信息化環境下幾何畫板在“旋轉的特征”中的實踐應用

◎馮麗梅 何巧玲

(四川師范大學數學科學學院，四川 成都 610068)

引 言

隨著信息技術的發展和不斷進步，數學工具逐漸從基礎硬件向著操作軟件轉變，從物體表象向著直觀信息傳達轉換.幾何畫板(The Geometer’s Sketchpad)自引入中國以來，便沖擊著各個教學領域(數學、物理、化學等)的傳統模式，尤其在數學教學中成為不可或缺的部分.從1996年人民教育出版社被正式授權發行幾何畫板中文版以來，幾何畫板極大地方便了數學教育及其他領域的教學工作.學術界對該工具的研究也呈現出了一定的熱度，在當下信息技術高速發展的時期，我們需明確：“……對于教學軟件的使用也講究‘法’，其使用應以激發學生思考、探索為目的……”因此，對幾何畫板功的能進行分析和研究，可以為教師的教學和學生的學習提供更有效的幫助.本文運用幾何畫板對“旋轉的特征”(華東師大版七年級下冊第十章第三節)進行了教學分析，說明如何應用幾何畫板，以期解決幾何教學中的普遍性問題.

一、幾何畫板簡介

“幾何畫板是一種在平面幾何教學、立體幾何教學、代數教學、三角函數教學等中通用的教學工具.”其還被廣泛運用于物理、化學及機電等課程的教學.作為畫板工具的一種，幾何畫板是“以數學為根本，以點、線、圓為基本元素，通過對點、線、圓三種基本元素進行構造、變換、組合、度量、計算、動畫、跟蹤軌跡等構造較為復雜的平面圖形，解決相關問題，以指導教學，提升學習效率”的工具，可實現動態抽象運動向靜態簡單推理、靜態復雜固化向動態簡易分解的過渡，使教學高效便捷.

二、幾何畫板的功能及特點

(一)高效實用的基本功能

繪圖功能是幾何畫板最基本的功能之一，可以構造基本圖形(點、線、圓等)，建立所需坐標系；變換功能可以使所選元素平移、旋轉、縮放、反射、迭代等；動態演示功能是幾何畫板最重要的功能，可以使學生直觀地看出圖形在運動過程中的變化；隱藏/顯示功能可以在同一位置放置不同元素，也可以將暫時不需要呈現的元素隱藏起來，在需要的時候將其顯示出來；追蹤功能可追蹤點、線的運動軌跡并顯示出來，將動態過程靜態化，將抽象圖形直觀化；強大的計算功能可以科學地展示數值之間的聯系；度量功能可充分、直觀地顯示平面圖形的長度、距離、周長、圓周長、角度、面積、弧度角、比、點的值、坐標等的變化趨勢，為探究性質提供便利，驗證探究結論；顯示功能可根據不同需求對不同對象設置粗細、顏色、標簽等，使圖形簡單化、便于觀察；制表功能可快速建立表格，生成所用數據，使學生易地發現其中的規律；繪制函數功能可在所建坐標系中將各類函數圖像準確地描繪出來，還可在其中建立適當的參數觀察圖像(圖像可隨參數的變化而變化)，以探究函數圖像的特征，促進學生的思維發展，體現數與形的完美統一.

(二)多樣便捷的多重特點

幾何畫板在實際運用中具有的特點如下：(1)操作簡單，學習便捷,使抽象問題直觀化，降低學生學習的難度；(2)使動態問題靜態化,推動學生探究問題，促進學生養成動靜轉換、靜態推理的思維方式；(3)繪制函數圖像精確化，培養學生數形結合的能力，突破教學中的抽象難點；(4)揭示數學本質，加強知識內部聯系，促進學生掌握數學基礎原理和方法；(5)完善教師的教學方式，使教學方法現代化；(6)轉變學生的學習方式，培養學生的實踐能力，激發學生的學習興趣，提高學生靈活轉換思維的能力.

三、幾何畫板在初中數學教學中的教學設計——以“探究旋轉的特征”為例

有教師認為，將抽象的數學定理和規律進行可視化處理，可以提升課堂互動質量，培養學生的科學思維能力.平移、軸對稱、旋轉是圖形的三大變換方式，其中旋轉是較為復雜的一種變換，可與其他知識點結合起來進行綜合考查，并在中考中占有很大的分值.數學課程標準(2011年版)明確指出：“探索它的基本性質：一個圖形和它經過旋轉所得到的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.”因此，幫助學生理解旋轉的特征十分重要.

在傳統教學中，教師引導學生認識兩類旋轉圖形(旋轉中心在圖形上、旋轉中心在圖形外)的對應元素(對應點、對應線段、對應角)之后，可在原圖形的基礎上以如下方式探究旋轉的特征.

圖1

圖2

觀察圖1與圖2,你能發現有哪些線段相等?有哪些角相等?

我們可以看到,在圖1中,線段OA,OB都是繞點O逆時針旋轉45°到對應線段OA′,OB′,而且

OA=OA′,OB=OB′,AB=A′B′;

∠AOB=∠A′OB′,∠A=∠A′,∠B=∠B′.

在圖2中,旋轉中心是點O,點A,B,C都是繞點O逆時針旋轉60°到對應點A′,B′,C′,而且

OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′;

AB=A′B′，BC=B′C′,CA=C′A′;

∠CAB=∠C′A′B′，∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′.

在沒有幾何畫板的情況下，學生只能通過觀察課本上固有的圖形，在腦海中構造圖形的旋轉過程，但這一過程對空間想象能力較弱的學生頗為困難.教師在教學過程中要照顧不同層次的學生并增加課堂學習的趣味性，因此可以借助幾何畫板這個數學工具來實現這一教學目的.

下面介紹幾何畫板在“探究旋轉的特征”中的三個具體應用.

(一)運用動畫功能引導學生提出猜想

教師可以用幾何畫板作出符合幾何規律、本質的幾何圖形，將靜態圖形動態化，使學生在動態中感受恒定不變的幾何事實.教師利用幾何畫板構造出圖形的旋轉，使得圖中的點、線、面沿著預設的方向運動，呈現出動態效果，幫助學生猜想，激發學生的學習興趣.

如圖3，教師可利用幾何畫板的動畫功能，點擊旋轉按鈕，使△A′B′C′從初始位置(與△ABC重合)繞給定旋轉中心點A或點O逆時針旋轉.在此過程中，教師隨時點擊“旋轉”按鈕停止旋轉，以便學生觀察并提出恰當的猜想.

圖3

(二)運用度量功能驗證學生的猜想

在驗證猜想時，教師可以讓學生先使用常規工具(圓規、直尺、量角器等)繪圖并測量.尺規畫出的圖形是靜態的，尺規作圖不便于學生發現一些幾何規律、圖形本質，而且學生容易出現測量誤差，導致得出錯誤的結論.幾何畫板的度量功能可以精確測量指定的長度、角度等，并且可以隨著圖形的變化顯示實時測量值，這極大地方便了課堂教學工作，使教師得到良好的教學效果.

如圖4，教師可利用幾何畫板的度量功能直接量出各個旋轉角的角度及各組對應點到旋轉中心的距離，讓學生直觀感受數量之間的關系；隨意拖動圖形中的元素(點、線)，使學生明白等量關系不是偶然的，從而證實之前的猜想，使學生明確旋轉的特征.

圖4

(三)運用顯示功能直觀展示

由于圖形中連線較多，學生可能不便理清思路，教師可利用幾何畫板中的顏色功能將各組對應點到旋轉中心的連線用不同顏色表示出來，還可利用隱藏/顯示功能將暫時不用的線段隱藏起來，在需要時顯示出來.例如，如圖5，證明∠AOA′=∠BOB′時，教師可將線段OC與線段OC′隱藏起來，以便學生觀察.

圖5

四、小結

綜上，“任意拖動圖形其幾何關系不變”是幾何畫板的重要特點，也是使用率較高的應用功能.學生可以通過幾何畫板這一工具直觀地觀察圖形，從而猜想并驗證數學命題.教師可以通過幾何畫板培養學生的綜合素質、探究能力、應用能力等.因此，在實現現代教育改革、打破傳統教學模式的過程中，數學工具尤其軟件工具發揮了極大的作用，對其的研究也將持續成為中學數學教學的熱點話題.