n元強正態(tài)分布的性質(zhì)及其參數(shù)估計

劉虹曼，李樹有

(1.遼寧理工學院基礎教學部，遼寧 錦州 121000；2.遼寧工業(yè)大學理學院，遼寧 錦州 121001)

1 預備知識

1.1 強正態(tài)分布

強正態(tài)分布是偏態(tài)分布[1-2]的一種.1985年，Azzalini首次提出偏態(tài)分布理論.2007年，Gupta[3]在利用偏態(tài)分布分析偏態(tài)單峰密度的數(shù)據(jù)時通過大量的模擬研究，提出了一種可行性較強的傾斜模型，將正態(tài)分布作為其中的一個特例，命名為強正態(tài)分布，并做出如下定義：

如果隨機變量X具有累積分布函數(shù)[4]

FX(x；α)=P(X≤x)=(Φ(x))α，-∞0，

則稱其服從強正態(tài)分布，其中Φ(·)表示標準正態(tài)分布的分布函數(shù)[5].

1.2 Capula函數(shù)

1998年，Nelsen提出了Copula函數(shù)[6]，并給出了定義及基本性質(zhì).Copula函數(shù)描述的是變量間的相關性，實際上是一類將聯(lián)合分布函數(shù)與它們各自的邊緣分布函數(shù)連接在一起的函數(shù)，因此也被叫作連接函數(shù).

令u=(u1，u2，…，un)，?u1，u2，…，un∈[0，1]，Copula函數(shù)表示為C：[0，1]n→[0，1]，對于(x1，x2，…，xn)∈(-∞，∞)×(-∞，∞)×…×(-∞，∞)，稱

FX1，X2，…，Xn(x1，x2，…，xn)=C{FX1(x1)，F(xiàn)X2(x2)，…，F(xiàn)Xn(xn)}

為連接函數(shù).

2 主要結(jié)果

2.1 n元強正態(tài)分布的性質(zhì)

由Clayton連接函數(shù)的定義，有n元Clayton連接函數(shù)

即對α>0，(U1，…，Un)有聯(lián)合分布函數(shù)[7]

Gupta于2013年得到如下結(jié)論[8]：

(1)對0

(2)對m

(3)對0

(4)已知U1=u1，…，Um=um，(Um+1，…，Un)的條件概率密度函數(shù)為

分布函數(shù)為

FX1，X2，…，Xn(x1，x2，…，xn)=

P{X1≤Φβ1(x1)，X2≤Φβ2(x2)，…，Xn≤Φβn(xn)}=

Cα，n(Φβ1(x1)，Φβ2(x2)，…，Φβn(xn))=

(Φ(x1)-β2/α+Φ(x2)-β2/α+…+Φ(xn)-βn/α-(n-1))-α，

隨機變量(X1，…，Xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

如果對于參數(shù)β1>0，β2>0，…，βn>0，隨機變量(X1，…，Xn)有上述聯(lián)合分布函數(shù)FX1，…，Xn(x1，…，xn)，則隨機變量(X1，…，Xn)服從n元強正態(tài)分布，并有以上概率密度函數(shù)fX1，…，Xn，記作(X1，…，Xn)～MPN(α，β1，β2，…，βn).

根據(jù)以上定義，得到如下性質(zhì)：

性質(zhì)如果隨機變量(X1，…，Xn)服從n元強正態(tài)分布，那么：

(1)X1～PN(β1)，X2～PN(β2)，…，Xn～PN(βn)；

(2)隨機變量(X1，…，Xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

(3)隨機變量(X1，…，Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為

FX1，X2，…，Xn(x1，x2，…，xn)=

(Φ(x1)-β1/α+Φ(x2)-β2/α+…+Φ(xn)-βn/α-(n-1))-α；

(4)隨機變量(X1，…，Xn)的聯(lián)合生存函數(shù)為

(5)已知X1=x1，X2=x2，…，Xm=xm，則(Xm+1，…，Xn)的條件概率密度函數(shù)為

條件分布函數(shù)為

證明對于上述性質(zhì)(1)，當n元隨機變量(X1，…，Xn)服從n元強正態(tài)分布時，根據(jù)Clayton連接函數(shù)的性質(zhì)可知結(jié)論顯然成立.性質(zhì)(2)可以通過對n元聯(lián)合分布函數(shù)進行求導計算得到.對于性質(zhì)(3)和性質(zhì)(4)，可以分別根據(jù)n元聯(lián)合分布函數(shù)和n元聯(lián)合生存函數(shù)定義求得，即：

FX1，…，Xn(x1，…，xn)=P{X1≤Φβ1(x1)，X2≤Φβ2(x2)，…，Xn≤Φβn(xn)}=

Cα，n(Φβ1(x1)，Φβ2(x2)，…，Φβn(xn))=

(Φ(x1)-β1/α+Φ(x2)-β2/α+…+Φ(xn)-βn/α-(n-1))-α；

對于性質(zhì)(5)，根據(jù)條件概率分布函數(shù)的定義，當X1=x1，X2=x2，…，Xm=xm時，有

即可求得條件分布函數(shù)

對其求導，即可得條件概率密度函數(shù)

2.2 n元強正態(tài)分布的極大似然估計

為了估計n元強正態(tài)分布的未知參數(shù)α，α1，…，αn，設β1=αα1，β2=αα2，…，βn=ααn.

根據(jù)其已知概率密度函數(shù)推導出似然函數(shù)為

對其求對數(shù)得到對數(shù)似然函數(shù)為

分別對α，α1，α2，…，αn進行極大似然估計，即分別對α，α1，α2，…，αn求偏導，并使其等于零聯(lián)立得到：

因為以上聯(lián)立方程不能直接求出未知參數(shù)α，α1，…，αn的極大似然估計值，所以接下來利用牛頓迭代法對參數(shù)α，α1，…，αn的極大似然估計值進行進一步計算.令：

將函數(shù)f1，f2，f3，…，fn+1分別對參數(shù)α，α1，α2，…，αn-1，αn求偏導，則有：

? ?

依此進行下去，可得

由牛頓迭代法得到以下公式：

即

2.3 應用實例

將中國各個主要城市的月降水量分為12組數(shù)據(jù)進行去差異化整理，整理結(jié)果如表1所示.將其作為樣本數(shù)據(jù)[10](表1中對數(shù)據(jù)保留三位小數(shù))，對未知參數(shù)進行參數(shù)估計.

表1 中國各主要城市月降水量

對于以上12組數(shù)據(jù)，即n=12，利用Matlab對α1，α2，…，α12這12個未知參數(shù)進行估計，得到參數(shù)估計值(精度為第n次估計值與第n+1次估計值差的絕對值小于10-3)：

α=4.223，α1=0.704，α2=0.632，α3=0.656，α4=0.611，α5=0.706，α6=0.697，

α7=0.802，α8=0.755，α9=0.674，α10=0.771，α11=0.734，α12=0.645.

根據(jù)所設參數(shù)β1=αα1，β2=αα2，…，βn=ααn，可計算出：

β1=2.973，β2=2.669，β3=2.770，β4=2.580，β5=2.981，β6=2.943，

β7=3.387，β8=3.188，β9=2.846，β10=3.256，β11=3.099，β12=2.724.

3 總結(jié)

本文主要研究了n元強正態(tài)分布的各項性質(zhì)，以及對未知參數(shù)的極大似然估計.主要得出以下結(jié)論：

(1)推導得到了n元強正態(tài)分布具有聯(lián)合概率密度函數(shù)、聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合生存函數(shù)、條件概率密度函數(shù)、條件分布函數(shù)的性質(zhì).

(2)根據(jù)所取的樣本數(shù)據(jù)，即180個中國部分主要城市的月降水量數(shù)據(jù)，對α1，α2，…，α12這12個未知參數(shù)進行估計，得到參數(shù)估計值(精度為第n次估計值與第n+1次估計值差的絕對值小于10-3)α1，α2，…，α12.根據(jù)所設參數(shù)β1=αα1，β2=αα2，…，βn=ααn，可計算出β1，β2，…，β12.