“自動控制原理”課程傳遞函數(shù)求解中“一例多解”教學(xué)方法的探究

張萍吳楠邢蕾

（銀川能源學(xué)院電力學(xué)院，寧夏 銀川 750105）

0 引言

當(dāng)前，自動控制技術(shù)滲透到國民經(jīng)濟各領(lǐng)域和社會生活各方面，在我國工業(yè)化、信息化與現(xiàn)代化建設(shè)中發(fā)揮著巨大作用。隨著技術(shù)革命和大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)的發(fā)展，促使控制理論向智能控制理論發(fā)展[1]。但經(jīng)典控制理論的形成，對控制科學(xué)的發(fā)展起到不可磨滅的推動作用。“自動控制原理”課程主要研究經(jīng)典控制理論，它是以系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為基本框架，以時域分析、根軌跡法和頻域分析法為主要分析、設(shè)計工具，在控制理論的分析中，傳遞函數(shù)貫穿始終[2，3]。由于課程教學(xué)內(nèi)容量大、理論性強、知識抽象，學(xué)生時有晦澀難懂的感覺，存在教師難教、學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象[4，5]。針對以上問題，本文以傳遞函數(shù)的求解為例，將“一例多解”教學(xué)方法應(yīng)用其中，歸納總結(jié)了四種求取傳遞函數(shù)的方法，供大家參考。

1 傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)指線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，記為G（s）=。式中：G（s）為線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；C（s）為系統(tǒng)輸出量的拉氏變換；R（s）為系統(tǒng)輸入量的拉氏變換。使用傳遞函數(shù)分析或設(shè)計系統(tǒng)時，需要說明：（1）傳遞函數(shù)在零初始條件下定義。（2）傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式，且所有系數(shù)均為實數(shù)[6]。（3）只適用于線性定常系統(tǒng)。（4）只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)[7]。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律[8]。

2 傳遞函數(shù)的求取方法

2.1 微分方程法

微分方程是描述自動控制系統(tǒng)動態(tài)特性最基本的方法。一個完整的控制系統(tǒng)通常由若干元器件或環(huán)節(jié)以一定方式連接而成，對系統(tǒng)中每個元器件或環(huán)節(jié)按照其運動規(guī)律列出其微分方程，然后將這些微分方程聯(lián)立起來，求出了整個系統(tǒng)的微分方程，再對微分方程進行拉氏變化，將其整理成輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，即得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

2.2 復(fù)阻抗法

對于由電阻、電容、電感組成的無源網(wǎng)絡(luò)等，在求取其傳遞函數(shù)時可直接用復(fù)阻抗法。線性元件的復(fù)阻抗是依據(jù)線性元件的V-I關(guān)系而成立的。三種基本線性元件即電阻R、電容C和電感L，各自的復(fù)阻抗分別為和Ls。復(fù)阻抗法即利用各元件的串聯(lián)、并聯(lián)等關(guān)系或遵從的物理規(guī)律直接列寫出表示輸出量與輸入量在復(fù)頻域s內(nèi)的關(guān)系的方程，從而得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)[9]。

2.3 結(jié)構(gòu)圖化簡法

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是用來描述系統(tǒng)中各元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系以及對各變量所進行的運算[10]。控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是一種網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束下的有向線路，由信號線、引出點、比較點和方框四個部分組成。

采用結(jié)構(gòu)圖化簡法求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)具體步驟是：（1）由系統(tǒng)原理圖繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖；（2）根據(jù)研究目的確定系統(tǒng)的輸入和輸出；（3）移動引出點或比較點，將串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接的方框由等效環(huán)節(jié)代替；（4）把閉環(huán)系統(tǒng)化簡成最基本的結(jié)構(gòu)圖形式，并求出其總的傳遞函數(shù)。

2.4 梅遜公式法

梅遜公式法是在信號流圖基礎(chǔ)上利用梅遜公式求取傳遞函數(shù)的方法。它由節(jié)點和支路兩部分組成：梅遜公式給出了在系統(tǒng)信號流圖中，任意輸入節(jié)點與輸出節(jié)點之間的傳輸?shù)扔谒麄冎g的增益，即傳遞函數(shù)，公式為：

式中：n為從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通路的總數(shù)目；Δ為特征式；Pk為第k條前向通路總增益；Δk為第k條前向通路特征式的余因子式。

采用梅遜公式法來求解系統(tǒng)傳遞函數(shù)的具體步驟是：（1）繪制信號流圖，并標(biāo)出各支路的增益；（2）利用梅遜公式求控制系統(tǒng)總增益，得到了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

3 舉例說明

例題：圖1是由電阻R1和R2、電容C1和C2所組成的無源網(wǎng)絡(luò)，試以ui（t）為輸入、uo（t）為輸出，采用不同的方法求取該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

圖1 系統(tǒng)電路原理圖

解法一：微分方程法

據(jù)基爾霍夫定律，列寫微分方程組如下：

消去中間變量i1（t）、i2（t）、u1（t），整理得到該網(wǎng)絡(luò)的微分方程為：

零初始條件下，對上式兩邊同時取拉氏變換，整理得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

解法三：結(jié)構(gòu)圖化簡法

將系統(tǒng)原理圖改畫為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并分別標(biāo)出系統(tǒng)的三個比較點A、B、C和三個引出點1、2、3，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

將比較點B前移、引出點2后移，并將各環(huán)節(jié)等效，得新的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 等效后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

由負(fù)反饋傳遞函數(shù)計算公式得系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

解法四：梅遜公式法

系統(tǒng)信號流圖，如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)信號流圖

三個互不接觸的回路不存在，所以：

前向通路增益及其余子式為：

最后，由梅遜公式，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

4 結(jié)語

應(yīng)當(dāng)指出，對于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的計算，方法有很多。本文只介紹了其中的四類，而這四類方法各具特色。可以根據(jù)具體題目，有所選擇地使用。給定條件不同，選擇方法不同。

本文針對自動控制原理教學(xué)內(nèi)容量大、理論性強、知識抽象的特點，以求解傳遞函數(shù)為例，將“一例多解”教學(xué)方法應(yīng)用其中，歸納總結(jié)了四種求取傳遞函數(shù)的方法，既緩解了知識難于理解的問題，為例題求解尋求了多種路徑，也解決了教學(xué)手段單一的不足，使師生在教學(xué)過程中共同進步，享受獲取知識的滿足感和成就感，加強了課堂效果，提升了學(xué)習(xí)效率。希望能真正幫助大家共同學(xué)好“自動控制原理”這門課程，也希望對實際工程人員能有所裨益，歡迎共同探討交流。