基于非線性分析的加肋板肋條位置無網(wǎng)格優(yōu)化1)

彭林欣 李知閑 項嘉誠 覃霞

*(廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院,南寧 530004)

?(廣西大學(xué)廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點實驗室,工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室,南寧 530004)

引言

建筑物筏形基礎(chǔ)、混凝土剛性路面板、機場跑道、鋼箱梁等板殼結(jié)構(gòu)在不均勻載荷的長期影響下,結(jié)構(gòu)易發(fā)生傾斜、變形、開裂等問題.筏形基礎(chǔ)等結(jié)構(gòu)本質(zhì)上就是加肋板,如果在設(shè)計階段通過優(yōu)化肋條布置來調(diào)整結(jié)構(gòu)的局部剛度,有針對性地適應(yīng)載荷的局部不均勻性,可達(dá)到控制結(jié)構(gòu)不均勻變形、改善結(jié)構(gòu)力學(xué)性能等目的.

近年來各種優(yōu)化理論已被普遍應(yīng)用到結(jié)構(gòu)工程中[1-14],如Yi等[1]基于有限變形彈塑性殼體結(jié)構(gòu),對球面曲殼進(jìn)行了無網(wǎng)格法結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計;彭細(xì)榮等[2]考慮了連續(xù)體在破損-安全下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題,避免結(jié)構(gòu)過于高效而缺少適當(dāng)?shù)娜哂嘟Y(jié)構(gòu),因此對局部破壞過于敏感;陳爐云等[3]采用遺傳算法對對稱型復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)-聲輻射鋪層的幾何優(yōu)化分析;李林遠(yuǎn)等[4]對矩形加肋板的肋條布置進(jìn)行了無網(wǎng)格法優(yōu)化,結(jié)合混合遺傳算法,使橫向載荷的作用下的加肋板中心點撓度最小;王選等[7]針對體積和應(yīng)力約束下的最小柔順性問題提出了一種改進(jìn)的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法.

基于單元的優(yōu)化分析方法在每一次肋條位置改變時都需要重新劃分單元,從而增加了優(yōu)化的計算量.而無網(wǎng)格法[15]不需要劃分單元,而是在一系列離散點上進(jìn)行計算,是基于點的近似,擺脫了單元的限制.近年來無網(wǎng)格法在國內(nèi)外學(xué)者的研究探索下得到進(jìn)一步發(fā)展[15-29].彭林欣[21]提出一種求解矩形加肋板線性彎曲問題的移動最小二乘無網(wǎng)格法;楊柳和彭建設(shè)[24]采用常微分方程解法分析了平行四邊形板的彎曲問題;方電新等[26]根據(jù)變分原理,采用罰函數(shù)法滿足本征邊界條件,得到平板彎曲計算的無網(wǎng)格法控制方程,分析求解了平板的彎曲問題;曾軍才等[27]應(yīng)用改進(jìn)傅里葉級數(shù)方法,建立了正交各向異性矩形薄板的彎曲振動模型,并求出控制方程在各種邊界條件下的解析解;Zhou等[28]使用移動最小二乘法研究分析菱形板的自由振動,解決了菱形板鈍角處的應(yīng)力奇異性導(dǎo)致收斂速度慢的問題.

由以上分析可知,目前多數(shù)無網(wǎng)格方法研究都集中在平板的拓?fù)鋬?yōu)化分析,而基于幾何非線性的加肋非矩形板肋條位置優(yōu)化問題鮮見相關(guān)文獻(xiàn).為此,本文基于一階剪切變形理論[29]和移動最小二乘法[15],提出加肋非矩形板無網(wǎng)格模型,并結(jié)合遺傳算法根據(jù)實際需要優(yōu)化加肋非矩形板的肋條位置,調(diào)整加肋板的局部剛度,以減小不均勻變形并增加其自振頻率.以肋條在非矩形板上的位置為設(shè)計變量,依次以加肋非矩形板的最大頻率、控制點的最小撓度為目標(biāo)函數(shù),對肋條的布置進(jìn)行優(yōu)化.文末以不同參數(shù)、載荷布置形式的加肋圓板和加肋平行四邊形板的肋條最佳布置位置進(jìn)行分析求解,研究結(jié)果表明,該方法能有效地分析考慮了幾何非線性影響的非矩形加肋板優(yōu)化問題,且在肋條位置改變時,不需要重新劃分網(wǎng)格,極大地降低了計算量,具有一定的工程實用價值.

1 加肋非矩形板的無網(wǎng)格模型

1.1 近似場函數(shù)

本文將加肋非矩形板視為非矩形平板與肋條的組合結(jié)構(gòu),并用梁模型來模擬肋條.分別采用一系列的點來離散非矩形平板和肋條(記平板的離散節(jié)點數(shù)為np,肋條的離散節(jié)點數(shù)為ns),同時采用不同的坐標(biāo)系分別建立圓形平板(x,y,z)和梁的無網(wǎng)格模型,如圖1 所示.本文忽略肋條的扭轉(zhuǎn)剛度和平面外剛度,并且假定肋條與平板的材料屬性相同,其中R,hp,hs和ts分別為圓板平板半徑、板厚、肋條高和肋條寬,如圖2 所示.圓形平板和肋條為均質(zhì)材料,彈性模量和泊松比分別記為E和μ.

圖1 加肋圓板的無網(wǎng)格模型Fig.1 The meshless model of the circular stiffened plate

圖2 加肋圓板Fig.2 The circular stiffened plate

為方便后續(xù)推導(dǎo),假設(shè)平板上每個節(jié)點的自由度(DOF)為(up,vp,wp,φpx,φpy),up,vp和wp分別是沿x,y和z方向的平動位移.φpx和φpy分別是繞y和x軸的旋轉(zhuǎn)角度.基于一階剪切變形理論(FSDT),φpx,φpy與wp相互獨立.另外,[u0pI,v0pI,wpI,φpxI,φpyI]T=ΔpI為平板離散節(jié)點I參數(shù),u0pI,v0pI和wpI分別為離散節(jié)點I在中面上沿x,y和z方向的平動位移.

對于肋條,假設(shè)其DOF為(us,ws,φs),us和ws分別為沿著和的平動位移,φs為繞旋轉(zhuǎn)的角度,并且與ws獨立.另外,[u0sI,wsI,φsI]T=ΔsI肋條離散節(jié)點I的參數(shù).u0sI為肋條離散節(jié)點I在中面上沿的平動位移.

根據(jù)一階剪切變形理論[29]和移動最小二乘法[15],可以得到非矩形平板的位移場為

將式(1)寫成矩陣形式,有

肋條的位移場為

將式(3)寫成矩陣形式,有

式中,scale為影響域系數(shù);cI為影響域基數(shù),取節(jié)點xI與距其最近節(jié)點的間距.

菱形板相對于圓板存在邊界處的角度變換問題,使用變支撐半徑的動態(tài)影響域能夠更好對邊界進(jìn)行處理,因此本文針對加肋菱形板所出現(xiàn)的應(yīng)力集中現(xiàn)象,選擇變支撐半徑的動態(tài)影響域,而對于加肋圓板,則采用等支撐半徑的靜態(tài)影響域.

由于式(1)和式(3)中的形函數(shù)不滿足克羅內(nèi)克條件,各節(jié)點未知量是節(jié)點參數(shù)而非節(jié)點真實位移,所以板與肋條的位移協(xié)調(diào)不能像有限元那樣通過節(jié)點未知量直接施加,而需另尋途徑.本文通過肋條和平板上兩點連線和接觸面的交點建立肋條節(jié)點和平板節(jié)點的位移協(xié)調(diào)條件,從而將肋條和平板的剛度矩陣進(jìn)行疊加.如圖4 所示,肋條上任一點S,必定在平板上存在對應(yīng)點P(P點不一定是平板上的離散節(jié)點),使得P和C兩點連線垂直于xy面,C點為P和S兩點連線與板面的交點,同心肋條時三點重合.

圖4 位移協(xié)調(diào)示意圖Fig.4 Indication of displacement coordination

圖3 圓形影響域Fig.3 Circular domain of influence

在C點有以下的位移協(xié)調(diào)關(guān)系

對于肋條上的每個離散節(jié)點(離散節(jié)點數(shù)為ns個),都可以在板上找到一個點與之對應(yīng).于是,式(7)、式(8)和式(9) 分別有ns個關(guān)系,并基于FSDT 有

式中,es為肋條與板中心點間的距離,對于同心肋條,es=0.將式(11)、式(12)和式(13)寫成矩陣形式,有

將式(6)代如式(14),有

由移動最小二乘法可以知

式(17)的np為非矩形平板的離散節(jié)點數(shù),將式(16)和式(17)代入式(15),并寫成矩陣形式,可以得到

由式(18)可導(dǎo)出

矩陣Tsp即為節(jié)點參數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣,其與Ts及Tp有關(guān).若肋條改變位置時,則肋條節(jié)點對應(yīng)板上的點(xi,yi)發(fā)生變化,需要重新計算Nj(xi,yi)及Tp,但在肋條上的點的坐標(biāo)不會發(fā)生變化,所以不需重新計算Rj()及Ts.通過矩陣Tsp可以成功地將肋條添加到平板上,從而得到加肋非矩形板(復(fù)合結(jié)構(gòu))的無網(wǎng)格模型.該無網(wǎng)格模型可以任意改變肋條位置,而不需要重新布置平板的節(jié)點,避免網(wǎng)格重構(gòu).

1.2 應(yīng)力集中處的處理

如5 所示,在鈍角處(變形及應(yīng)力梯度太大)作扇形或規(guī)則網(wǎng)格形加密布置離散節(jié)點,以保證計算精度.帶有加密區(qū)的非矩形板,其離散節(jié)點的影響域采用動態(tài)影響域,而所有肋條均采用靜態(tài)影響域,以獲得更精確的計算結(jié)果.對于動態(tài)影響域,本文通過固定影響域內(nèi)離散節(jié)點數(shù)的方法確定其支撐半徑.后續(xù)算例中,以控制影響域內(nèi)離散節(jié)點數(shù)為20個為準(zhǔn).

圖5 離散節(jié)點加密Fig.5 The encryption of discrete nodes

2 加肋非矩形板的幾何非線性列式

2.1 非矩形板應(yīng)變和應(yīng)力

非矩形板的位移場如式(1),根據(jù)馮·卡門大撓度理論,可以得到非矩形板的應(yīng)變?nèi)缦?/p>

2.2 肋條的應(yīng)變和應(yīng)力

肋條的位移場如式(3),根據(jù)馮·卡門大撓度理論,可以得到肋條的應(yīng)變

為方便說明,將式(30)寫成

2.3 非線性問題的平衡微分方程

根據(jù)以上推導(dǎo)的非矩形板和肋條的應(yīng)力、應(yīng)變,以及外力的虛功,可以導(dǎo)出非線性問題的平衡微分方程

式中,F為載荷向量(例如,當(dāng)加肋圓板受面外均布力q(x,y)和集中力P的作用時,見圖6.如下

圖6 受面外均布力和集中力P 作用的加肋圓板Fig.6 A circular stiffened plate subject to an out-plane force and concentrated force P

將式(19)、式(27)和式(36)一同代入式(39),可以得到

將式(19)、式(28)、式(29)、式(37)和式(38)代入式(43),可以得到

Ss=Asσ,As為肋條橫截面面積.

從式(42)可以得到

本文采用Newton-Raphson 方法[33]來求解非線性方程.

3 加肋非矩形板的自由振動列式

3.1 平板動能

基于一階剪切變形理論[29]及移動最小二乘法[15],非矩形板以時間、空間為變量的位移場為式

則其速度Vp為位移Up對時間t求導(dǎo),即

將式(49)代入式(50),可以得到

在整個非矩形板內(nèi)進(jìn)行積分,可以得到整塊平板的動能為

將式(51)代入式(53),得平板的動能為

3.2 肋條動能

肋條以時間、空間為變量的位移場為式

則其速度Vs為位移Us對時間t求導(dǎo),即

將式(56)代入式(57),可以得到

在整個肋條內(nèi)進(jìn)行積分,可以得到整個肋條的動能為

將式(59)代入式(60),得肋條的動能為

當(dāng)非矩形板上有多個肋條時,可以按照類似的方法肋條的動能依次疊加到平板上.若是肋條的幾何尺寸及材料沒有改變,只是擺放位置不同,不需重復(fù)計算每根肋條的彈性剛度矩陣,只需計算Tp矩陣.

3.3 自由振動控制方程

結(jié)合文獻(xiàn)[34],可以得到加肋板的應(yīng)變勢能為

將式(54)和式(63)進(jìn)行疊加,可以得到整個加肋板的動能

由Hamilton 原理,可以得到加肋非矩形板的自由振動問題的控制方程

通過完全轉(zhuǎn)換法處理本質(zhì)邊界條件,可以得到以真實節(jié)點位移為未知量的加肋板自由振動控制方程

代入邊界條件求解方程,可以得到結(jié)構(gòu)的自振頻率

4 算例分析

以菱形及加肋圓板(單肋條板及垂直雙肋條板)為例,先通過受均布載荷作用的單肋條菱形板的肋條位置優(yōu)化分析驗證本文算法的準(zhǔn)確性,再采用遺傳算法[35]優(yōu)化局部載荷作用下單肋、雙肋菱形及圓形板的肋條位置,控制板中點撓度最小和最大化加肋板的自振頻率.

在遺傳算法優(yōu)化中,本文使用rand 函數(shù)在非矩形板上隨機生成肋條的20個初始位置,采用輪盤賭選擇法,單點交叉算子(交叉概率Pc=0.5),基本位變異方式(變異概率Pm=0.1),并利用連續(xù)幾代的個體適應(yīng)度的平均值(或方差)作為終止準(zhǔn)則,反復(fù)迭代計算找出最優(yōu)解.

4.1 加肋菱形板控制點最小撓度肋條位置優(yōu)化

4.1.1 本文優(yōu)化方法的有效性分析

一四邊鉸支的加肋菱形板(圖7),E=68 GPa,μ=0.27,hs=0.08 m,hp,ts均為0.01 m,l1=l2=1.5 m.加肋菱形板受均布載荷作用q=50kN/m2,顯然在該載荷作用下使板中點撓度最小的肋條最優(yōu)位置為x=0.75 m.現(xiàn)采用本文所述的方法進(jìn)行10次優(yōu)化分析:種群數(shù)選為20(編號為1 至20),遺傳終止迭代的次數(shù)定為30,無網(wǎng)格方案為n=10.10次優(yōu)化分析結(jié)果見表1,相應(yīng)的波動曲線如圖8 所示.

圖8 均布荷載作用下本文解與理論解的對比Fig.8 Comparison of the presented solution and the theoretical solution

表1 均布荷載下加肋菱形板肋條位置10次優(yōu)化結(jié)果Table 1 Results of rib position optimization of the skew stiffened plate under uniformly distributed load

圖7 受均布荷載作用的單肋菱形板Fig.7 Single stiffener stiffened plate subjected to uniformly distributed load

結(jié)果表明:在十次優(yōu)化結(jié)果中,除第6 次優(yōu)化結(jié)果誤差相對較大(30.133 3%),其余的相對誤差均在3%以內(nèi),其中第9 的優(yōu)化結(jié)果最佳.第6 次計算結(jié)果誤差相對較大的主要原因是:遺傳算法在迭代過程中會出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)解的情況.以下分別就第9 次和第6 次的結(jié)果作詳細(xì)分析:

(1) 第9 次計算結(jié)果分析:第9 組數(shù)據(jù)迭代1 次、10次、20次及30次的種群分布情況如圖9所示(虛線位置x=0.75 m為本算例最優(yōu)解),并以樣本方差式描述肋條的位置與最優(yōu)解之間的偏離程度.

圖9 均布荷載作用下單肋條優(yōu)化迭代過程的種群分布(第9 次計算結(jié)果)Fig.9 Population distribution of single rib optimization iterative process under uniform load(the 9th result)

式中,n為樣本容量,即種群個體的數(shù)目,取值為20,隨機變量xi為肋條的位置,為最優(yōu)解,本算例中=0.75 m,初始種群、迭代10次、20次及30次的方差分別為0.159 3,0.015 5,0.014 2,0.0018.

由圖9 可知隨著迭代次數(shù)的增加,種群中的優(yōu)勢個體逐漸增多,個體逐步向最優(yōu)解靠近,當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到一定值時結(jié)果收斂,證明了遺傳算法的有效性.由第10代和第20代種群的分布發(fā)現(xiàn),在同一代種群中(或者不同代種群之間)有些個體是相同的,這是由于在遺傳算法的迭代中大概率是種群里適應(yīng)度高的個體參與到下一步運算,從而引起部分個體重復(fù)出現(xiàn).每一代的最優(yōu)解逐漸向全局最優(yōu)解(x=0.75 m)靠近,第10代的種群中已出現(xiàn)17 個相同且優(yōu)質(zhì)個體,直至第30代,種群中所有個體均相同且優(yōu)質(zhì),即結(jié)果收斂于最優(yōu)解.此外,由初始種群的分布圖可知個體在0～ 1.5 m 范圍內(nèi)隨機且分散分布,說明了遺傳算法在優(yōu)化過程中搜索的隨機性和全局尋優(yōu)性能.

(2) 第6 次計算結(jié)果分析:第6 組數(shù)據(jù)迭代一次、10次、20次及30次的種群分布情況如圖10所示,方差計算結(jié)果分別為0.189,0.049,0.061,0.052.結(jié)果表明:隨著迭代次數(shù)的增加,群體的總體分布趨勢亦是逐漸向最優(yōu)解靠近,但最終收斂于一個局部最優(yōu)解(在最優(yōu)解附近),且在進(jìn)化過程中出現(xiàn)了優(yōu)勢個體丟失的情況,例如第一代出現(xiàn)了個體最優(yōu)點x=0.762 m,卻在第10代丟失.這主要是由于傳統(tǒng)的遺傳體制和根據(jù)適應(yīng)度進(jìn)行比例選擇的保留策略,會讓適應(yīng)度值大的優(yōu)勢個體在下一代進(jìn)化選擇中得到相對較多的取樣,而某些適應(yīng)性較差的劣勢個體則被過早丟棄,隨著迭代代數(shù)的遞增,產(chǎn)生了局部最優(yōu)解.

圖10 均布荷載作用下單肋條優(yōu)化迭代過程的種群分布(第6 次計算結(jié)果)Fig.10 Population distribution of single rib optimization iterative process under uniform load(the 6th result)

以上研究表明:本文方法可以找出肋條的最佳位置,在特定載荷和邊界的情況下使得加肋圓板的中點撓度最小.另外在尋優(yōu)過程中可能出現(xiàn)收斂于局部最優(yōu)解的現(xiàn)象,需要通過多次計算,對比所得結(jié)果找出最優(yōu)解以保證準(zhǔn)確性.

4.1.2 局部載荷作用的單肋條位置優(yōu)化

在4.1.1 節(jié)算例的基礎(chǔ)上將均布載荷改成局部載荷,載荷大小改為100kN/m2,其余參數(shù)不變,如圖11 所示.進(jìn)行十次優(yōu)化計算,結(jié)果見表2,表明第10次計算結(jié)果最優(yōu),控制點(板中點) 的位移最小(5.057 41 mm),故選x=0.662 906 m為最優(yōu)解.第10組初始種群、迭代10次、20次以及30次的種群分布情況圖12(虛線位置x=0.662 906 m),其樣本方差分別為0.057,0.036,0.022,0.014.結(jié)果表明:隨著迭代次數(shù)的遞增種群逐漸向最優(yōu)點靠近,最終可求出在相應(yīng)載荷作用下加肋菱形板使控制點撓度最小的肋條最佳擺放位置.

圖11 局部荷載下單肋條菱形板Fig.11 Single-stiffened skew plate under local load

表2 局部布荷載下雙肋條位置優(yōu)化結(jié)果Table 2 Results of rib position optimization under local load

圖12 局部荷載作用下單肋條優(yōu)化迭代過程的種群分布Fig.12 Population distribution of single rib optimization iterative process under local load

4.1.3 局部載荷作用的雙肋條位置優(yōu)化

在4.1.2 節(jié)算例的基礎(chǔ)上增加肋條(記為肋條Ⅰ和肋條Ⅱ),載荷變?yōu)?80kN/m2,如圖13 所示.考慮局部載荷作用對肋條Ⅰ(平行于底邊)和肋條Ⅱ(平行于斜邊)的位置進(jìn)行優(yōu)化(僅考慮平移).此時優(yōu)化計算包含兩個設(shè)計變量,即肋條Ⅰ的x1和肋條Ⅱ的x2,種群個數(shù)取為30個,十次優(yōu)化計算結(jié)果見表3,表明第6 次計算結(jié)果最優(yōu),菱形板的控制點撓度位移最小(5.979 mm),故選肋條Ⅰx1=0.65012 m、肋條Ⅱx2=0.621 33 m為最優(yōu)解.初始種群、迭代10次、20次及30次的種群分布如圖14 所示(虛線位置x1=0.65012 m,x2=0.621 33 m),樣本方差見分別為0.502,0.261,0.115,0.085.

圖13 局部荷載下雙肋條菱形板Fig.13 Double-stiffened skew plate under local load

圖14 局部荷載作用下雙肋條優(yōu)化迭代過程的種群分布Fig.14 Population distribution of double-rib optimization iterative process under local load

表3 局部布荷載下雙肋條位置優(yōu)化結(jié)果Table 3 Results of double ribs position optimization under local load

由種群分布圖及方差結(jié)果可看出:隨著迭代次數(shù)的遞增種群逐漸向最優(yōu)解靠近,最終求出局部載荷作用下肋條的最佳擺放位置,說明本文方法在包含多個變量的雙肋條板優(yōu)化方面亦是有效的.對比4.1.1和4.1.2 節(jié)算例的單肋優(yōu)化結(jié)果及4.1.3 節(jié)的雙肋優(yōu)化結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn),對單肋的位置進(jìn)行優(yōu)化時,隨著迭代次數(shù)的增加,種群的個體收斂更快,且最后收斂于同一位置的概率更大,對雙肋的位置進(jìn)行優(yōu)化時,即使迭代到30代,種群個體中仍存在一些較差的個體,且收斂于同一位置的概率相對較小.主要是由于雙肋的位置優(yōu)化增加了設(shè)計變量,個體變異的隨機性更大,且優(yōu)化問題相對復(fù)雜.

4.2 加肋圓板最大頻率肋條位置優(yōu)化

4.2.1 單肋條位置優(yōu)化

一周邊鉸支的加肋圓板如圖15 所示(圓板中有一固定肋條Ⅰ),R=0.8 m,hs=0.08 m,hp和ts均為0.01 m,E=210GPa,μ=0.3,ρ=7800kg/m3.現(xiàn)優(yōu)化肋條Ⅱ的(旋轉(zhuǎn))位置,使加肋圓板的一階自振頻率最大化.設(shè)計變量為肋條Ⅱ與x軸的夾角θ,約束條件為θ∈[0,π/2].采用本文所述的方法進(jìn)行10次優(yōu)化分析:種群數(shù)選為20(編號為1～ 20),遺傳終止迭代的次數(shù)定為30,無網(wǎng)格方案為n=10,10次優(yōu)化分析結(jié)果見表4.

表4 加肋圓板單肋條位置優(yōu)化結(jié)果Table 4 Results of rib position optimization of circular stiffened plate

圖15 雙肋條加肋圓板Fig.15 Circular stiffened plate with two stiffeners

表明第3 次計算結(jié)果最優(yōu),加肋圓板頻率最大(67.527 59),故選肋條Ⅱθ=1.54906 rad為最優(yōu)解.第3 次計算的初始種群、迭代10次、20次及30次的種群分布如圖16 所示(虛線位置θ1=1.54906

圖16 加肋圓板單肋條優(yōu)化迭代過程的種群分布Fig.16 Population distribution of single rib optimization iterative process of circular stiffened plate

rad),樣本方差分別為0.813,0.123,0.064,0.012.由種群分布圖及方差結(jié)果可看出:隨著迭代次數(shù)的遞增種群逐漸向最優(yōu)解靠近,最終求出使加肋板的基頻最大化的肋條最佳擺放位置.

4.2.2 雙肋條位置優(yōu)化

一直邊固定的加肋半圓板如圖17 所示,R=0.8 m,hs=0.06 m,hp,ts均為0.01 m,E=210GPa,μ=0.3.半圓形板上有肋條Ⅰ和肋條Ⅱ,現(xiàn)優(yōu)化肋條Ⅰ和肋條Ⅱ的(旋轉(zhuǎn))位置,使加肋半圓板的一階自振頻率最大化.肋條Ⅰ和肋條Ⅱ的設(shè)計變量分別為θ1(肋條Ⅰ與x的夾角)和θ2(肋條Ⅱ與y的夾角),約束條件為θ1∈[0,π/2],θ2∈[0,π/2].采用本文所述的方法進(jìn)行10次優(yōu)化分析:種群數(shù)選為20(編號為1 至20),遺傳終止迭代的次數(shù)定為30,無網(wǎng)格方案為n=10,10次優(yōu)化分析結(jié)果表5.

表5 加肋半圓板條位置優(yōu)化結(jié)果Table 5 Results of double ribs position optimization of semicircular stiffened plate

圖17 雙肋條加肋圓板Fig.17 Circular stiffened plate with two stiffeners

表明第8 次計算結(jié)果最優(yōu),菱形板的控制點撓度位移最小(48.177 8),故選肋條Ⅰθ1=0.368 18 rad和肋條Ⅱθ2=0.373 42為最優(yōu)解.第8 次計算的初始種群、迭代10次、20次及30次的種群分布如圖18 所示(虛線位置θ1=0.368 18 rad和肋條Ⅱθ2=0.373 42),樣本方差分別為0.825,0.291,0.154,0.07.由種群分布圖及方差結(jié)果可看出:隨著迭代次數(shù)的遞增種群逐漸向最優(yōu)解靠近,且前10代的種群收斂速度相對較快,最終求出使半圓加肋板的基頻最大化的肋條最佳擺放位置.

圖18 加肋半圓板肋條優(yōu)化迭代過程的種群分布Fig.18 Population distribution of double-rib optimization iterative process of semicircular stiffened plate

5 結(jié)論

本文提出了加肋非矩形板肋條位置優(yōu)化的無網(wǎng)格分析方法,通過不同的算例分析,得出如下結(jié)論:

(1)基于遺傳算法所提出的肋條位置無網(wǎng)格優(yōu)化方法,可有效優(yōu)化加肋非矩形板的肋條位置,使控制點的撓度最小或自振頻率最大:在特定條件下(載荷、邊界、加肋板形狀),隨著優(yōu)化迭代次數(shù)的遞增,最終可找出相應(yīng)條件下肋條的最佳擺放位置.

(2)在優(yōu)化計算中,遺傳算法用來進(jìn)行樣本選擇,再通過本文所建立的加肋非矩形板無網(wǎng)格模型進(jìn)行計算,優(yōu)化結(jié)果可能收斂于局部最優(yōu)解,因此需要進(jìn)行多次優(yōu)化計算,通過對比分析來選出最優(yōu)解.

(3)本文建立的肋條與非矩形板之間的節(jié)點參數(shù)轉(zhuǎn)換方程,完全基于離散點得到問題的近似數(shù)值解,點與點之間沒有單元或其他的直接連接,即使在優(yōu)化過程中肋條位置不斷改變也不會導(dǎo)致平板節(jié)點重新分布,因此,可以實現(xiàn)肋條在平板上按任意位置布置,且可在保證計算結(jié)果滿足所需精度的情況下保持平板的離散方案不變.在每一次優(yōu)化進(jìn)程中,僅需要重新計算式(20)的Tp矩陣,在考慮幾何非線性影響的前提下,成功省去了繁雜的網(wǎng)格重置工作,極大地減少了計算量,在工程實際上具有一定的優(yōu)勢.