永磁同步電機交直軸增量電感計算與測量研究

李巍，王浩淞，陳偉

(1.同濟大學 電子與信息工程學院，上海 201804；2.上海新時達電氣股份有限公司，上海 201801)

0 引 言

永磁同步電機具有結構緊湊、損耗小、效率高等顯著優點，因而應用范圍極為廣泛，幾乎遍布航空航天、國防、工農業生產和日常生活的各個領域[1]。隨著永磁同步電機在各個領域的應用不斷推廣，對其控制性能也提出了更高的要求，而大多數先進控制算法是基于永磁同步電機精準的模型和參數實現的[2]。電感參數作為永磁同步電機模型中的重要參數，對電機的動態性能評估和高精度控制都非常關鍵。

電感反映了繞組在一定電流下產生磁鏈的能力，對于固定磁路且磁導率為恒值時，磁鏈與流過線圈的電流之間有正比關系。由于鐵心部分的飽和效應，電機繞組的磁鏈與電流呈非線性關系，這就引出了增量電感的概念[3]。文獻[4]提出了一種利用增量電感建立永磁同步電動機dq0轉矩模型的方法，文獻[5]闡述了永磁同步電機的增量電感用于電機故障診斷的原理，通過對比增量電感的兩個峰值可以檢測電機的靜態偏心率。因此，對永磁同步電機的增量電感進行研究具有一定的實際價值。

隨著電磁場數值計算技術的進步和廣泛推廣，采用有限元法計算電機電感參數較為準確，因此有限元法成為計算電機非線性電感參數的主要手段。目前大多數商業有限元軟件可以選擇計算三相繞組的視在電感和增量電感，并且有的軟件可以通過腳本文件直接計算出交直軸電感。對于電機的鐵磁材料來說，不同電流下鐵磁材料的磁導率會發生變化，因此電感參數也隨之變化。針對鐵磁材料飽和效應引起的非線性電感的計算，可通過凍結磁導率法實現[6-7]，也有部分研究采用了有限元法結合交直軸分解理論直接計算出永磁同步電機交直軸電感[8]，這些方法能夠較快地計算出永磁同步電機的交直軸電感，但是計算情況并未完全考慮到電機的實際工況。

永磁同步電機電感計算通常發生在電機設計或者優化設計的過程中，由于計算需要已知電機的具體設計參數。而對于工程應用端，并無法獲取電機的具體設計參數，因此通常采用基于實驗的電感參數辨識方法來獲得交直軸電感。為了能夠準確辨識出永磁同步電機的電感參數，國內外學者都開展了大量研究工作，并取得了很多優良的成果。現今的電感參數辨識方法大體可以分為兩大類，即在線辨識和離線辨識。在線電感參數辨識比較常見的方法有最小二乘法、模型參考自適應法、擴展卡爾曼濾波法以及智能算法等[9-11]，這些方法從不同的策略和算法上對參數進行辨識，能保證一定的辨識精度和跟蹤性能，但在辨識過程中容易造成數據飽和，算法也較為復雜。離線電感參數辨識主要基于永磁同步電機的數學模型，在某些特定的條件下進行實驗測量，再推導出交直軸電感，常用的方法有直流衰減法、交流靜態法、矢量法等[12-14]。

本文以一臺功率為5 kW的內置式永磁同步電機為分析對象，采用有限元法計算交直軸增量電感及其隨電流的變化情況，分析在磁路不同飽和程度下交直軸增量電感的變化規律；為了進一步對比增量電感與視在電感的差異，同時對一臺未充磁同型號電機進行相應的電感計算，較全面地闡明永磁同步電機交直軸的視在電感和增量電感的關系。最后，采用多種不同的離線方法對交直軸電感進行測量，并與相應的計算結果進行比較，驗證理論和計算分析的正確性。

1 視在電感和增量電感

在理想的永磁同步電機的數學模型中，一般會假設鐵心的磁導率為常值且繞組電感不變，但在實際電機中，由于鐵磁材料的非線性，電感參數為變量，具體按照磁鏈和電流的關系又可分為視在電感和增量電感[15]。

視在電感的定義為電機靜止狀態下的電感，所以又稱為靜態電感，其大小等于磁路中電流產生的磁鏈與該電流的比值，如圖1所示，若電機運行在點P處，OP的斜率即為P點視在電感，表達式為

(1)

增量電感一般用來描述電機的動態特性，所以也稱為動態電感，其大小為工作點所在磁化曲線切線的斜率，如圖所示運行點P處，曲線上P的斜率即為P點的增量電感，表達式為

(2)

式(1)、式(2)中：Lapp為視在電感；Linc為增量電感；ψ為電流為I時磁路中的磁鏈。

一般來說，鐵磁材料的磁化特性曲線可以分成非飽和區和飽和區，當磁路在非飽和區時，兩種電感的大小近似相等，即Lapp≈Linc，隨著繞組電流的增加，磁路的工作點會從非飽和區進入飽和區，此時視在電感和增量電感的值均呈下降趨勢，且明顯增量電感下降得更快。

圖1 繞組鐵心磁化特性及工作點示意Fig.1 Magnetization characteristics of core and its operation point

根據法拉第電磁感應定律，電機繞組的電壓方程為

(3)

可以看出，永磁同步電機數學模型中的電感均為增量電感，為了準確描述永磁同步電機的動態特性，準確地評估增量電感具有重要的意義。

2 基于有限元法的電感參數計算

2.1 計算原理

采用有限元法計算永磁同步電機在特定負載條件下的交直軸電感時，為了考慮齒槽的影響，通常采用瞬態場求解出轉子旋轉一個周期過程中的定子三相繞組的電感值，然后通過坐標變換得到交直軸電感值。在瞬態場每個步長的有限元計算完成后，每個單元在工作點處的磁導率被凍結，用于后續的電感參數計算。根據電感的定義，給定一個電流激勵，計算在所凍結的磁導率和給定的電流激勵條件下的磁鏈，便可求解出電感。凍結磁導率法在有限元計算電感中廣泛應用[16]。

2.2 有限元建模

本文選用了一臺內置式永磁同步電機作為計算對象，該電機有4對磁極，定子采用雙層繞組，Y型連接，電機額定參數如表1所示。

根據電機的設計參數，在有限元軟件中建立永磁同步電機的模型。定子槽型采用梨形槽，轉子采用內嵌式永磁體，電機幾何模型如圖2所示。完成電機的幾何建模后，再分別對電機的基本參數、材料屬性、網格剖分、機械運動、邊界條件和激勵源等進行設置，即可對永磁同步電機的電感參數進行計算。

表1 永磁同步電機參數Table 1 Parameters of the PMSM

圖2 電機幾何模型圖Fig.2 Geometric model of prototype motor

2.3 增量電感計算及分析

在常用的永磁同步電機控制方法中，如id=0控制、最大轉矩電流比(MTPA)控制等，都是通過調節電流矢量實現的。本文通過調節電流矢量實現交直軸電感及其交叉飽和效應計算，通過改變電流矢量與直軸的夾角γ，可實現交直軸電流的調節，如圖3所示。

圖3 dq坐標系下的電流矢量關系Fig.3 Relationship of current vector in dq coordinate system

定子繞組中通入如下三相對稱的正弦交流電，當定子A相繞組軸線與直軸重合時，通過調節定子電流相位角φ即可調節定子電流矢量角γ：

(4)

式中：is為定子三相繞組一相的電流幅值；f為電機的同步頻率。采用 “非功率形式不變”的坐標變換，可得交直軸電流為

(5)

其中：θ為轉子位置的電角度，即直軸與A相繞組軸線的夾角，且有θ=ωt=2πft，代入式(4)，聯立式(5)可以求解得到is與交直軸電流id和iq滿足以下關系式：

(6)

由式(6)可知，電流幅值is和相位角φ的關系與圖1中電流矢量和矢量角γ的關系相一致，可以通過改變電流激勵控制電流矢量在電機直軸和交軸上的分配。計算時設置電機轉速n=3 000 r/min，設定is的變化范圍為0～10 A，每隔1 A取一個計算點，使γ在0°到180°范圍內變化，且每隔30°取一個計算點，因此共有70個電流幅值和相角的組合，交直軸增量電感的計算結果如圖4所示。

從圖4(a)可知，當矢量角γ=0°時，交軸電流iq=0，去磁性質的直軸電流削弱了永磁體產生的磁鏈，直軸磁路的飽和程度降低，因此直軸電感Ld會隨著負載電流is的增大而增大，這與常規理論分析一致。當0°<γ<90°時，直軸電流和交軸電流同時存在，而Ld仍會隨著is的增大而增大，可見在額定負載電流工況下，Ld主要由id的大小決定，與交軸磁路的飽和程度關系不大。當90°<γ<180°時，此時直軸電流為增磁性質，直軸磁路變得更加飽和，因此Ld隨著負載的增大而減小。

從圖4(b)可知，當矢量角γ=90°時，直軸電流id=0，只存在交軸電流iq，交軸電感Lq會隨著負載電流is的增大而減小，這也與常規理論分析一致。但當γ較小時，Lq會隨著is先增大后減小，且γ越小Lq的拐點越靠后，如圖5所示，可見與直軸磁路相比，交軸磁路受交叉飽和的影響更加嚴重。

圖4 交直軸增量電感隨電流及矢量角的變化Fig.4 Variation of dq-axis incremental inductance with current and vector angle

圖5 不同矢量角下電流對交軸電感的影響Fig.5 Effect of current on q-axis inductance under different vector angle

當負載電流大小一定時，交直軸電感都會隨著矢量角γ的增加而降低，如圖6所示。由于交軸電流iq對直軸磁路的飽和程度影響不大，在分析直軸電感Ld的變化時僅需關注直軸電流id的變化。如圖6(a)，當0°<γ<90°時，隨著γ增大去磁效果減弱，Ld越小；當90°<γ<180°時，id的性質由去磁變為增磁，磁路更加飽和，Ld進一步減小。當γ=90°時，id=0，不同負載電流下Ld幾乎相等。

與直軸磁路相比，交軸磁路受交叉飽和的影響較大，對Lq的變化趨勢進行分析時不僅需要關注交軸自身的電流iq，還必須考慮直軸電流id的影響。如圖6(b)，可以看出不同負載電流對應的Lq在γ=60°左右時發生重合，具體原因分析如下：當0°<γ<60°時，盡管iq使交軸磁路的飽和程度增加，但id的去磁作用占主導，因此在γ一定時，is越大Lq也就越大；當60°<γ<90°時，隨著γ的增加，iq增大，iq的增磁作用超過了id的去磁作用，因此Lq會隨著is的增大而減小；當90°<γ<180°時，除了iq會增加交軸磁路的飽和程度以外，id由去磁轉變為增磁，Lq繼續下降。

圖6 不同電流下矢量角對交直軸電感的影響Fig.6 Effect of vector angle on dq-axis inductance under different current

以上計算的均為交直軸的增量電感。由于永磁體的存在，電機直軸磁路接近飽和區，同時受交叉飽和的影響，交軸磁路的工作點也可能進入到飽和區，此時增量電感更能夠反映電機的動態性能。

2.4 增量電感和視在電感對比分析

為了更加清晰地剖析永磁同步電機視在電感和增量電感的關系，將電機的永磁體用空氣來替代，以消除永磁體磁鏈的影響，僅考慮繞組電流產生的磁鏈對交直軸磁路的作用，從而全面對兩種電感進行對比和分析。

當交軸電流iq=0，直軸電流id在[0,10A]范圍內變化時，計算出交直軸的視在電感和增量電感變化曲線如圖7所示。

圖7 視在電感和增量電感計算結果對比圖(iq=0)Fig.7 Comparison curve of apparent inductance and incremental inductance(iq=0)

從圖7可以看出，不管是視在電感還是增量電感，Lq都整體大于Ld，這和充磁的情況相似。同時可以看出，在1A附近時，Ld跟Lq接近，由于在電流較小時，交直軸磁路均未飽和，且離磁化特性曲線的原點很近，其斜率也近似。

交軸的視在電感和增量電感隨直軸電流id變化不大，這與正常充磁情況下的規律不同。直軸的視在電感和增量電感均在下降，且增量電感降得更快。由于直軸的磁通會隨著id增加而變大，磁路逐漸飽和，因此Ld會下降；根據視在電感和增量電感的定義，隨著磁路飽和程度的上升，磁化曲線的斜率會逐漸變小，因此增量電感要小于視在電感，當材料深度飽和時，磁導率約等于空氣磁導率，如圖7所示，直軸增量電感的減小也符合先快后慢的趨勢。

當直軸電流id=0，交軸電流iq在[0,10A]范圍內變化時，計算出交直軸的視在電感和增量電感變化曲線，如圖8所示。可以看出，兩種電感Lq均略大于Ld，其中視在電感在區間內先小幅上升，然后再下降，整體變化不大，而增量電感能夠反映視在電感的變化趨勢，因此增量電感下降得更加明顯。

圖8 視在電感和增量電感結果對比圖(id=0)Fig.8 Comparison curve of apparent inductance and incremental inductance(id=0)

對比圖7和圖8可以看出，相較于Ld隨id的上升迅速下降，iq對Lq的影響并不明顯，可知交軸磁路隨著iq的上升飽和程度變化不大，由于交軸磁路磁阻小，在相同磁動勢激勵下，能容納更多的磁通，不易進入飽和區。Ld隨iq也是相同變化規律，可見iq對直軸磁路影響不大，結合圖8中隨著id上升Lq幾乎不變，表明在沒有永磁體時，交直軸之間的交叉飽和影響并不明顯，可以忽略不計。

3 交直軸電感實驗測量及對比分析

為了驗證上述理論分析和仿真計算的正確性，本文采用了幾種常用交直軸電感的離線測量和辨識方法進行了實驗驗證。電感的離線測量方法大致可以分為兩類，一類是基于LCR表等常用阻抗測量儀器進行線端電感測量，再經過理論上的變換得到交直軸電感，本文稱這一類方法為離線測量法；另一類是在電機繞組中注入特定的激勵，將激勵與響應的數值帶入電機的數學模型中求得交直軸電感值，本文稱這一類方法為離線辨識法。下面分別對兩類方法進行介紹。

3.1 離線測量法

離線測量法為實驗室最基本和最容易操作的一種方法。LCR表是以微處理器控制的數字式測量儀器，用來測量各種無源阻抗參數。目前，大多LCR表的測試回路采用自動平衡電橋法[17]，其基本測量原理如圖9所示。

圖9 基本測量原理框圖Fig.9 Basic measurement principle block diagram

測試信號由Hc端加到被測阻抗Zx上，Hp端測得高端電壓V1，流過Zx的電流為I1，電流流過Zx后，送到輸入單元。在輸入單元中，電流流過標準電阻Rr，當電橋平衡時，流過Zx的電流全部流過標準電阻Rr，即電流I1=I2，經過放大電路把I2轉換為電壓V2。所以根據測量得到的高端電壓V1,Rr上的電壓V2，即可計算出被測件的阻抗

(7)

阻抗的實部對應電阻，虛部對應電抗。由公式X=2πfL可得到在測量頻率f下的電感值

(8)

以上為LCR表測量電感的原理，在實際應用時，用LCR表測量電機的三相繞組電感，根據相關理論可轉換為電機的交直軸電感。

已知三相靜止坐標系上的永磁同步電機電感矩陣為

(9)

根據文獻[18]，永磁同步電機的三相定子自感的表達式分別為：

(10)

式中：Ls0為氣隙磁通所引起的自感分量；Ls2為轉子凸極特性導致氣隙不均勻所引起的二次諧波自感分量幅值。

永磁同步電機的三相定子互感的表達式為：

(11)

將永磁同步電機的三相定子自感以及互感的表達式代入電感矩陣方程后，對其進行坐標變換，可以得到交直軸電感的表達式分別為：

(12)

文獻[18]提出了采用等效阻抗法測量永磁同步電機交直軸電感。通過手動轉動轉子，結合LCR表找到電機定子任意兩相或三相間阻抗模為最大和最小的最小值的位置，并在這些位置測量出它們的等效電感，根據推導出的公式計算出電機的交直軸電感。等效阻抗法測量結果如表2所示。

表2 等效阻抗法測量結果Table 2 Measurements of equivalent impedance method

文獻[19]提出線電感法測量永磁同步電機交直軸電感。采用線電感法時，測量轉子在任意位置下ABC三相繞組的線電感，根據推導出的公式同樣可計算得到電機的交直軸電感，測量結果如表3所示。

表3 充磁電機線電感法測量結果Table 3 Measurements of line inductance method magnetized motor

從表2和表3中可以看出，兩種利用LCR表離線測量電感的方法具有很好的一致性。另外對于同一種方法，電感的大小與測試頻率有關，由于鐵心磁導率隨著頻率增加而降低，測試頻率越大電感越小。通過與上文有限元計算的結果對比可以發現，離線測量法的結果與計算的增量電感大小較為接近。當永磁體充磁后，電機磁路的磁鏈存在基值，結合LCR表的測量原理，可知離線測量法測量的是永磁同步電機的增量電感。

為了進一步驗證理論分析和仿真計算結果，另取一臺經過消磁處理的電機來類比有限元計算中永磁體未充磁的電機模型，其他參數均保持一致，使用線電感法得到的測量結果如表4所示。

表4 去磁電機線電感法測量結果Table 4 Measurements of line inductance method of demagnetized motor

可以看出，相較于充磁的電機而言，因為退磁后永磁體的磁導率變大，磁路磁阻減小，所以去磁電機的直軸電感和交軸電感均明顯變大，但和有限元計算的結果對比測量值又偏小，說明該電機并未做到完全去磁，表現出弱凸極效應，符合實際情況。

3.2 離線辨識法

文獻[20]提出了一種在電機靜止狀態下辨識出電機的電感參數的方法。考慮到磁鏈的飽和程度對電感辨識結果的影響，先在電機中注入一直流電流，激勵起電機磁鏈，然后在此直流信號上疊加一幅值較小的交流信號，通過電流、電壓中的交流成分即可計算出電機在此飽和程度下的互感。本文采用此方法對所研究的永磁同步電機進行了電感離線辨識，定子電流的實驗波形如圖10所示。

為了在辨識過程中使永磁同步電機不產生旋轉轉矩，該方法在電機的直軸中注入直流電流Id。采用以上方法辨識得到的充磁電機和去磁電機的交直軸電感值如圖11所示。

從以上結果可以看出，不管充磁電機還是去磁電機，直軸電感Ld和交軸電感Lq都隨著直軸電流Id的增大而減小，且去磁電機的Ld和Lq均大于充磁電機，相較于充磁電機二者更為接近，其中Lq僅略大于Ld，這和有限元計算以及離線測量法得到的結論相符。

圖10 定子電流的實驗波形Fig.10 Experimental waveform of stator current

圖11 交直軸電感參數辨識結果Fig.11 Estimated dq-axis inductance parameter

為了進一步驗證該方法辨識出的電感類型，將以上離線辨識的結果與有限元仿真在相同電流激勵條件下計算出的交直軸增量電感進行對比，如圖12所示。

從圖10中可以看出，相較于交軸電感Lq，直軸電感Ld的離線辨識結果與有限元計算值存在較大誤差，由于有限元計算是基于完全理想的電機模型，而實測電機的永磁體存在一定程度的退磁，導致辨識出的直軸電感比理論值偏大。通過兩種方法的相互驗證，說明離線辨識法能夠較準確地測量出永磁同步電機的交直軸增量電感，也有效支撐了前面基于有限元法的電感理論分析。

圖12 離線辨識和有限元計算結果對比Fig.12 Comparison of off-line estimation and finite element method

4 結 論

1)交軸磁路和直軸磁路存在交叉飽和，但相互影響的程度不同。由于永磁體位于直軸磁路上，導致直軸電流對交軸電感的影響較大，而交軸電流對直軸電感的影響較小，即交軸磁路受交叉飽和的影響更嚴重。

2)電機的交直軸磁路由于永磁體的存在已經飽和，對未充磁電機的進行計算能做到只考慮繞組電流的影響，從而校驗增量電感和視在電感的關系。結果表明磁路飽和時視在電感和增量電感的變化趨勢相同，但增量電感的變化更加明顯，符合繞組鐵心的磁化特性。

3)由于永磁同步電機的空載磁場由永磁體產生，基于電橋法和交直流注入法所測量和辨識的電感均為增量電感。無論是實驗測量結果之間，還是實驗結果與有限元計算結果之間，都具有較好的一致性，有效驗證了有限元計算分析永磁同步電機繞組電感問題的可靠性。