分析規劃回歸：“至理數學”視域下的復習課教學研究與實踐
——以“多邊形的面積整理與練習”為例

江蘇南京市金陵小學廣志路校區（210046） 張桂香

江蘇南京市棲霞區教師發展中心（210028） 張明紅

《義務教育課程方案（2022年版）》明確要求學科課程標準制訂必須堅持以核心素養為導向，其課程內容組織重點之一就是加強課程內容的內在聯系，突出課程內容的結構化。落實到數學學科，素養導向下的教學設計要比以往更加注重知識的結構化、整體性。與新授課、練習課相比，復習課更有利于學生從整體出發，構建完整的知識結構和邏輯體系。

蘇教版教材編排了31個單元“整理與練習”和12個期末復習，共計135課時。這些復習課不僅可以引領學生自主整理知識脈絡，還能指導學生對單元或教材內容的學習情況進行反思、評價，進而達到自我調整和提升綜合素養的目的。然而，我們曾對區域教師復習課教學情況做過專項調查，很多教師明確表示“我不會上復習課”，把復習課上成“練習課”“做試卷課”的比比皆是，每個單元或學期末的機動課時也大多被用來講題目。為了探尋復習課的教學路徑，我們團隊以蘇教版教材五年級上冊第二單元“多邊形的面積整理與練習”為種子單元，進行區域實踐和放樣。

一、整體分析，厘清知識體系

復習課的功能之一就是引導學生把所學的知識條理化和系統化，使零散的知識結構化，點狀的知識整體化，從而對所學知識有新的、更深的認識，并在此過程中感悟知識間的內在聯系，領悟知識中蘊含的數學思想方法。

為了準確定位“多邊形的面積”，我們將蘇教版教材平面圖形、立體圖形內容中與之相關的單元做了簡單整理（如表1）。

表1 與面積相關的平面圖形、立體圖形單元分布

由表1可知，教材是遵循從平面圖形的面積到立體圖形的表面積、體積的順序編排的，其中計算平面圖形的面積從長方形、正方形到平行四邊形，再到三角形、梯形和圓，知識脈絡清晰，層層推進，螺旋上升。從知識內在聯系來看，長方形面積計算是“根”，其他圖形面積計算都可以與之建立聯系，因此它是一節重要的種子課；平行四邊形的面積也是一節重要的種子課，其研究方法、轉化思想都為學生的后續學習埋下伏筆。

長方形的面積、平行四邊形的面積被確定為新授課的種子課是有據可依的，“多邊形的面積整理與練習”也有足夠的理由成為復習課的種子單元。

其一，知識結構化。本單元編排的“整理與練習”旨在通過系統整理單元知識，凸顯面積公式推導的共通點，溝通平行四邊形、三角形、梯形面積公式之間的聯系，將零碎的知識結構化。

其二，認知結構化。通過本單元的“整理與練習”，學生梳理在零碎的知識點中建立的本單元內知識及內外知識之間的結構關系，形成對已學平面圖形認知思路的結構化認知，并將其遷移到圓的學習中。

其三，思維結構化。如果能厘清平面圖形的知識脈絡，就能將其思維模式正向遷移至立體圖形邏輯結構的學習中，因為二者雖然自成體系，但思維本質相通相連。

二、合理規劃，凸顯課時要素

蘇教版教材本單元“整理與練習”分為回顧與整理、練習與應用、探索與實踐、評價與反思四大板塊。整理與復習課不僅要梳理知識，將過去零散的、不同時段的知識結構化和系統化，還要查漏補缺，通過學生自主整理、共學評學完善認知，弄懂易錯點，衍生新的生長點，呈現新的認知結構，更要在原來新授課、練習課的基礎上拓展提升、排查疑惑，讓學習進階。因此，根據教材內容與現實學情可將本單元復習課分成三課時：第一課時，以系統整理和基本練習為主；第二課時，復習組合圖形的面積計算；第三課時，實踐應用，解決現實情境中的問題。供學生使用的理學單如表2、表3、表4所示。

表2 “多邊形面積整理與練習”第一課時理學單

表3 “多邊形的面積整理與練習”第二課時理學單

表4 “多邊形面積整理與練習”第三課時理學單

其中，第一課時為復習已經學過的多邊形面積計算。本課時目標定位為系統整理、溝通關聯，即以梳理為主、基本練習為輔。教學活動主要分為以下三個步驟：研究1-1借助學生課前自主整理的個性化作品，引導學生在展示、交流中梳理已經學過的平面圖形的面積公式，并對整理的形式和方法進行提煉；研究1-2借助師生對話、生生交流，圍繞問題“哪種圖形是最基本的”展開辨析和說理，在回顧各種圖形面積公式推導過程的同時，溝通推導方法之間的關聯，進而構建平面圖形關系網絡圖；研究2-1和研究2-2則是安排圖形面積計算和畫圖形的學習活動，激發學生邊理邊練，練中不斷理，實現“理”的應有價值。

第二課時為組合圖形的面積計算復習。本課時目標定位為變式訓練，拓展提升。在“整理與練習”課中，知識的“理”和習題的“練”好似莫比烏斯帶的兩面，相輔相成，融為一體。適當的“練”能幫助學生鞏固“四基”，發展“四能”。當然，和練習課的“練”相比，復習課的“練”要求更高，不僅形式上要有創新，功能也更加聚焦。為了有效達成復習課的“重點突出”“難點突破”“查漏補缺”目標，研究2-2采用好題分享的形式，即推薦一道好題并說明理由。學生在推薦的基礎上，圍繞“誰推薦的好題跟這題有關聯”“哪些題的解答方法和這題相似”等問題進行分析，引發具有相同思考過程的學生的共鳴，使他們感受到學習成果受到重視，進而增強學習數學的信心。這也是“至理數學”教學主張對兒童立場的彰顯，即關注每一個人、發展每一個人。除了學生的推薦與分享，教師也要精心選擇和推薦一些好題或易錯題，供學生分析和訓練，以幫助學生進一步厘清知識本質、感悟知識的整體性和思想方法的一致性。

第三課時內容為真實問題情境下的實踐應用，解決問題。本節課是圍繞本校生態園里不規則圖形或較復雜的多邊形面積的估算展開綜合性實踐研究，并引導學生對自己的學習情況進行評價。復習分四個層次不同的任務進行：研究1-1，用估算的方法解決問題“學校生態園每塊菜地的面積大約是多少？多少塊這樣的菜地面積大約是1公頃？”，分享“估一估、算一算，比一比、說一說的研究過程，體會由小估大”的價值和意義；研究1-2，研究“長方形→平行四邊形”的變與不變之處，在估計、測量、比較、說理、聯想中深化認知；研究2-1，旨在通過畫、數、算等活動，讓學生再度理解面積的概念；研究2-2，小組先交流“對本單元的學習還存在的困惑”，教師再組織學生從知識建構、方法獲得、情感體驗等方面進行多維自評，從而促進學生認知結構化和評價多元化。

三、回歸本源，達成復習功能

1.系統整理，提煉方法

課前，學生都已經對本單元的知識進行了整理，每一份整理單都代表著他們對“多邊形的面積”這個單元的個性化理解。整理單是教師對學情的調研手段，也是生生對話、師生交流的載體。

課始，學生圍繞“我整理了什么？我是怎么整理的？”進行小組交流，后面如果想法有改變的可以用紅筆修改，這樣可以留下同伴交流的痕跡，展現組內共學的效果。全班交流時，教師選擇三份具有代表性的學生作品（如圖1、圖2、圖3），由學生自己介紹和邀請他人評價。

圖1

圖2

圖3

對于作品一（如圖1），讓作品主人分享自己的想法，并通過核心問題“誰來評價”引導其他學生關注整理內容——不僅要整理本學期學習的平面圖形的面積公式，還要整理之前學習的長方形和正方形的面積公式，體現內容全面性。

作品二（如圖2），以“你能看懂嗎？他是怎樣整理的？”“誰想和他交流？”引領學生將整理視線從內容延伸到方法——不僅整理得全面，還用列表的方法呈現，條理清晰。

作品三（如圖3），重在展示不同的整理方法，追問學生“你又看懂了什么？”，讓學生在視覺沖擊、問題叩問的雙重引領下，自動將思維與前學習建立關聯，并感受到畫圖整理的優點。

最后將三份共性與個性并存的作品進行比較，讓學生從個體化表征走向群體化學習，并以問題“復習時我們可以怎樣整理？你會提醒大家注意什么？”驅動學生思考，讓學生經歷從點到面的貫通、從法到理的再構，感受到單元整理時內容應該全面、方法可以多樣。

2.查漏補缺，溝通關聯

“至理數學”認為數學學習不僅要知其然，更要知其所以然。對于本單元來說，則是不僅要知道面積公式是什么，還要知道這些公式的來龍去脈。借助課前整理單，教師可以摸清學生學習起點，找到學生的困難點，緊扣復習難點，展開查漏補缺，溝通關聯。

（1）補內容。課前整理單顯示，后進生大多只能關注到之前學習的一個個點狀知識。課上呈現不同層次的作品讓學生觀察與評價，可以有效喚醒學生的已有經驗，幫助后進生整體建構知識，構建大單元視角。

（2）補過程。課前整理單有一個特點，那就是重公式記憶、輕過程推導。不僅是學生，包括家長，甚至很多教師也會認為只要熟練記憶公式，會套用公式計算即可。其實不然，形成過程和數學結果同樣重要。課上，有必要以“回憶一下，平行四邊形的面積公式是怎么推導的”“平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導過程有什么相同點”等問題，引領學生在頭腦中再現推導過程，以便完善知識結構，為后續學習其他平面圖形的面積或立體圖形的體積打下堅實基礎。

（3）補關系。分析學生課前的整理作品后還發現，關注和梳理圖形之間關系的學生少之又少。然而，數學是研究數量和數量關系、圖形和圖形關系的學科。因此，整理內容不僅要關注知識的全面性，還要引導學生圍繞“在已經學習過的平面圖形中，哪種圖形是最基本的？為什么？”展開辨析、說明，以理解長方形的面積公式是“根”，平行四邊形的面積公式是“枝”，三角形和梯形的面積公式是“葉”，再用思維導圖表示它們之間的關系，繼而猜想：圓的面積公式也能用“轉化”嗎？

3.拓展提升，進階思維

練習是“理”的延伸。有效扎實的練習能促進學生深化理解，建構屬于自己的知識網絡，實現多途徑思維進階。

（1）基礎中變式。表2的研究2-1，先算再想。練習雖基礎，但要考慮底與高對應關系、單位換算、多余條件等因素，十分考驗學生思維的嚴謹性。

（2）畫圖中勾連。表2的研究2-2，學生獨立畫出面積是12平方厘米的平行四邊形、三角形和梯形。

教師選擇三幅具有代表性的學生作品（如圖4、圖5、圖6）分層展示。層次一：出示圖4，引導學生觀察作品，計算驗證是否正確。層次二：出示圖5，圍繞“仔細觀察畫出的平行四邊形和三角形，比一比，你有什么發現？”展開討論與交流，發現兩者面積與底、高之間的關系，由此及彼進行直觀聯想，即面積不變，高不變，三角形的底是平行四邊底的2倍。層次三：出示圖6，圍繞“畫出的兩個平行四邊形有什么相同之處？”“觀察第一行的平行四邊形、三角形、梯形，你有什么發現？（三個圖形高一樣）”“想一想，梯形的面積公式適用于長方形、正方形的面積計算嗎？”等問題，說明“等底等高的兩個平行四邊形面積相等，形狀不一定相同”“梯形的面積公式適用于平行四邊形、三角形、長方形”等。

圖4

圖5

圖6

綜上所述，“至理數學”視域下復習課的種子課從大單元視角將單元內外零散的、碎片化的平面圖形知識串聯起來，以其共有的本質特征，幫助學生從知識結構化走向認知結構化，進而構建緊密關聯的知識群。我們認為，用結構化的教與學可以有效推動數學學習的持續優化以及核心素養培養的落地，也讓單元復習呈現“理”“練”融通的別樣色彩。