因倍數概念教學中數形結合的妙用

江蘇泰興市鼓樓小學教育集團鼓樓校區（225499） 趙麗君

何為數形結合？數學家華羅庚有過經典總結：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”這句話深刻揭示了數形結合的內涵。實際教學中，廣大教師正是明白這一點，才不遺余力地用“形”的直觀去彌補“數”的抽象，用“數”的嚴謹去彌補“形”的粗放，讓數和形完美結合，交相輝映，將數形結合的教學功能發揮到極致。由此，數形結合既是一種研究數學問題的思想方法，同時又可以看成是揭示數學知識邏輯的有效手段。下面筆者將以數形結合為切入點和研究思路，對“倍數與因數”的教學進行改進。

一、借“形”引出概念

【教學片段1】

師（出示圖1、圖2）：某個運動會開幕式上，中日兩個國家的體育代表團分別站成兩種隊形，計算一下，中日兩國各派出多少人參加這次運動會的開幕式？

圖1

圖2

生1：根據圖1列隊的情況，可以算出中國代表團的人數為9×4=36（人）。根據圖2列隊的情況，可以算出日本代表團的人數為5×7=35（人）。

師：在9×4=36這個乘法算式中，按照以往的稱謂，相乘的兩個數9和4稱之為乘數，而相乘所得的結果36則稱之為積。在隊列中，9是每行站隊的人數，4則表示一共站了4行，36則是這個隊列中運動員的總數。

師：聯系今天學習的課題“倍數與因數”，請大家猜測，在計算圖1中國代表團的人數的乘法算式中，哪一部分是因數，哪一部分是倍數。

生2：在9×4=36這個算式中，4和9是36的因數，36是4和9的倍數。

師：現在請大家再次觀察圖2的隊形，重點關注行數、列數和總數，并對照匹配的乘法算式5×7=35，說說哪一部分是因數，哪一部分是倍數。

生3：列數5與行數7都是總人數35的因數，總人數35是行數5和列數7的倍數。

（根據學生回答板書，如圖3）

圖3

【評析】倍數與因數是定義兩個自然數的倍率關系的，這種關系可以用乘法算式直觀反映出來。在自然數的乘法算式中，乘數和積就是因倍數關系的直觀體現。可見，這部分新知完全可以脫離乘法算式，只要乘法算式中的各數字為非0自然數即可。僅僅依靠這種形式上的關聯還不夠，運動會開幕式體育代表團隊形的情境，不但可以激發學生的學習動機，而且能借助圖形的直觀性從另一個維度呈現因倍數的關系：行數和列數是因數，隊列總人數為倍數，而且它們是相互依存的。這樣一來，可以觀察出總人數就是行數和列數的整倍數，因為行數和列數以及總人數必須全部是整數。之后再來對照計算總人數的乘法算式，三管齊下，因倍數的概念就會非常清晰通透。這種融入數形結合的教學方法，可謂匠心獨具，將陌生的新知在不知不覺中滲透到舊知中，毫無痕跡。

二、用“形”抽象概念

【教學片段2】

師：倍數與因數是兩個舉足輕重的概念，是分數運算中通分和約分的奠基內容，所以請同學們務必學好。

師：仿照前面習得的方法，請大家隨機寫出2～3個不重復的乘法算式，并在點陣圖（如圖4）中圈畫，然后與同桌互相說說“誰是誰的因數，誰是誰的倍數”。

圖4

師（出示圖5）：這是“神算子”寫出的算式和配圖，正確嗎？如果沒有異議，請說說“誰是誰的因數，誰是誰的倍數”。

圖5

師：像這樣具備因倍數關系的數對多嗎？

生（齊）：多。

師：誰能一口氣說完？

生1：唯一的辦法就是用代數式表示，這樣可以代表所有存在因倍數關系的數對。

師：好極了！如果分別用字母a、b、c表示3個不同的數，如何表示它們之間的因倍數關系？

生2：a×b=c（a、b、c均為大于0的自然數），則c為a、b的倍數，a、b為c的因數。

【評析】自主探究環節中的“圈畫、列式、陳述”，其目的在于構建因倍數的幾何模型，即在點格圖中根據行數和列數來反映因數，用總數來反映倍數。借助這個幾何模型，它們之間的數量關系也呼之欲出——行數乘以列數等于總數，這就意味著因數乘以因數等于倍數。“神算子”的作品中，有只有一行的，也有列數大于行數的。這既提供了常規例子，又展示了特例——行數為1。在此基礎上，學生抽象出字母表達式，就順理成章了。顯然，教學片段1的情境以及教學片段2的“圈畫、列式與陳述”，只是從情境、圖形、語言和操作幾個方面讓學生理解概念，最后抽象出的字母表達式才是終極形式，字母表達式才是概念內涵的核心。那么，大費周章地運用這么多表征來讓學生理解概念有無必要？曾有美國權威學者采用圖6揭示概念的發展過程：“實物操作只是展示數學概念的初級形態，圖像、語言、表達式才能起到抽象作用，并且深刻揭示概念內涵。”這一觀點就是概念教學的燈塔：在教學中，任何一種表征都不應被忽略，各種表征應該串聯起來形成合力，幫助學生學會根據客觀需要選用合適的表征來理解。

圖6

三、“形”助理解規定

【教學片段3】

師：以前學習的倍數，其實還可以用除法算式c÷a=b（abc≠0）表示，這里a、b、c的取值范圍不作限定，整數、小數、分數均可，只要不為0。今天學習的倍數則用乘法算式來理解，形如a×b=c的算式就可以表示因倍數關系，此處a、b、c的取值范圍是否還是那么隨意？

生1：我認為不作限定，整數、小數、分數均可，只要不為0。

生2：不對！這次學習的倍數與以前學習的倍數大有不同，此處的a、b、c必須為非0自然數。

師：請說說你的理由。

生3：我們是在點陣圖中提煉因倍數概念的，行數、列數、總數都必須是非0自然數，這是常識。

師：“倍數”與“倍”只有一字之差，它們到底有何異同？

生4：從數量比較上看，它們反映的都是兩個數的倍率關系。不同點是，“倍”是一個廣義寬泛的概念，其中的“數”可以是所有數型，只要排除0；“倍數”是一個狹義的概念，其中的“數”嚴格限定為非0自然數，規定極為嚴苛。

【分析】“倍數”是什么？要向學生說清這一概念，不能僅靠范例，因為范例只是一面之詞，容易讓學生“一葉障目不見泰山”。如果此時與相近易混的概念“倍”做一番比較，那么學生的眼界和思路將會更加寬闊，看問題的角度也會更全，分析問題時會更全面。通過比較辨析，學生弄清二者之間的異同點。相同點是都表示兩數的倍率關系，都可以用乘除法算式表示。不同點僅僅在于稱呼和取值范圍的不同——“倍”只要不為0，所有數型都可，因為這是由除法的性質決定的，除法算式的結果可以是整數、分數、小數等各種形式，“倍”就是除法算式中衍生的一個概念，除法算式才是“倍”這個概念的母體；而“倍數”的概念則是由特殊的乘法算式決定的，特殊之處就在于是計算圈畫出的點子圖的總數時，行數、列數必須都是整數，所以這里的數只能是非0自然數。通過對比辨析，學生調用在點子圖中積累的直觀經驗論述了因倍數概念的內涵本質。在此，借助直觀的點子圖還有另一好處，那就是讓“0除外的自然數”這一規定顯得合乎情理。

四、依“形”建構模型

【教學片段4】

師：點子圖幫了我們的大忙，有了它，因倍數概念就非常淺顯易懂，以后找倍數就可以回想點陣圖。請大家思考一下，借助點陣圖尋找某數的倍數，其實是對應地先確定什么，再找什么？

生1：先確定一行的點數，再逐步遞增行數計算總數。

師：下面請大家依據他的描述，自己動手圈畫一下，試著找一下7的倍數。

（學生邊匯報教師邊播放課件，最后得出圖7）

圖7

師：通過剛才的操作，請歸納找一個非0自然數a的倍數的方法。

生2：a×1，a×2，a×3……

生3：依次找a的1倍、2倍、3倍……

師：根據自然數的定義，倍數的數量是無限多的，有最小的倍數，一個數的最小倍數就是它本身，沒有最大的倍數。

【評析】“圈畫點陣圖，并嘗試找出7的倍數”的活動，一方面，讓學生體驗找倍數的直觀方法，進一步領悟倍數的概念；另一方面，在這種直觀操作中，找倍數的方法也不言自明：一個數就是每一行的點數，倍數就是在不同行數下的總點數。通過圈畫，學生會發現，求一個數的倍數，就是將這個數量不斷復制，復制一次就有一個倍數出現，倍數可以無限大，這映射到乘法算式里就是將目標數從小到大不斷連續乘以自然數——從這個數的1倍開始找起，接著找它的2倍、3倍……同時，倍數的特征也一覽無余：一個數的最小倍數就是它自己，倍數可以無窮大，相鄰兩個倍數的相差值是它的本身。

因倍數本是一個代數概念，這個概念的內涵本身并不復雜，可以直接借助乘除法算式來定義，只不過，一旦與乘除法發生勾連，那么概念的范圍勢必會受到學生前認知的干擾，而倍數是專門針對非0自然數設計的，也就是只有正整數乘法算式中，才可言倍數概念。這樣一來，學生的理解難度就會驟然加大。在教學中利用數形結合之后，倍數概念必須定義在非0自然數范圍內就顯得天經地義，因為任何隊列的列數和行數以及總數都必須是正整數，這是與客觀現實相適配的。因此，用數形結合的方法來理解倍數概念可以精準揭示概念內涵。