣，根據(jù)相似性，求出可逆矩陣P，使得P-1AP=B為對(duì)角矩陣，因?yàn)閷?duì)角矩陣的方冪很容易求出，而B(niǎo)K=P-1AKP，從而AK=PBKP-1，由此即得結(jié)果.事實(shí)上，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以對(duì)角化，故對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以用這種方法來(lái)求.

所以A=X[-1,-1,5]X-1,

Ak=X[-1,-1,5]kX-1=X[(-1)k,(-1)k,5k]X-1

(4)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型法.若n階矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是矩陣J，可求出可逆矩陣T，使T-1AT=J為Jordan型矩陣.因?yàn)镴ordan型矩陣的方冪比較容易求出，而Jk=T-1AkT，于是可求出Ak=TJkT-1.因?yàn)閺?fù)數(shù)域上任意矩陣都相似于一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型矩陣，Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，故對(duì)于不能對(duì)角化的矩陣，可通過(guò)求它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的方冪從而求出矩陣的方冪，因此這種方法具有一般性.但當(dāng)矩陣的階數(shù)n較大時(shí)，求Jordan型矩陣的方冪較為煩瑣.

對(duì)于λ=1，代數(shù)重?cái)?shù)是1，在A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J的對(duì)角線(xiàn)上只出現(xiàn)一次，

對(duì)于λ=3，因?yàn)榫仃嘇-3E的秩rank(A-3E)=2,從而主對(duì)角元為3的Jordan塊總數(shù)為3-2=1,

下面求出可逆矩陣T，使T-1AT=J為Jordan形矩陣，設(shè)T=(X1,X2,X3)，從AT=TJ，得

A(X1,X2,X3)=(X1,3X2,X2+3X3),從而(A-E)X1=0,(A-3E)X2=0,(A-3E)X3=X2,

因?yàn)锳=TJT-1,所以

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)k較大時(shí)，矩陣方冪Ak的計(jì)算都是復(fù)雜的.本文利用矩陣特征多項(xiàng)式和非齊次線(xiàn)性方程組，根據(jù)Hamilton-Cayley定理，給出了一種簡(jiǎn)單可行的解決方法，并通過(guò)實(shí)例給出了具體的計(jì)算方法.為敘述方便，首先給出如下結(jié)論作為本文的引理.

二、引 理

引理1[5](帶余除法) 對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)，g(x)∈P[x]，其中g(shù)(x)≠0，一定存在多項(xiàng)式q(x)，r(x)∈P[x]，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中?(r(x))

引理2[5](Hamilton-Cayley定理)設(shè)A是n階矩陣，f(λ)=|λE-A|是A的特征多項(xiàng)式，則f(A)=0.

引理3若n階矩陣A適合一個(gè)多項(xiàng)式g(x)，即g(A)=0，則A的特征值λ也必適合等式g(λ)=0.

證明：設(shè)α是A的屬于特征值λ的特征向量，即Aα=λα，通過(guò)矩陣和向量的簡(jiǎn)單計(jì)算，可得g(λ)(α)=g(A)(α)=0，而向量α≠0，因此g(λ)=0.

三、主要結(jié)果及證明

定理1任何n階矩陣A的高次冪Ak(整數(shù)k≥n)或者等于0，或者可以表示為A的次數(shù)不大于n-1的多項(xiàng)式.

證明：設(shè)A的特征多項(xiàng)式f(λ)=|λE-A|，用f(λ)去除λk，根據(jù)引理1，得λk=f(λ)q(λ)+r(λ)，這里r(λ)=0或r(λ)是次數(shù)小于n的多項(xiàng)式.

如果r(λ)=0，則λk=f(λ)q(λ)，由引理2，知Ak=f(A)q(A)=0；如果r(λ)是次數(shù)小于n的多項(xiàng)式，此時(shí)，由引理2，知Ak=f(A)q(A)+r(A)=r(A)是A的次數(shù)不大于n-1的多項(xiàng)式，定理得證.

根據(jù)定理1，若矩陣A不是一個(gè)n階冪零矩陣，則存在r0,r1,…,rn-1，使Ak=r(A)=r0E+r1A+…+rn-1An-1

(1)

于是，由引理，當(dāng)λ是矩陣A的特征值時(shí)，有

λk=r0+r1λ+…+rn-1λn-1

(2)

實(shí)際上，(1)式給出了計(jì)算矩陣方冪Ak的方法，具體來(lái)說(shuō)，我們有如下定理.

根據(jù)定理2，只要知道一個(gè)n階矩陣A的n個(gè)不同特征值，就可以由(1)式直接計(jì)算出矩陣方冪Ak.定理2的意義主要在于它給出了矩陣方冪與矩陣的特征值之間的明顯關(guān)系.

需要指出的是，若n階矩陣A的特征多項(xiàng)式f(λ)=|λE-A|有重根，不妨設(shè)λi是它的m重根，則λi也是f(x)，f′(x),…,f(m-1)(x)的根(文[5])，因?yàn)棣薸是矩陣A的特征值，由數(shù)學(xué)分析中的求導(dǎo)法則可知，只需對(duì)r(λ)求導(dǎo)即可，也就是對(duì)(2)式兩邊同時(shí)求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、…、(m-1)階導(dǎo)數(shù)，將λi代入上述等式兩邊，得到m-1個(gè)等式，再與(3)聯(lián)立方程組，可解出r0,r1,…,rn-1，從而將r0,r1,…,rn-1的值代入(1)式，即可求出矩陣方冪Ak.

四、應(yīng)用舉例

1.先給出矩陣特征值互不相同的例子.

令f(λ)=0，求出A的特征值λ1=0和λ2=4.

于是，根據(jù)(1)式，計(jì)算矩陣方冪，根據(jù)定理1和定理2，可得

2.對(duì)于矩陣特征值有重根的情形，再給出如下的例子.

解矩陣A的特征多項(xiàng)式f(λ)=|λE-A|=(λ-1)3=λ3-3λ2+3λ-1，

求出A的特征值λ=1(三重根).

由(2)式，可設(shè)λ100=r0+r1λ+r2λ2

(4)

將特征值代入線(xiàn)性方程組(3)，得r0+r1+r2=1100=1

(5)

因?yàn)棣?1是A的三重特征根，故分別對(duì)(4)式兩邊求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，

再將λ=1代入所得兩式，有100=r1+2r2

(6)

以及9900=2r2

(7)

聯(lián)立(5)、(6)、(7)，解得r0=4851，r1=-9800，r2=4950.

于是，(4)式變?yōu)棣?00=4851-9800λ+4950λ2，根據(jù)定理1和定理2，可得

五、結(jié) 語(yǔ)

在n階矩陣方冪的計(jì)算中，針對(duì)不同結(jié)構(gòu)類(lèi)型的矩陣，采用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法可以化繁為簡(jiǎn).通過(guò)以上例題的求解，也可以看出用上述介紹的方法計(jì)算矩陣的高次冪能有事半功倍的效果.事實(shí)上，這種方法同樣適用于一般的矩陣多項(xiàng)式計(jì)算.