時變切換時滯反饋鎮定混沌系統不穩定周期軌線1)

曾尖尖 鄭遠廣

(南昌航空大學數學與信息科學學院,南昌 330063)

引言

混沌是非線性系統中普遍存在的一種動力學現象,其典型的特征是對擾動的敏感性和不可預測性.在許多實際工程系統中,混沌常常是有害的.生態系統中的混沌會導致物種的突然消亡[1-2];被動行走機器人中的混沌會降低行走效率,同時增加能量消耗[3-4];網絡信息傳輸中的混沌會導致網絡堵塞[5].因此,混沌控制是一項重要的研究課題[6-7].在早期的研究中,人們常常通過改變系統的分叉參數[8]來達到消除混沌的目的,或者用外部周期信號去同步混沌系統,從而引導混沌系統到期望的周期運動上來.采用這些控制方法控制混沌時,受控系統的周期解軌線并不是原系統的混沌吸引子中包含的軌線,因此,通常需要比較大的控制力和比較大的能量消耗.

由于混沌吸引子中包含無數個不穩定周期軌線[9],基于這一事實,人們提出了OGY 控制方法[10].當系統運動到預定的不穩定周期軌道附近時,對系統關鍵參數進行微小的攝動從而把系統穩定到該周期軌道上.由于該方法是把混沌系統引導到混沌吸引子中原有的不穩定周期軌道上,因此僅需要微小的控制力和少量的能量消耗.然而,OGY 控制方法對外界擾動極度敏感,當系統受到擾動遠離預定的周期軌道運動時,該方法無法實施.為了克服這一缺點,人們提出了時滯反饋控制(DFC)[11].DFC 用系統輸出狀態信號和輸出狀態信號的適當滯后值之差生成反饋控制信號,其中的時滯量設置成等于預定要控制的不穩定周期軌道的周期.當受控周期軌道穩定后,DFC 的控制信號消失,因此DFC 不會改變原系統的周期軌道,僅改變其穩定性.在使用DFC 對混沌系統進行控制時,不需要知道系統精確的數學模型,只需要測得目標周期軌道的周期.DFC 使用方便,且具有較好的控制效果,在實際工程中得到廣泛的應用[12-14].

在經典DFC 的使用中,人們發現該方法存在一定的局限性.比如,DFC 存在奇數限制(ONL)[15].ONL 表明DFC 不能穩定具有奇數個實部大于零的條件Lyapunov 指數的周期軌線.此外,用DFC 穩定某些不穩定周期軌線時,受控周期軌線常常具有比較小的穩定區域[16].這里的穩定區域是指參數空間的某個區域,當控制參數在這個區域中取值時,受控周期軌線是穩定的.為了提高經典DFC 的控制效果,人們對該方法進行了多方面的改進[16-18].比如,人們提出了半周期延遲反饋控制來避免DFC 的奇數限制[19];文獻[20]基于梯度下降法設計了一種自動調整反饋增益的方法,該方法可以有效地確定穩定目標周期軌線的反饋增益系數;為了穩定高周期的不穩定周期軌線,文獻[16]提出了廣義時滯反饋控制方法(EDFC).

切換控制策略在控制工程中得到廣泛應用[21-23].Bang-bang 控制的控制信號在兩個常值之間切換[24],該方法能夠實現最短時間控制.滑?？刂剖橇硪环N常用的切換控制技術.滑?？刂频闹饕枷胧?通過不連續地切換控制信號,使受控系統到達并保持在設定的滑模面上,從而把系統穩定到期望的平衡狀態[25].在系統耦合同步中,切換策略也被用來改變系統的耦合方式以提高系統的同步能力[26].周期耦合是一種依賴于時間和切換頻率的耦合方式[27-28],只有在特征的時間段上,系統之間存在耦合,而在其他時間段上,系統之間不存在耦合.研究表明,具有適當切換頻率的周期耦合系統同步性能要顯著優于標準耦合系統的同步性能[26].為了理解周期耦合對同步流形穩定性的影響,文獻[29]通過計算同步流形的局部條件Lyapunov 指數,發現周期耦合以一種非線性的方式修正了同步流形的穩定性.

在混沌控制的工程實踐中,受控系統常常存在某些不確定性因素,同時控制參數也會受到一定的限制.要實現對目標周期軌線的穩定控制,就需要受控周期軌線具有足夠大的穩定區域.因此,采用適當的方法進一步擴大受控周期軌線的穩定區域具有重要的工程實踐意義.本文基于時變切換策略[26,30]對經典DFC 控制方法進行改進,提出了時變切換時滯反饋控制方法(TSDFC).其目的是提高經典DFC 的控制效果,擴大受控周期軌線的穩定區域.本文的結構如下:在第二節中,提出時變切換時滯反饋控制方法.在第三節中,通過實例分析,研究TSDFC 的控制性能.最后在第四節中,對本文的研究工作進行總結并對相關問題進行討論.

1 TSDFC

考慮受控的非線性系統

式中,G為反饋增益系數矩陣,τ為時滯.

選取系統中某個周期為T的不穩定周期軌線X*(t) 作為待鎮定的目標周期軌線.DFC 是將時滯τ設定等于目標周期軌線X*(t) 的周期T,再通過調節反饋增益系數矩陣G,使受控不穩定周期軌線X*(t)達到穩定.當受控周期軌線X*(t) 穩定時,反饋控制信號U(t) 趨于無窮小.

雖然DFC 使用方便,但受控周期軌線X*(t) 常常僅有較小的穩定區域.為了提高DFC 的控制效果,擴大受控周期軌線X*(t) 的穩定區域,本文基于時變切換策略[26,30]對DFC 進行改進,提出了TSDFC.TSDFC 的反饋控制信號為

式中,反饋增益系數矩陣為

式中,s gn(x)=G為定常反饋增益系數矩陣,ω為切換頻率,其決定了切換速度的快慢.TSDFC的控制信號僅在特征的時段上存在,而在其他時段控制信號不存在,即控制信號按照給定的頻率 ω 進行周期性切換.

為確定受控周期軌線X*(t) 的穩定區域,求得主穩定方程為[28]

式中,η(t)=X(t)-X*(t)為偏差變量,DF(t,X*(t))為F(t,X(t))在X*(t) 上的雅可比矩陣.X*(t) 的穩定性由主穩定方程(5)的條件Lyapunov 指數確定.當主穩定方程(5)的所有條件Lyapunov 指數均具有負實部時,受控周期軌線X*(t) 穩定.

主穩定方程(5)是時滯系統,其初值狀態空間是無窮維Banach 空間C=C([-T,0],Rm).在Banach 空間C中的初始函數定義為ηt0(θ)=η(t0+θ),其中,t0為初始時間,θ ∈[-T,0].系統(5)的最大條件Lyapunov指數定義為其中

由于系統(5)的初值狀態空間是無窮維的,從而無法通過對系統(5) 進行積分來計算最大條件Lyapunov 指數 λm[31].為克服這一困難,本文采用Runge-Kutta 方法,將系統(5)轉化成具有有限維狀態空間的離散系統,進而求得最大條件Lyapunov 指數 λm[32],詳細的計算過程請參考附錄A.

將TSDFC 應用于系統(1)得到

當ω=0時,TSDFC 退化為DFC.

2 TSDFC 鎮定不穩定周期軌線

本節用TSDFC 控制兩個典型的非線性混沌系統,考察該方法鎮定不穩定周期軌線的具體效果.首先,通過求得受控周期軌線X*(t) 的穩定區域與切換頻率 ω 的關系圖,找到最優切換頻率,使受控周期軌線X*(t) 的穩定區域達到最大.其次,對比TSDFC和經典DFC 的控制效果,闡述TSDFC 在鎮定混沌系統的不穩定周期軌線的有效性.

2.1 TSDFC 控制 R?ssler 系統

受TSDFC 控制的 R?ssler 系統方程為

式中,x,y,z為系統狀態變量,a,b,c為系統參數,為反饋增益系數,其在定常值g和0之間周期切換.不失一般性,這里假設狀態變量x為唯一可獲得的系統狀態變量,則反饋控制信號表示為Ut(t)=gt(x(t-T)-x(t)).

將系統參數設定為a=0.2,b=0.2,c=5.7,此時R?ssler系統呈現混沌動力學行為,其混沌吸引子如圖1 所示.

圖1 R?ssler 系統的混沌吸引子Fig.1 The chaotic attractor of R?ssler system

選擇 R?ssler 混沌吸引子中兩個典型的不穩定周期軌線Xk(t)=(xk(t),yk(t),zk(t))T(k=1,2) 作為待鎮定的目標周期軌線.圖2 展示了目標周期軌線Xk(t)在xoy平面上的投影.

圖2 R?ssler 系統的不穩定周期軌線在 x oy 平面上的投影Fig.2 The projection of the unstable periodic trajectory ofR?ssler system on the x oy plane

為確定受控周期軌線Xk(t) 的穩定區域,求得主穩定方程為

式中,時滯 τk等于目標周期軌線Xk(t) 的周期(T1=5.880,T2=11.760).當受控周期軌線Xk(t) 的最大條件Lyapunov 指數 λm的實部小于零,受控周期軌線Xk(t) 穩定.受控周期軌線Xk(t) 的穩定區域是反饋增益系數g的某個區間,在這個區間上受控周期軌線穩定,該區間的長度記為穩定區域寬度Ws.受控周期軌線Xk(t) 的穩定區域越大表明控制效果越好.

當ω=0時,TSDFC 退化成經典DFC.通過計算受控周期軌線Xk(t) 的最大條件Lyapunov 指數,得到受控周期軌線Xk(t) 的穩定區域.圖3 中紅色虛線是應用DFC 鎮定不穩定周期軌線Xk(t) 時的最大條件Lyapunov 指數隨反饋增益系數g變化的曲線圖.同時在表1 中給出了受控周期軌線Xk(t) 的穩定區域和穩定區域寬度Ws.結果表明受DFC 控制的周期軌線Xk(t) 的穩定區域較小,這表明DFC 的控制效果比較差.

為提 高經典DFC 的控制性能,令 ω >0,這時TSDFC 的控制信號將依據時段進行切換,其切換過程如圖4 所示,在灰色時段上,控制信號存在,而在灰色時段之外,控制信號消失.TSDFC 的控制效果與切換頻率 ω 密切相關.為確定最佳切換頻率 ω,對應于周期軌線X1(t)和X2(t),分別求得各自的穩定區域寬度Ws隨切換頻率ω 的變化曲線(見圖5).從圖5 中可見,切換過程以非線性方式修改了受控不穩定周期軌線的穩定性和穩定區域[33],穩定區域寬度Ws隨切換頻率 ω 的增大而非平滑地變化.對應于周期軌線X1(t)和X2(t) 的最佳切換頻率分別為ω1=3.9和ω2=2.2.采用最佳切換頻率,求得對應于周期軌線X1(t)和X2(t) 的最大條件Lyapunov 指數隨反饋增益系數g的變化曲線如圖3 所示(藍色實線),同時在表1 中給出了相應的穩定區域和穩定區域寬度Ws.

圖3 受控周期軌線 Xk(t) 最大條件Lyapunov 指數隨反饋增益系數g的變化曲線對比圖,紅色虛線和藍色實線分別對應于DFC和TSDFCFig.3 The comparison of the maximum Lyapunov exponent of periodic trajectory Xk(t) as a function of the feedback strength,the red dotted line and the blue solid line correspond to DFC and TSDFC,respectively

圖4 系統(9)的時間序列和TSDFC 控制信號在不同時段上切換示意圖,在灰色時段中控制信號存在,而在灰色時段外控制信號消失Fig.4 The time series of system(9) and the schematic diagram of the switching of TSDFC control signals in different time intervals,where the control signal exists in the gray time intervals and disappears outside the gray time intervals

圖5 受控周期軌線 Xk(t) 的穩定區域寬度 Ws隨切換頻率 ω 的變化曲線Fig.5 The stable region width Wsof controlled periodic trajectory Xk(t) as a function of the switching frequencyω

表1 受控周期軌線 Xk(t) 的穩定區域Table 1 The stability regions of the controlled periodic trajectory Xk(t)

通過圖3和表1 中對比DFC和TSDFC 的控制效果,可見應用TSDFC 時受控周期軌線Xk(t) 的穩定區域明顯大于應用DFC 時受控周期軌線Xk(t) 的穩定區域.因此,采用恰當的切換頻率,TSDFC 的控制性能明顯優于DFC 的控制性能.

為進一步檢驗上述結果的正確性,考察誤差指數

式中,X(tj)(j=1,2,···) 是系統狀態變量的時間序列,〈·〉表示足夠長的時間內平均值.當受控周期軌線X*(t) 穩定時,誤差指數Sdex趨近于零.誤差指數Sdex隨反饋增益系數的變化曲線如圖6 所示.從圖6 中可見,圖中Sdex趨近于零的區域與圖3和表1 中得到的穩定區域是一致的,從而驗證了圖3和表1 中結果的正確性.

圖6 受控周期軌線 Xk(t) 的誤差指數隨反饋增益系數 g 的變化曲線對比圖,紅色虛線和藍色實線分別對應于DFC和TSDFCFig.6 The comparison of the error index of the controlled periodic trajectory Xk(t) as a function of the feedback strength g,the red dotted line and the blue solid line correspond to DFC and TSDFC,respectively

2.2 TSDFC 控制Van der Pol 系統

受TSDFC 控制的Van der Pol 系統方程為

式中,x和y為系統狀態變量,μ為系統參數,a和分別表示外激勵幅值和頻率.反饋增益系數gt={sgn[cos(ωt)]+1}·g在定常值g和0之間周期切換.

將系統參數設定為 μ=1,a=0.998,=0.45.此時Van der Pol 系統呈現混沌動力學行為,其混沌吸引子如圖7(a)所示.

選擇Van der Pol 混沌吸引子中一個典型的不穩定周期軌線X3(t)=(x3(t),y3(t))T,作為待鎮定的目標周期軌線.圖7(b)展示了目標周期軌線X3(t)在xoy平面上的投影.

圖7 Van der Pol 系統的混沌吸引子和不穩定周期軌線在 x oy 平面上的投影Fig.7 The projection of the chaotic attractors and unstable periodic trajectory of Van der Pol systems on the x oy plane

為確定受控周期軌線X3(t) 的穩定性區域,求得主穩定方程為

式中,時滯 τ3等于目標周期軌線X3(t)的周期T3=2π/.當受控周期軌線X3(t) 的最大條件Lyapunov 指數λm的實部小于零,受控周期軌線X3(t) 穩定.

當ω=0時,TSDFC 退化成經典DFC.圖8 中紅色虛線是應用DFC 鎮定不穩定周期軌線X3(t) 時的最大條件Lyapunov 指數隨反饋增益系數g變化的曲線圖,同時求得受控周期軌線X3(t) 的穩定區域寬度Ws為0.88.結果表明受DFC 控制時周期軌線X3(t)的穩定區域較小,這表明DFC 的控制效果比較差.

圖8 受控周期軌線 X3(t) 最大條件Lyapunov 指數隨反饋增益系數g的變化曲線對比圖,紅色虛線和藍色實線分別對應于DFC和TSDFCFig.8 The comparison of the maximum conditional Lyapunov exponent of the controlled periodic trajectory X3(t) as a function of the feedback strength g,the red dotted line and the blue solid line correspond to DFC and TSDFC,respectively

為了擴大受控周期軌線X3(t) 穩定區域,令 ω >0,這時TSDFC 的控制信號將依據時段進行切換.為確定最佳切換頻率 ω,對于周期軌線X3(t),求得穩定區域寬度Ws隨切換頻率 ω 的變化曲線(見圖9).從圖9中可見,切換過程以非線性方式修改了受控不穩定周期軌線的穩定性和穩定區域[33],穩定區域寬度Ws隨切換頻率 ω 的增大而非平滑地變化,對于周期軌線X3(t) 的最佳切換頻率為 ω3=5.4.采用最佳切換頻率 ω3,求得周期軌線X3(t) 的最大條件Lyapunov 指數隨反饋增益系數g的變化曲線如圖8 所示(藍色實線),同時也求得受控周期軌線X3(t) 的穩定區域寬度Ws為4.95.

圖9 受控周期軌線 X3(t) 的穩定區域寬度 Ws隨切換頻率 ω 的變化曲線Fig.9 The width of the stable region of the controlled periodic trajectory X3(t) as a function of the switching frequency ω

通過圖8 中對比DFC和TSDFC 的控制效果,可見應用TSDFC 時受控周期軌線X3(t) 的穩定區域明顯大于應用DFC 時受控周期軌線X3(t) 的穩定區域.因此采用恰當的切換頻率,TSDFC 的控制性能明顯優于DFC 的控制性能.

為進一步檢驗上述結果的正確性,考察誤差指數

誤差指數Sdex隨反饋增益系數g的變化曲線如圖10所示.從圖10中可見,圖中Sdex趨近于零的區域與圖8 中得到的穩定區域是一致的,從而驗證了圖8 中結果的正確性.

圖10 受控周期軌線 X3(t) 的誤差指數隨反饋增益系數 g 的變化曲線對比圖,紅色虛線和藍色實線分別對應于DFC和TSDFCFig.10 The comparison of the error index of the controlled periodic trajectory X3(t) as a function of the feedback strength g,the red dotted line and the blue solid line correspond to DFC and TSDFC,respectively

總結前面的兩個算例分析,我們得到以下結論.TSDFC 的控制性能與切換頻率密切相關.受控周期軌線的穩定區域隨切換頻率的變化呈現強非線性變化.當采用恰當的切換頻率時,受TSDFC控制時周期軌線的穩定區域明顯大于受經典DFC控制時周期軌線的穩定區域.

備注:TSDFC 可看成是DFC 的拓展.當ω=0時,TSDFC 退化成經典DFC.雖然在本文中TSDFC僅用于穩定兩個混沌系統的不穩定周期軌線,但與經典DFC 一樣,TSDFC 可以應用于廣泛的混沌系統控制中.

3 結論

本文首次在經典DFC 的基礎上,加入時變切換策略來提高其控制性能,建立了TSDFC 方法.實例研究表明,當選擇恰當的切換頻率時,TSDFC 可以穩定不穩定周期軌線,且受控周期軌線的穩定區域明顯大于應用經典DFC 時受控周期軌線的穩定區域.從實際應用的角度來看,相比經典DFC,TSDFC具有顯著的優點.例如,在一些實際受控系統中,反饋增益系數被限制在某些有限的區域內.利用TSDFC方法時,可以選擇恰當的切換頻率,改變和擴大受控周期軌線的穩定區域,使反饋增益系數落入穩定區域,從而實現對周期軌線的鎮定.此外,提出的TSDFC方法,開辟了另一種利用不連續控制信號來控制混沌系統的可能性.TSDFC 的控制性能取決于控制時段的選擇.本文僅研究了一種比較簡單的時變切換策略.對于其他更復雜的時變切換策略,TSDFC 控制效果如何？特別是哪種時變切換策略對提高經典DFC 的控制性能是最好的,目前還不清楚.這些問題值得進一步研究.

附錄A 計算主穩定方程的最大條件Lyapunov 指數

對于主穩定方程

式中,η(t)∈Rm為偏差變量,T為時滯,X*(t+T)=X*(t)為待鎮定的目標周期軌線,DF(t+T,X*(t+T))=DF(t,X*(t))∈Rm×m為系統矩陣.設時區[t0,t0+T] 上的時間序列為tk=t0+kh,其中k=0,1,···,kT,kT=T/h,h為步長.為減少計算最大條件Lyapunov指數的計算量,用二階Runge-Kutta 方法將主穩定方程(A1)離散化得到

在式(A2)中