“歸一問題”教學策略嘗試

浙江杭州市余杭區良渚七賢小學（311100） 沈敏

教學“解決問題的策略”前，筆者對三年級學生進行了調研，用題目“叔叔買了3只同樣的茶杯花了18元，如果購買8只同樣的茶杯，一共要花多少錢？”對學生進行測試。全班40名學生，測試結果如表1所示：

表1

前測反饋的信息顯示：16名學生不會列式，大多數學生企圖一步到位，其中有8名學生列出的算式是“18×8”，列式為“3×8”的也不少，還有2名學生面對這一問題無所適從。從列式情況可知，學生很難找到隱藏的“一份數”這個過渡條件。在得出答案為48的24名學生中，有的憑直覺列出“8×6”的正確算式，可對數字“6”從何而來說不出個所以然。由此可見，這些學生對歸一問題中“一份數”還是有所感覺，但是不夠具體鮮明，而歸一問題中的“一份數”是解題的樞紐所在。

因此，教師要讓學生掌握歸一問題的解題策略，必須設法讓學生意識到“一份數”這個過渡條件的必要性和重要性。那么如何讓學生深切意識到這一點呢？對此，筆者進行了大膽的創新和嘗試。

一、在新授中感知“一份數”

要想讓學生意識到“一份數”這個量的存在，在解題過程中，教師可以借助圖示、解說解題思路等突出“一份量”的重要性。

1.借助圖示語言

筆者首先出示例題：媽媽買2雙同樣的鞋墊，用了12元，如果買5雙同樣的鞋墊，需要多少錢？在充分審題后，已有學生知道如何解決，但部分學生還是毫無頭緒。于是，筆者讓解題受阻的學生畫出題中的信息和問題，讓順利解題的學生用簡圖表述自己的思路。學生一旦動手畫圖，“一份數”的概念就會浮出水面。

筆者展示了實物圖、圓圈圖和線段圖三種自主探究的圖式（如圖1），讓相關學生闡述自己的創作心得和構思立意。

圖1

學生通過解讀示意圖，感受到“要求出買5雙同樣的鞋墊需要的總價，就必須預先知道1雙鞋墊的價錢”這個基本前提。為了讓學生更加敏銳地捕捉到“1雙鞋墊的價錢”這個“一份數”，筆者提出問題：“買2雙同樣的鞋墊用了12元，據此畫出兩條等長的線段。買5雙這樣的鞋墊需要多少錢該怎么畫？”學生異口同聲地回答：“畫5段。”筆者繼續追問：“每次畫出的一條線段應該有多長？”學生回答：“應該和剛才的兩條線段保持一致。”從學生的反饋來看，“一份數”的概念意識已被喚醒。

2.借助思維表述

在兩步計算應用題的教學中，教師應該注重學生表述時的思路，尤其是對中間量這種過渡條件的揭露。

在出示算式“12÷2=6（元），5×6=30（元）”后，通過問題“這兩步算式分別求的是什么？第一步計算為的是什么？”，讓學生明確說出第一步求出了什么，使其明白第一步計算的結果是第二步計算必不可少的一個基礎條件，第一步的計算結果就是“一份數”。在學生闡述想法時，教師應一步步記錄解題步驟和原理，例如：1雙鞋墊多少錢？12÷2=6（元）。5雙鞋墊多少錢？5×6=30（元）。這樣，通過板書展示解題思路，就是用文字對“一份數”這個概念做了最好的注解。

3.借助對比活動

如何利用好變式，讓學生在分辨各變式中領悟“一份數”的真諦？不妨在學生解決了問題“買5雙同樣的鞋墊需要多少錢？”后，讓學生根據“媽媽買2雙同樣的鞋墊用了12元”這個基本條件，自己提出問題后解答，并陳述思路。

無論哪種方法，最終目的都是向學生滲透“一份數”這個關鍵量，不僅因為這個“一份數”是解題所需的中間條件，它也是教學的難點，因為學生有時是稀里糊涂地去求這個量的，無法分辨前后條件之間的關系，也不知道前面的基礎條件其實就是為了暗示“一份數”的存在，后面要求的結果就是建立在對這個“一份數”的處理上的。通過畫圖，學生就可以直觀感知到“一份數”的客觀存在，因為無論是求總數的順向應用還是求份數的逆向應用，都可以在一一對應中發現線索。“一份數”是連接前后條件的樞紐，求出“一份數”后，所有的問題都可以迎刃而解，所有的數量關系都可以聯通起來。

二、在鞏固中完善“一份數”

在現實生活中，“一份數”俯拾皆是，它不單是“1雙鞋墊的價錢”，還可以表示許許多多的含義，像“動車平均每分鐘行駛3千米”“每名醫生照顧6名患者”“每張桌子配有5把椅子”都是“一份數”。

教材中“做一做”出現的“一份數”與例題也大有不同：

小林堅持體育鍛煉，3天跑了2400米。

（1）照這種速度，7天可以跑多少米？

（2）照這種速度，第一個周期的跑步目標里程數為6400米，需要堅持跑幾天才能圓滿完成目標？

此時，“平均每天跑步800米”變成“一份數”，筆者認為編排這道題的出發點不單是為了深化歸一問題的解題策略，更重要的是拓展“一份數”的范疇。

在精研了教材的練習之后，筆者在鞏固環節編設一道連線題，擴充和豐富“一份數”的概念外延。

連一連：

①18÷3×8；②30÷（18÷3）。

（1）程序員小紅3天能編完18個手機單機游戲程序，照此速度，8天能編完多少個手機單機游戲程序？

（2）18位程序員分成3組編程，照這樣分組，30位程序員應該分成幾組？

（3）程序員小明計劃8天編完30個手機游戲程序，實際上3天就編完了18個，照此速度，完成計劃的任務需要幾天？

1.在反饋中豐富“一份數”

三小題中，第（1）（2）題極為容易，連線后學生可以陳述自己的想法，尤其是必須交代清楚第一步先解決什么，在學生各抒己見中豐富“一份數”的外延。第（3）題難度陡增，多余條件“8天”赫然出現，遭受了這種突如其來的變化，有的學生認為答案是第①個算式。在反饋中，學生領悟了這一問的終極目標是“照此速度，編完30個程序需要幾天”的問題，如果按照第一種算法，解決的是“照此速度，8天一共編程幾個”，兩種做法求出的得數完全不是一個性質。但是通過比較，學生發現它們有一個共同點，那就是必須先求出“平均每天編程幾個”這個前提條件。在此處，“平均每天編程6個”就是“一份數”，這樣，利用錯誤資源，再次揭示“一份數”的概念本質。

2.在歸納中豐富“一份數”

待第（3）題的難點攻破后，筆者又設計了如下環節：找出三道題的相同點。學生通過對比很快發現，“18÷3=6”這個算式每次都會出現，由此算出的“一份數”是解決類似問題的樞紐和關鍵，而“18÷3=6”這個算式可以表示多種多樣的“一份數”，需要視具體情境而定。

學生了解了什么是“一份數”，也知道“一份數”的作用后，卻不一定能清楚地分辨什么是“一份數”，因為有的“一份數”很隱晦，不像表面上看到的那么簡單，課本上對“一份數”也沒有一個確切的定義，它可以是“每份數”，也可以是“組合數”，可能會以多種不同的面貌出現，教師可以通過形式多樣的習題來教會學生分辨和識別。比如，3個人吃6個蘋果，按照這種分配原則，9個人一共要吃多少個蘋果？此時，如果將3個人編為一組，9個人就可以編為3組，每組吃6個蘋果，此處的6個蘋果也是“一份數”，9個人編為三組，每組吃6個蘋果，3組一共吃6×3=18（個）蘋果。可見，此處不一定要將“6÷3=2（個）蘋果”作為“一份數”，而是將“每組吃6個蘋果”作為“組合一份數”。從另一個角度看，將3個人編為一組，也是將零散的3個人從形式上改造為特殊的“一份數”，9個人的總數中含有三個這樣的“一份數”，即9÷3=3。

三、在拓展學習中深化“一份數”

在教材的習題中，有這樣一道題：

某職業技術學院大四學生到定點工廠實習，每3名學生共同裝配12個機械部件。

（1）按照這種分配制度，6名實習生應該裝配多少個機械部件？

（2）如果一共有36個未裝配的機械部件，一共要安排多少名實習生操作？

對于第（1）題，歸一法和倍比法都可行，但是無論哪種方法，必須率先解決“一份數”的問題。在歸一法中，是把“平均每名實習生裝配4個部件”看作“一份數”，而在倍比法中，卻是把“3名實習生裝配12個部件”視為“一份數”，這是對通常意義上的“一份數”的一種延伸和引申，筆者在拓展環節設計了這種練習，旨在拓寬“一份數”的類型。設計練習如下：

買2張從付家坡到新華路的地鐵票需要10元錢。買8張這樣的地鐵票，45元錢夠嗎？

解決這道題，正歸一、反歸一和倍比三種方法均可。在反饋時，先讓學生通過正反歸一的辨析，鞏固新知，然后重點研究倍比法，對兩者進行對比辨析，尋找相同點，擴充“一份數”的類型和用法，從而幫助學生正確解題。

1.在溝通中深化“一份數”

正歸一和反歸一的共同點顯而易見，但正歸一和倍比法的共同點則很隱蔽。于是，在理解倍比法“8÷2=4，4×10=40（元）”時，筆者讓學生采用圖解法，直觀揭示算式的深層含義和數量轉換原理。通過圖示法（如圖2），學生領悟了其算理就是將“2張票多少錢”看作“一份數”，8張票含有4個2張，即需要4個“一份數”，也就是需要支付4個10元。通過這道題，學生溝通了歸一法和倍比法的聯系，“一份數”又多了一個類型。

圖2

2.在拓展中深化“一份數”

在學生理解了“2張票多少錢”可以看作“一份數”的基礎上，教師還應引導學生認識到，實際生活中，也可以把“3輛摩托車一共多少錢”“4名軍人站成一排”看作“一份數”，通過教師舉例、學生交流，擴充“一份數”的輻射面，學生合作探究，設計一些用歸一法和倍比法都可以解決的問題，在具體情境中鞏固“一份數”的新概念。

“一份數”的內涵十分豐富，根據現實情境的需要，有的“一份數”是不可分離的，必須作為一個整體出現。比如有個網劇，12集為1個單元，3名演員合作出演1個單元，那么這3名演員就是一個不可分離的“一份數”，不能再用12÷3=4，得每名演員出演4集網劇，因為3名演員必須共同合作才能完成12集網劇。如果問題是36集3個單元網劇需要招募多少名演員，那么只能用36÷12=3，需要3組人馬，3×3=9，一共需要9名演員，9名演員是不可混合的，必須獨立成組。如果問題是想問幾名演員共同出演多少個單元，那么這個演員數只能是3的倍數，不能是任意數字，因為3名演員是不可分割的。

在課堂教學后，筆者對同一批學生進行了后測，測試題分別是：

（1）小林堅持晨跑，3天跑了3000米，照這樣的速度，7天可以跑多少米？

（2）冬天，清潔工們清掃積雪。3名清潔工清掃了12條街，如果全鎮有36條街道，一共需要幾名清潔工才能清掃干凈？

（3）把3塊木板碼放起來，高度是18厘米。如果把同樣的9塊木板碼放起來，高度能夠達到多少厘米？

全班40名學生的測試情況如表2所示：

表2

從后測結果來看，讓學生在新授環節學習“一份數”，在鞏固環節豐富“一份數”，在拓展環節擴充“一份數”，大部分學生都能全面掌握“一份數”。

當然，后測也反映出一些問題：做對的學生可能是僥幸，碰巧套用了這個模型，有可能并未真正做到融會貫通；一旦題目變成歸總問題，學生會不會解決就不好說了；教學策略怎么改進，練習如何完善，這些都是教學下一步努力的方向。