初中數學中空間觀念的培養與應用

◎曾志勇

(福建省福州屏東中學，福建 福州 350003)

數學是研究數量關系和空間形式的科學，具有較高的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性.空間觀念是義務教育階段數學學科核心素養的重要組成部分，是學生理解現實生活中空間物體的形態與結構、形成空間想象力的經驗基礎.學生通過概念的理解與解釋、規則的選擇與運用、問題的發現與解決等學習活動，經歷操作、觀察、想象、比較、綜合、抽象分析等過程，形成認識空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的必備數學品格和數學關鍵能力.

一、初中數學中空間觀念的培養與應用存在的問題

(一)脫離實際生活，忽視抽象經驗的積累

數學學科具有高度的抽象性.空間觀念的發展需要借助相關的空間知識素材，教師要引導學生根據物體特征抽象出幾何圖形，再根據幾何圖形想象出實際物體，并表達物體的空間方位和與其他事物的位置關系，感知并描述圖形的運動和變化規律，進而運用空間觀念來解決問題.空間觀念與數學學習相伴而生，教師要創設“一以貫之”的學習情境，引導學生在認知過程中自覺地進行總結與歸納，從感性認識上升為理性認識，由形象思維發展為抽象思維.目前，在圖形與幾何的教學中，一些教師脫離生活實際，僅引用教材中的案例，不注重素材的選取與拓展，未通過創設學生熟知的生活、工作及學習的三維空間情境來引導學生觀察與思考，忽視了學生抽象經驗的積累，導致學生經驗不足，無法有效地理解現實生活中空間物體的形態與結構.如在立體圖形的教學中，一些教師僅用PPT或幾何畫板軟件呈現部分現實生活中的物體，未展示生活中的實際物體.

(二)跨越知識基礎，忽視邏輯認知的起點

數學學科具有嚴密的邏輯性.空間觀念的發展需要借助幾何作圖，教師要引導學生根據數學知識的內在關系及描述作出符合題意的圖形或根據題意通過推理作出圖形，再現文字或符號語言所描述的圖形運動與變化過程，有邏輯地思考.目前，在幾何作圖的教學過程中，一些教師不遵循學生的認知規律，將作圖的相關知識直接在七年級下學期灌輸給學生.如在未學習三角形全等知識時，一些教師將“五個基本作圖”一次性灌輸給學生，忽視了數學學習的邏輯起點，導致學生僅知其然、不知其所以然，無法有效感知圖形運動的變化規律，為后續學習埋下隱患.在九年級學習“圓錐的側面積與全面積”時，學生需要在二維和三維之間來回切換思維，即根據立體圖形畫三視圖，或者根據三視圖還原平面圖形.部分學生無法深入理解平面圖形(扇形)與立體圖形(圓錐)之間的關系，空間觀念薄弱.

(三)缺乏問題意識，忽視廣泛的應用范圍

數學學科具有廣泛的應用性.空間觀念的發展需要學生具有良好的問題意識，并能基于問題、結合條件進行大膽聯想，尋找解決問題的方法.數學空間觀念的運用是訓練學生數學思維的重要方式之一.目前，一些教師不注重結合學生熟悉的事物來啟發學生思考，不注重將教學內容與現實生活廣泛聯系，缺乏問題意識，不注重分析，忽視擴大應用范圍，不能有效培養學生的創新思維能力.如在問題解決過程中，學生面對需要用多個知識點或多個步驟來分析的題目時，往往不能找到正確的思路與方法，甚至不知所措，導致解題的正確率不高.此外，在教學過程中，部分教師只注重基本知識、基本技能的教學，不注重數學思想的滲透，沒有結合圖形進行分析，因此學生無法理解蘊含于圖形中的數學思想，導致學習不得要領，無法有效解決問題.

二、初中數學中空間觀念的培養與應用

(一)整體把握課程，培養空間觀念

圖形與幾何是義務教育階段數學學習的重要內容，是培養學生空間觀念的重要載體.初中階段的圖形與幾何教學內容包括圖形的性質、圖形的變化和圖形坐標三大類，學生在小學圖形與幾何的學習基礎上進一步學習點、線、面、角、三角形、多邊形和圓等幾何圖形，從演繹證明、運動變化、量化分析三個方面研究圖形的基本性質和相互關系，從知識結構化的角度發展空間觀念.因此，教師必須對空間觀念進行整體的把握與認識，樹立空間觀念意識，多與學生進行互動，通過課堂教學、布置作業和隨堂檢測等方式培養學生的空間觀念，對學生日常訓練進行精心設計，改變傳統教學模式，通過調查了解學生在發展空間觀念的過程中遇到的問題，及時提供幫助并多鼓勵與肯定學生.如在三角形教學中，教師可從不同角度把握課程，進而開展教學(如現實背景→三角形概念→三角形表示→三角形性質→全等三角形→特殊三角形)，定性研究各要素之間的位置關系，定量研究各要素之間的數量關系等，引導學生從學結構發展到用結構，進而發展空間觀念.

(二)引入空間素材，培養空間觀念

空間觀念貫穿整個義務教育階段的數學學習，從某種意義上說，一個人空間觀念的形成離不開自身經驗的積累，經驗的積累離不開問題的廣泛涉獵.因此，在教學中，教師要引入現實生活中豐富的空間素材，將現實素材融入課堂教學中，創設數學教學情境，使教學更直觀，以便學生理解.如，在九年級學習投影時，學生觀察一天當中電線桿影子的不同位置，結合方位知識，形成空間觀念，并用空間觀念分析、解決問題.

此外，教師要注重借助現代信息技術優化教學，為學生空間觀念的培養創造良好條件.如對于物體三視圖的展示，若教師在黑板上畫出，則圖形會缺乏生動性，因此教師可利用多媒體進行動態呈現，使學生從不同角度觀察.同時，教師可設計相關習題，促進學生在發現問題、分析問題和解決問題的過程中發展空間觀念.

(三)強化概念理解，培養空間觀念

概念是對某一類事物特征及屬性進行的概括與總結，教師應掌握概念的內涵、外延及與空間觀念的關系.初中數學教學中的空間觀念知識是豐富與復雜的，教師可以啟發學生通過想象將概念和實物聯系起來，幫助學生形成空間觀念,引導學生利用空間觀念解題.如教學三視圖時，當學生理解了主視圖、左視圖及俯視圖的概念后，教師可以通過具體習題幫助學生鞏固與內化空間觀念，并且對三視圖概念進行深入挖掘，讓學生明確三者之間的本質聯系.教師還可引導學生動手繪制三視圖，對三視圖進行深入理解,通過應用三視圖發展空間觀念.

(四)強化作圖操作，培養空間觀念

作圖訓練可以提高學生的操作能力及思考能力.實際上，數學教學不僅是教師向學生講授知識的過程，還是學生主動學習知識與提升數學能力的過程.學生作圖的能力在一定程度上反映了其空間想象能力.如大多數學生通過想象可以把三視圖的形狀用語言描述出來，但在做題或考試時會出現這樣或那樣的錯誤.主要原因是一些學生在作圖時不用尺子，操作不規范，影響了空間觀念的形成.初中學生正處于由形象思維向抽象思維過渡的時期，進一步發展學生的抽象思維離不開教師的引導與幫助.教師要進行精確的示范，培養學生良好的作圖習慣，進而發展學生的空間觀念.學生規范作圖，才能準確提高自己的空間觀念.因此，教師在教學過程中要規范學生的作圖步驟，提高學生解題的條理性.一些學生在解題時存在作圖不規范的問題，常在一些細小的環節上出現錯誤，解答問題時思維混亂.教師要重視這些問題，提高學生的思維能力，促進學生形成空間觀念.

例如，如圖1，BD是矩形ABCD的對角線.

(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的條件下，如圖2，設BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F.若直線CF與⊙A相切于點G，求tan∠ADB的值.

本題以直角三角形、特殊平行四邊形、圓為背景，設置問題情境，考查尺規作圖.教師要引導學生通過邏輯推理將未知的問題轉化已知的知識，利用圓的相關性質作圖.教師要注意發展學生的運算能力、空間觀念與幾何直觀、創新意識等數學素養.

圖1

圖2

(五)引導問題解決，培養空間觀念

學生用什么方法解決問題在一定程度上體現了學生的數學思維.在數學教學中，教師要結合現實生活對學生進行引導，讓學生結合生活中的事物進行想象分析，建立數學概念，更好地運用空間觀念解決問題，這也是對學生的變通能力、創新能力的考驗.在具體的教學過程中，教師可以引導學生嘗試一題多解、多題一解，培養學生分析問題的能力，使學生逐步形成解題思路.學生對題意的理解程度是學生正確解題的關鍵.在分析題意的過程中，學生要了解題目的已知條件與隱含條件，思考如何用這些條件解題.教師要給予點撥與引導，幫助學生理清條件間的邏輯關系，滲透數學思想方法，培養學生的空間觀念，引導學生利用空間觀念解決問題.

(1)當點B，C，D三點不共線時，則BD+BC>DG；

(2)當點B，C，D三點共線時，則BD+BC=DG.

圖3

總之，學生空間觀念的培養應該貫穿初中數學教學的始終，教師要將其作為數學教學的重點，充分利用空間素材促進學生空間觀念的形成;注重數學思想方法的滲透，讓學生在概念學習過程中形成空間觀念;尊重學生的認知規律，以空間觀念的培養為切入點，提高學生的數學綜合能力.