創設學生提問課堂 深化數學問題教學

◎陳錦文

(福建省晉江市泉州五中橋南校區，福建 晉江 362212)

一、課前預習時段的學生提問式教學

教學中，我們時常會讓學生在課前進行預習，了解教材內容，以便開展教學.在閱讀文本的同時，學生會在已有知識的基礎上聯系實際問題或結合生活體驗獲取一些初步的認知.這些認知或許是模糊的，或許是膚淺的，或許是片面的，總之這些閱讀后產生的認知只是初步的.學生根據自己的認知提出的問題是學生發現的問題或產生的疑惑，那么教師提前創造并提供發現問題、分析問題、解決問題的空間就顯得很有必要.

教學案例1不久前，在“同底數冪的除法”一課的教學中，在課前五分鐘，我讓學生就新課預習提出問題.許同學爽朗地說：“我發現課本中關于‘同底數相除’的例題全部是指數較大的冪除以指數較小的冪，根據‘同底數冪相除，底數不變，指數相減’法則，很容易解決.”他面帶微笑，接著說：“如果是指數相同的同底數冪相除，按照法則，指數相減得零，那么指數是零要怎么辦呢？如果指數較小的冪除以指數較大的冪，計算后指數不就出現負數了嗎，這個法則還能用嗎？”“可以。”“不可以。”問題一出，同學們開始議論紛紛.看場面根本停不下來，我決定組織他們繼續評論.看來，學生在預習時是能看懂教材內容的，他們的思維在發散.這時，我要順勢而為，解疑釋惑.“這是兩個很有見地、很有價值的好問題，對同底數冪相除的不同情況考慮周到，不簡單！其實，用我們現有的數學知識可以解決這兩個問題.”于是，我列舉了兩個例子，利用已經學過的分數的基本性質，與學生共同推導了零指數冪和負整數指數冪的相關計算法則.

二、課堂學習時段的學生提問式教學

“學問”就是要學會提問，即以問題為基礎，進行問題分析和問題解決.這種方式與傳統的教學方式是截然不同的，提出一個問題往往比解決一個問題更重要.

數學案例2我上了一節初一年下華師大版一次方程組的實踐與探索課.我給出一道題：

要用20張白卡紙做長方體的包裝盒，現把這些白卡紙分成兩份，一份做側面，另一份做底面，已知每張白卡紙可以做2個側面或3個底面，如果1個側面和2個底面可以做成一個包裝盒，那么如何分才能使做成的側面和底面正好配套？

我又問學生：“請你想一想，如果可以在一張白卡紙上裁出一個側面和一個底面，那么該如何分這些白卡紙，才既能使做出的側面和底面配套，又能充分利用白卡紙？”

當白卡紙不能套裁時，最多能做成16個包裝盒，還剩下一個底面和一張白卡紙；

當白卡紙可以套裁時，用8張做側面，用11張做底面，另一張套裁出1個側面、1個底面，則共有17個側面，34個底面，正好配成17個包裝盒，較充分地利用了材料.

這時，班上數學科代表黎子豪同學提出這樣的問題：“陳老師，白卡紙怎樣剪成2個側面或3個底面，并且不留下材料呢？”我一下子被黎同學問住了.

這個問題看似簡單，實則隱含著深刻的道理：把代數運算問題轉換為幾何圖形設計問題.其探討的是數形結合思想.例題的難點是“剛好配套”，也就是不留余料，這是教材不要求的，而實際操作也難處理.我感到這是一個很好的教學資源，應當好好把握這個時機.

“請你說說看，你是如何裁剪得剛好配套的？”我把問題交給了提問的學生，同時鼓勵其他同學一起來挑戰這個問題，看看誰是思考上的王者.

很多同學開始動手畫圖，但都沒成功.大家都在研究這張矩形的白卡紙的比例是多少時，才能剪出2個側面或3個底面.

黎同學提出，可以用邊長為1∶6的白卡紙剪成2個側面或3個底面，用1個側面和2個底面做成一個包裝盒，這樣就剛好做成4×2×1的包裝盒，且裁剪過程中不留余料，如圖1所示.

圖1

問題似乎解決了，又以好像沒有解決.

黎同學又提出了一個問題：“如果用邊長為1∶6的白卡紙進行裁剪，那么第20張白卡紙只能裁出一個側面或一個底面(這樣的側面或底面指的是除了頭尾不能拼接)，但不能同時剪下一個側面和一個底面(1×6和2×4)，也就是說這樣的白卡紙沒辦法套裁，要么橫裁，要么縱裁，不能同時橫裁和縱裁，所以最多只能做16個包裝盒，而不是17個包裝盒.”他不明白這到底是為什么.

但問題出在哪里呢？首先，我肯定了該同學的提問和分析，引導他回到教材閱讀文本，思考問題：如果可以在一張白卡紙上裁出一個側面和一個底面，那么該如何分這些白卡紙，才既能使做出的側面和底面配套，又能充分利用白卡紙？

這樣，學生就明白題目的要求是在“如果”情況下提出的，并非要求不留余料.在出現題目做了一半被卡住的情況時，不妨回歸題目看看文本，還有哪個條件沒利用上，哪些文字還沒注意到，可能會使我們豁然開朗.

課后，黎子豪又提出了一個問題：“8張、9張、10張、50張白卡紙可以做多少個長方體的包裝盒？是否有規律可循？”

他在與幾名同學一起合作，在課后共同研究出表1、表2.

表1 當白卡紙不能套裁時

表2 當白卡紙能套裁時

1張白卡紙做0個包裝盒.

2張白卡紙做1個包裝盒，1張做側面，1張做底面.

3張白卡紙做2個包裝盒，1張做側面，2張做底面.

4張白卡紙做3個包裝盒，2張做側面，2張做底面.

5張白卡紙做4個包裝盒，2張做側面，3張做底面.

6張白卡紙做5個包裝盒，2張做側面，3張做面底，

1張的一半做側面，一半做底面.

7張白卡紙做6個包裝盒，3張做側面，4張做底面.

8張白卡紙做(6+0)個包裝盒和第1張情況類似.

9張白卡紙做(6+1)個包裝盒和第2張情況類似.

歸納：用n表示白卡紙的張數，

若n=7m(m是自然數)，做6m個包裝盒；

若n=7m+1(m是自然數)，做6m個包裝盒；

若n=7m+2(m是自然數)，做(6m+1)個包裝盒；

若n=7m+3(m是自然數)，做(6m+2)個包裝盒；

若n=7m+4(m是自然數)，做(6m+3)個包裝盒；

若n=7m+5(m是自然數)，做(6m+4)個包裝盒；

若n=7m+6(m是自然數)，做(6m+5)個包裝盒.

我鼓勵學生用文字、字母、圖形或表格等清楚地表達解決實際問題的過程，并體現出解釋結果的合理性.教材中沒有這方面的內容，我在這里對教材內容進行延伸，讓學生體會數學歸納思想，將本節課上成探索課，有利于培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力和創新意識，更突出本節課“實踐與探索”的課題.

我通過這道例題達到三方面的成效:第一，用方程的模型來解決實際問題；第二，滲透數學分類、數形結合、歸納法等數學思想；第三，培養學生的實踐和探索能力，使學生形成數學活動經驗積累和空間感觀.

三、課后復習時段的學生提問式教學

要讓學生學有用的數學，就要激發學生的探究熱情，使學生主動運用已有的知識和經驗,從數學的視角出發,尋求解決實際問題的辦法，內化知識，去探索新知，形成獨到的見解.

數學案例3講授“兩數和的平方”第二課時，學生對完全平方公式已有所了解，本課的主要任務是綜合應用及拓展性學習.課堂上，在一番綜合應用之后，我出了一道題目：計算(a+b+c)2.大多學生很認真地在練習本上做題，一名學生板演解題過程(運用兩次完全平方公式)，答案是對的，是一個二次六項式.“它有什么特征嗎？”我問道.這時，李同學脫口而出：“老師，能利用圖形面積來解釋一下呀？”這名學生答非所問，話鋒一轉，提出了一個新問題.“好，你先來解釋一下.”“我還在想呢.”他有些羞澀，紅著臉低下頭在本子上涂涂畫畫.“很好，大家畫畫圖形，驗證一下.”我提醒同學們回想如何利用圖形的面積關系驗證“兩數和的平方”.“哦，我懂了，”李同學異常興奮，說,“將一個正方形分成九小塊……”同學們七嘴八舌，討論十分熱烈.看得出，他們很有收獲.