無窮大的和與差等價代換定理及應用

田學剛，王少英

無窮大的和與差等價代換定理及應用

田學剛，王少英

（濱州學院 理學院，山東 濱州 256603）

研究自變量趨于有限值情形下無窮大的和與差等價代換問題．利用泰勒公式刻畫出任意２個無窮大的和與差，當２個無窮大等價時，給出它們差的等價代換定理；當２個無窮大負等價時，給出它們和的等價代換定理．結合具體實例探討等價代換定理在解決含無窮大和差的復雜未定式極限中的應用．

無窮大；等價；泰勒公式

極限是高等數學的主要工具，熟練掌握求極限的方法對理工科學生的專業學習非常重要，同時極限的計算也是碩士研究生考試的重點內容[1]．關于無窮大的比較及等價代換引起了國內學者的廣泛關注，文獻[2-4]給出無窮大比較的定義，提出了無窮大階的概念，在２個無窮大非負等價（非等價）時利用極限運算法則研究了２個無窮大和（差）的等價代換，并推廣到有限個無窮大的情況．孫衛衛[5]等在研究無窮大和差代換的基礎上，進一步研究了冪指函數中的等價無窮大代換問題，給出了其在冪指函數的實例應用．李紅菊[6]等利用極限運算法則研究了一類分子是無窮大差的分式未定式，得到了無窮大的差能代換的充分條件．李海霞[7]等討論了幾個常見無窮大階的比較，重點給出了在極限計算、判定方程有根等方面的應用．張燕[8]等通過舉例說明了２個相互等價的無窮大的差不一定是無窮大．王禧宏[9]和孟獻青[10]討論了利用無窮大和無窮小的關系求極限的方法．這些成果豐富了無窮大代換定理，為更好地求極限奠定了基礎．目前，尚未解決的問題是２個相互等價的無窮大的差是否還是無窮大，２個相互等價的無窮大的差如何替換，以前的主要研究方法是極限運算法則和初等變形，本文利用無窮大和無窮小的關系、泰勒公式等技巧研究２個無窮大和與差的代換問題，給出尋找等價無窮大的方法和應用實例．

1　主要結果及證明

定理２的證明方法與定理1類似．

同理可以證明結論（2）． 證畢．

2　實例應用

[1] 同濟大學數學系．高等數學：上冊[M]．7版 北京：高等教育出版社，2014：52-55．

[2] 王梅英，陸偉東．無窮小與無窮大的階在極限運算及判級數斂散性中的應用[J]．南京審計學院學報，2007，4（2）：73-76．

[3] 劉桂仙，劉慶升．求極限的等價無窮大代換[J]．高等數學研究，2011，14（1）：51-52．

[4] 張傳芳．再談關于無窮大量的等價性問題[J]．高等數學研究，2020，23（5）：5-6，9．

[5] 孫衛衛，孫建英．等價無窮大在未定式計算中的應用[J]．哈爾濱師范大學自然科學版學報，2014，30（3）：69-72．

[6] 李紅菊，丁健．關于等價無窮大量代換求極限的補充[J]．長春大學學報，2015，25（10）：46-50．

[7] 李海霞，聶東明．無窮大的比較及應用[J]．山東農業工程學院學報，2016，33（10）：131-132．

[8] 張燕，程翔宇．無窮大相減極限問題求解[J]．安徽水利水電職業技術學院學報，2018，18（1）：68-70．

[9] 王禧宏．數列及函數極限不存在、無界及有關無窮大問題的討論[J]．高等數學研究，1998（3）：25-26．

[10] 孟獻青．幾類常見函數的極限計算方法[J]．山西大同大學學報（自然科學版），2020，36（6）：33-36．

Equivalent substitution theorem of sum and difference of infinity and its application

TIAN Xuegang，WANG Shaoying

（School of Science，Binzhou University，Binzhou 256603，China）

The equivalent substitution of the sum and difference of infinity was studied when the independent variable tends to finite value．The sum and difference of any two infinities are firstly characterized by Taylor formula，and then the equivalent substitution theorem of their difference is given when two infinities are equivalent，and meanwhile the equivalent substitution theorem of their sum is provided when two infinities are negatively equivalent．Finally，some specific examples are given to show the application of equivalent substitution theorem in the calculation of complex indefinite form limit with infinite sum and difference．

infinity；equivalence；Taylor formula

1007-9831（2022）11-0026-06

O172

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.11.005

2022-04-13

國家自然科學基金項目（61703050）——網絡化隨機系統的事件觸發濾波與故障檢測；濱州學院重點教改項目（BYJYZD201808）——新工科下基于應用型人才培養的高等數學模塊化分層教學研究與實踐；濱州學院教改項目（BYJYYB201733）——基于專業服務的應用型本科院校高等數學課程改革研究與實踐

田學剛（1980-），男，山東鄒平人，講師，碩士，從事泛函分析和控制理論研究．E-mail：xuegangtian@163.com