FDTD算法與Matlab仿真在電磁場與電磁波教學中的應用

黎楊，程莉

FDTD算法與Matlab仿真在電磁場與電磁波教學中的應用

黎楊，程莉

（武漢工程大學 電氣信息學院，湖北 武漢 430205）

麥克斯韋方程組是電磁場與電磁波課程中最核心的一個知識點，物理量的抽象性、數學運算的復雜程度和預言產生電磁波等這些方程組的性質學生學習起來特別困難．從麥克斯韋方程組的微分形式出發，使用時域有限差分法（FDTD）推演時變電場和時變磁場在Yee胞中的空間和時間維度更新過程，借助于Matlab編程實現，可視化演示了電磁波的產生和傳播過程，使學生更深入、更直觀地理解“由麥克斯韋方程組預言電磁波的產生”這一重要性質．

電磁場與電磁波；麥克斯韋方程組；時域有限差分法

電磁場與電磁波是電子信息類本科專業學生的一門必修專業基礎課．這門課的理論性比較強，要求學生具備扎實的微積分、矩陣分析、矢量場等數學理論基礎，繼而具備推導、理解復雜公式的能力[1]．麥克斯韋方程組是電磁場與電磁波課程中最核心的知識點，如何讓學生通過前期的電場、磁場基本理論積累，理解掌握麥克斯韋方程組的物理意義和數學表達形式，并最終導出電磁波的產生和傳播，是貫穿課程教學的核心知識脈絡．

考慮到抽象而復雜的麥克斯韋方程組公式，給學生的學習增加了不少困難．在單純的微積分和矢量運算公式推導的基礎上，借助于計算機仿真軟件，能夠讓學生更直觀地看到麥克斯韋方程組的解確實產生了電磁波．現有的電磁波可視化教學多是基于Matlab，HFSS等仿真軟件平臺[2-5]．從學習的角度而言，相比于工程應用的HFSS，Matlab仿真在公式的編程實現、參數的自定義設置、靈活的可視化觀察等方面有優勢．然而，現有的基于Matlab的電磁波可視化教學，多是直接對麥克斯韋方程組的平面波解進行仿真[3]53，因而編程方面只是一個正弦（或余弦）函數的可視化展現，很難讓學生從本質上理解“時變的磁場產生電場”“時變的電場產生磁場”這一電磁波產生的物理過程．

理論公式、數值算法、編程實現這是大多數工科學生在高年級及研究生學習或工程實踐中需要熟悉的項目流程．在電磁場與電磁波課程教學過程中，針對麥克斯韋方程組這一核心知識點，引入了理論、算法、實現，再加上結果的可視化觀察這一貫序性的教學模式，讓學生在理論推導的同時，鍛煉了算法設計和編程實現能力，從而使學生更好地掌握麥克斯韋方程組中蘊含的數學和物理知識．

本文從麥克斯韋方程組的微分形式開始，依靠時域有限差分法（FDTD），借助于Matlab軟件工具，沿著“公式釋義、求解方法、算法原理、數值編程、仿真實現、結果可視化”這一知識脈絡，給學生講解麥克斯韋方程組產生電磁波這一過程，有助于學生深刻理解麥克斯韋方程組的內涵，以及提高數值計算方法和軟件編程實現的能力．

1 麥克斯韋方程組

推導出4個麥克斯韋方程后，從4個方面給學生科普，激發學習興趣[6-7]：（1）從科學歷史的角度給學生總結4個方程的演變，讓學生感受重要科學成果的艱難歷史，激發學生對科學問題的長期探索信心；（2）強調安培定律中麥克斯韋提出的位移電流的重要性，使學生明白站在巨人肩膀上創新的價值；（3）從數學的角度講授奧利弗·亥維賽通過向量數學對最初20個方程簡化為4個方程，讓學生感受到數學工具在科學研究中的重要性；（4）從微積分的角度講授方程組的積分形式、微分形式和時諧形式，讓學生學習到能夠從不同的方面看待同一個問題．

麥克斯韋方程組的微分形式

從物理意義上理解了每一個方程的本質后，講解方程組研究的歷史時間跨度：麥克斯韋從這4個方程預言了電磁波的存在，雖然在1888年已經由赫茲通過實驗證實了電磁波的存在，然而對這4個方程在理論上的電磁波解的研究依然經歷了近一個世紀的時間跨度．

然后，給學生講述麥克斯韋方程組的求解歷史[7-8]，這里面包含亥姆霍茲方程、波動方程解、有限元法以及引出一個重要的求解方法：FDTD，激發學生進一步學習求解方法，以及觀察方程解的物理現象（即電磁波）的求知欲．

2 電磁波可視化仿真

2.1 時域有限差分法

給學生介紹時域有限差分法的歷史和研究背景[8-9]：FDTD是電磁場計算領域的一種常用方法，由美籍香港人K.S.Yee在1966年提出，其模型基礎就是最基本的麥克斯韋方程組．隨著計算技術，特別是電子計算機技術的發展，FDTD方法在提出后得到了長足的發展，在電磁學、電子學、光學等領域都得到了廣泛的應用．

建立Yee胞和麥克斯韋方程組中電場、磁場變量之間的關系（見圖1）．

a 三維Yee胞b 二維Yee胞c 一維Yee胞

考慮到本科生初學電磁場與電磁波，課程中僅講解一維電磁波時域有限差分法．因而課堂的重點放在一維情況下從TEM波的角度重點描述電場和磁場在Yee胞中的位置關系．

2.2 一維電磁波時域有限差分法數值解

講解一維電磁波時域有限差分法數值解：

2.2.2 穩定差分方程形式 介紹使用差分表示微分方程的思路，并進一步釋義穩定差分方程形式：在有限差分方程中，每一項必須在同一時間和空間點

圖2 和在一維Yee胞中的時間和空間位置

以Yee胞中的兩點為例，寫出一維方程的穩定差分形式

2.2.4 更新迭代與算法流程圖 由差分方程（2）變形得到迭代更新方程

2.3 Matlab編程仿真實現

FDTD編程實現的流程見圖3．

圖3 編程實現流程

Matlab主體程序：

%%固定常數及設定參數

c=3e8；%光速m/s

f=1e9；%頻率Hz

eps=8.85e-12；%真空介電常數

mu=4*pi*1e-7；%真空磁導率

dt=1/f/100；%時間間隔

dz=c*dt；%距離間隔

Nt=500；%仿真時間

ke=200；%電場源位置

m1=1/mu*dt/dz；%常系數m1

m2=1/eps*dt/dz；%常系數m2

%%迭代更新

for t=1：Nt%時間t序列

for k=1：Nt-1%磁場Hy迭代更新循環

Hy（k）=Hy（k）-m1*（Ex（k+1）-Ex（k））；

end

for k=2：Nt-1%電場Ex迭代更新循環

Ex（k）=Ex（k）-m2*（Hy（k）-Hy（k-1））；

end

Ex（ke）=sin（2*pi*f*t*dt）；%電場源更新

end

2.4 結果可視化演示

圖4 電磁波傳播可視化演示結果（=200）

2.5 問題思考

對照理論、編程和仿真結果，可提出問題供學生思考解決：

（1）調整部分預設參數和電場源，學生可觀察到不同的結果，并解釋參數變化與可視化波形變化對應的原理解釋．

（3）在完全理解一維FDTD的原理和實現之后，學生可根據興趣自主進一步學習二維和三維FDTD的原理和實現．

3 結語

本文從麥克斯韋方程組開始，為加深學生對方程物理意義的理解以及麥克斯韋方程組預言產生電磁波這一重要性質，使用FDTD解釋并演示這一過程．在學習電磁波一維FDTD算法的過程中，學生同時學習了穩定差分形式、更新迭代等多領域的通用算法，不僅有效地理解了麥克斯韋方程組在空間和時間維度上的物理意義、電磁波產生的可視化觀察，也有利于學生在算法和編程知識面的擴展．

[1] 謝處方，饒克謹．電磁場與電磁波[M]．4版．北京：高等教育出版社，2006．

[2] 侯周國，劉湛．“電磁場與電磁波”的可視化教學研究與實踐[J]．新教育時代（電子雜志），2016（5）：22-22.

[3] 凌濱，郭也，劉文川．應用MATLAB設計電磁場與電磁波模擬仿真實驗[J]．高師理科學刊，2019，39（9）：52-55．

[4] 衛延，鄭晶晶．用Matlab實現電磁波的可視化[J]．電氣電子教學學報，2020，42（5）：100-104．

[5] 劉興鵬，嚴丹丹．理論仿真在電磁場可視化中的應用[J]．信息通信，2019（4）：22-23．

[6] Fleisch D，Lemons D S．A Student′s Guide to Maxwell′ s Equations[M]．New York：Cambridge University Press，2008．

[7] Rautio J C．The Long Road to Maxwell′s Equations[J]．IEEE Spectrum，2014，51（12）：36-56．

[8] 葛德彪，閆玉波．電磁波時域有限差分方法[M]．2版．西安：西安電子科技大學出版社，2005．

[9] Sullivan，Dennis M．Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method[M]．Hoboken：IEEE Press，2013．

[10] Allen Taflove，Susan C，Hagness．Computational Electrodynamics，the finite difference time-domain method[M]．Boston：Artech House，1995．Lecture Notes：https://empossible.net/academics/emp5304/．

Application of FDTD algorithm and Matlab visual simulation in the teaching of electromagnetic fields and electromagnetic wave

LI Yang，CHENG Li

（School of Electrical and Information Engineering，Wuhan Institute of Technology，Wuhan 430205，China）

Maxwell′s equations is one of the core knowledge points in the course of the electromagnetic field and electromagnetic waves．The abstract nature of the physical quantity，the complexity of mathematical operations， and the prediction of electromagnetic wave are particularly difficult for students to study．Proceeds from the differential form of Maxwell′s equations，develops the update process in space and time dimensions of time-varying electric and time-varying magnetic fields with the finite-difference time-domain method in Yee cells．Visualizing present the generation and propagation of electromagnetic waves with Matlab，which makes students understand the property the Maxwell′s equations predicts the generation of electromagnetic waves better and more intuitive．

electromagnetic fields and electromagnetic wave；Maxwell′s equations；finite-difference time-domain

1007-9831（2022）11-0086-05

O441∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.11.017

2022-05- 23

電子信息類專業教學指導委員會教改項目（2020-YB-34）；湖北省自然科學基金面上項目（2020CFB650）

黎楊（1983-），男，湖北荊州人，講師，博士，從事微波技術與天線研究．E-mail：liyangwhut@126.com

程莉（1979-），女，陜西安康人，教授，博士，從事電磁場與電磁波研究．E-mail：48128253@qq.com