面向智慧海洋的低復雜度方位估計技術

畢守華，趙云江，婁 毅，*

（1.哈爾濱工業大學（威海）信息科學與工程學院，山東 威海 264209；2.中國船舶集團有限公司第七一〇研究所，湖北 宜昌 443003；3.清江創新中心，湖北 武漢 430076）

0 引言

作為物聯網向水下場景的延伸，水下物聯網（UIoT）為探索和開發海洋的各項技術搭建了橋梁，支持智慧海洋的實現。未來UIoT的預期5層系統架構包括傳感、通信、網絡、融合和應用層，其中傳感層將在全球系統的穩健運行中發揮重要作用。特別地，對多個源進行方位估計，從而推進后續任務將是一個關鍵問題，例如目標跟蹤、水下監測和無線通信。

由于精確定位的需要，大規模傳感器陣列正在成為主流，但受到了嚴格的部署條件限制。相比之下，聲矢量傳感器（AVSs）被視為更靈活的解決方案。這種傳感系統由正交取向的速度傳感器和全向壓力接收器[1]組成，與傳統壓力測量相比，可選的速度傳感器可以捕獲額外的粒子速度信息。由于需要對聲場信息做更詳細的采集，所以AVSs滿足智慧海洋的需求?？紤]到矢量傳感器的多分量輸出，人們提出了不同的建模方法來利用陣列數據的固有多維結構，包括長矢量（LV）[1]、四元數[2]、雙四元數[3]和張量模型[4]等。然而，隨著通道和傳感維數的增加，存儲和處理大量收集的數據將導致計算高負荷，這違背了提高能效的目的，縮短了電池供電設備的壽命，同時對觀測信號的實時處理提出了更高的要求。在已建立的方法中，LV和張量模型的缺點是由估計和分解二階統計量引起的高復雜性。四元數模型減輕了計算負擔，但通常用于對兩分量矢量傳感器建模，因此難以處理常用的三分量或四分量矢量水下傳感器。為此，提出了雙四元數模型，但是犧牲了估計精度。因此，能夠消耗較少能量并提供效果優良的、計算高效的方位估計算法是智慧海洋的一個有前途的選擇。

基于上述原因，我們提出了一種新的酉四元數（UQ）模型，將傳統的基于兩分量復值數據的四元數形式擴展到了四分量情況。具體來說，通過酉變換矩陣，我們將AVSs不同組件記錄的復信號轉換為實值數據。隨后，基于四元數定義的表達式和數組數據結構之間的相似性，在邏輯上形成 UQ模型。我們討論了UQ模型的物理含義，表明這個模型是接收信號的一種非常直觀的表達。此外，我們研究了相應的二階統計量的估計和分解。由于UTM 的引入，它們的計算可以以優異的計算復雜性在實數域中完成。最后，我們分析了UQ模型在未來智慧海洋中的潛在優勢。

在本文中，實數、復數和四元數的字段表示為R、C和H，粗體小寫和大寫字體表示向量和矩陣，上標（·）T、（·）*和（·）H分別表示轉置、共軛和共軛轉置。

1 系統模型

1.1 酉四元數公式

假設K個遠場窄帶獨立信號的方位角為θ=[θ1,...,θK]?[-π,π)，俯仰角（分別從正x軸和正z軸測量）為φ=[φ1,...,φK]?[0,π)。規定

作為沿著傳播方向｛θk,φk｝的單位向量，其中u（θk,φk）=cosθksinφk,v（θk,φk）=sinθksinφk,ω（φk）=cosφk。那么，第k個信號的空間上同心的AVS的4×1流形向量給定為

當3個粒子速度分量沿x、y和z軸對齊時，壓力分量位于原點。在后文中，相關的術語將用下標（·）l,l=x,y,z,p表示，為了表示方便，將使用下標（·）k代替(θk,φk)。式（2）揭示了AVS可以獲取k(θk,φk)的3個笛卡爾分量，從而優于僅進行壓力測量的標量對應項。

考慮一個采用中心對稱配置[5]部署的N元素AVS陣列，令al,k?CN×1,l=p,x,y,z為第k個信號的不同分量的導向矢量，k=1,2,...,K，他們應滿足[1]：

然后，相應的陣列輸出可以建模為

當M個快照可用時，我們有測量值Xl=[xl(t1),xl(t2),...,xl(tM)]，其中xl(tm),m=1,2,...,M是在時間t=tm接收的樣本。此時｛Xl,l=p,x,y,z｝可以表示為

式中：S=[s(t1),s(t2),...,s(tM)]是采樣信號；Nl=[nl(t1),nl(t2),...,nl(tM)]也是采樣信號。

受文獻[9]的啟發，我們引入了以下數據矩陣：

其矩陣形式為中心埃爾米特矩陣。因此，根據酉變換理論可知，可以利用下式變換成實數值形式：

式中，QN,Q2M為酉變換矩陣。式（7）可以進一步表示為

式中，通過x、y和z軸定向速度分量排列接收的數據被安排在如上所述的的3個虛部中。四元數單位i，j和k之間的關系類似于與AVSs相關聯的標準正交基之間的矢量積關系。因此，UQ模型符合四元數代數結構，其構造是自然的，并推廣了文獻[2]中的傳統四元數形式。

1.2 四元數空間中的正交性

與酉 LV（ULV）模型[7]相比，我們遵循文獻[2]中的分析方法，展示了所提出的UQ模型在正交性方面的優勢。這將有助于人們通常需要執行特征分解以獲得相互正交的子空間方法[6]。

一般來說，對于 2個四元數向量q，p，其正交性可以描述為

這產生以下4個等式：

然而，當我們將q和p的所有分量連接成2個實值LVs時：

,的正交性僅推出以下等式：

比較式（15）和式（12），我們可以發現在四元數空間中施加了更強的正交約束。它有助于提高信號和噪聲子空間的估計精度，從而補償因減小協方差矩陣大小而導致的性能損失。

1.3 協方差矩陣的估計

根據AVS的中心對稱特性數組，我們有[7]

式中，Φ?CK×K是由實際應用中的陣列幾何確定的酉對角矩陣。根據式（16），式（9）中的可更簡化的表達為有了足夠的快照，不同組件接收到的數據相關性可以通過下式計算：

注意ΠM，Q2M是2個酉矩陣，我們有

式中：δl1,l2是克羅內克δ函數；Rs,Rn是信號和噪聲協方差矩陣，可以寫成

式中：diag[x]返回對角線元素為x的對角矩陣；是源的功率。

從表1可以看出，美國規范和歐洲規范的設計值平均是中國規范的0.754倍；說明美國規范和歐洲規范相比較中國規范在極限承載力取值方面更趨于保守。不同規范針對無抗剪鋼筋開洞板柱節點計算結果的不同，其差異的原因主要體現在臨界截面周長的取值方法不同。

然后，讓我們將注意力轉向式（9）中的UQ模型，其協方差矩陣可以使用四元數代數來估計：

為了簡化式（23），我們利用式（3）將流形矩陣｛Al,l=p,x,y,z｝表達為

式中：U,V,W為3個對角矩陣，其對角元素分別為。將式（25）代入式（19），我們得到l1,l2=p,x,y,z的Rl1,l2=Rl2,l1。該性質有助于簡化：

這意味著，利用有限的快照，我們可以僅在實數域中計算｛Rl,l,l=p,x,y,z｝來獲得R的近似值，從而實現計算的低復雜度。此外，可以使用實值計算來進行式（25）中R的分解。

注意：對應于文獻[8]所提出的粒子速度場平滑技術，式（25）中的R可以看作是｛Rl,l,l=p,x,y,z｝的疊加。因此，UQ模型可以用來處理相干源。典型的情況是當傳感器部署在反射邊界附近時（例如，安裝在船體上的聲吶、海底系留聲吶和浮動聲吶陣列），直接信號和反射信號之間可能會出現相干[8]。在這種情況下，如仿真所示，如果不采取額外的處理，傳統模型（例如LV、四元數和雙四元數模型）的估計性能將會下降。

1.4 協方差矩陣的分解

考慮到式（19）和式（20），我們將式（25）重寫為

最后，R寫為

當我們對R進行實值本征分解時，結果可以表示為

當成功檢測到源數K時，我們可以通過搜索式（30）的前K個最大值來估計入射角度｛θ,φ｝。

1.5 計算的復雜性

我們根據協方差矩陣的估計和分解來評估算法復雜度，其中基本算術運算是實數乘法(R)。對于提出的UQ模型，這2步都可以在實數域中進行。具體來說，協方差矩陣可以通過式（26）來估計，其復雜度為8N2M(R)。那么，分解R大約需要O（N3）(R)。對于LV模型，通過執行4次實數乘法來完成一次復數乘法，因此2個步驟的總復雜度大致為64N2M+4O（（4N）3）（R）。對于雙四元數模型，一次雙四元數乘法會產生64（R）。因此，總復雜度約為64N2M+4O（（4N）3）（R）。此外，考慮到顯示協方差矩陣的內存需求，我們將UQ、LV和雙四元數模型要存儲的實數項分別總結為N2，32N2，8N2。

顯然，由于酉變換和四元數代數，UQ模型在計算量上具有顯著優勢。在未來的智慧海洋中，許多傳感器將被安裝在無人駕駛車輛上，因此通常使用電池供電。在這一點上，計算高效的UQ模型可以減少電池消耗，同時延長能量有限系統的壽命。

2 仿真

與 LV[1]、ULV[9]、張量[4]、四元數[2]、雙四元數模型相比，所提出的UQ模型的源定位性能在本節進行了評估。為了簡單起見，我們假設所有信號都具有相等的功率，則信噪比定義為。

2.1 空間譜

考慮來自｛θ=60?,φ=30?｝和｛θ=60?,φ=50?｝的2個聲源。為了在二維監控區域定位聲源，我們在x–z平面采用10單元平面AVS陣列，如圖1所示，其中SNR=7dB，M=95。從圖2（a）–圖2（e）可以看出，所開發的基于UQ模型的算法精確地定位了具有較窄主瓣和低能量旁瓣的撞擊源。

圖1 AVS陣列配置Fig.1 AVS array configuration

圖2 二維源定位結果Fig.2 Two-dimensional DOA results

接下來，我們采用由7個AVS組成的垂直線陣列用于估計仰角。為了減少能量和時間消耗，我們將可用快照的數量設置為M=50。2個源共享相同的方位角θ=50?,SNR=5dB?？紤]了水下物聯網中可能出現的2種場景。在圖3（a）中，我們假設位于｛φ1=30?,φ2=40?｝的2個源在統計上是獨立的，這會導致2個間隔很近的源在檢測時出現問題。此時，UQ模型顯示了位于真實方向的尖銳光譜峰。

但其他方法在分辨能力方面會經歷嚴重的性能損失。在圖3（b）中，2個相干源的仰角被調整為｛φ1=50?,φ2=90?｝。實驗結果表明UQ模型在處理相干信號方面的優越性。

2.2 估計準確度

假設有位于｛φ1=50?,φ2=40?｝且具有相同方位角θ=50?的2個獨立源，我們使用基于蒙特卡洛試驗計算的均方根誤差（RMSE）評估所測試算法的仰角估計準確性。圖3給出了RMSE與信噪比的關系，其中快照數為M=100。UQ模型在低SNR中對2個到達方向產生最精確的估計。值得注意的是，對于具有低SNR的場景進行源定位是非常困難的。在這一點上，UQ模型的優越性能通過仿真得到了驗證。

圖3 真實方位角處的頻譜切片Fig.3 Spectral slice on true azimuth angle

圖4 算法估計精度比較Fig.4 Comparison of algorithm estimation accuracy

3 結束語

本文提出了一種基于酉變換的UQ模型，該模型具有多種優點，符合智慧海洋的要求。UQ模型可以使用實值計算來估計和分解相應的協方差矩陣，從而具有優良的計算復雜性。在仿真實驗中，我們的方法顯示了在空間分辨率和消相干方面的優越性。需要指出的是，該方法在低信噪比條件下，提供了比一些已有的方法更精確的到達角估計。