具恐懼效應和配偶相遇的擴散捕食系統分析

劉 洋，劉宇鑫，鄭 巍

(黑龍江大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引言

捕食關系是自然界中最基本的關系之一，捕食者通過捕食對食餌產生影響.許多學者研究了捕食者-食餌系統，并分析了其動力學性質[1-2].在捕食過程中捕食者不僅可以直接捕殺食餌，也可以對食餌產生間接影響，形成一種捕食者恐懼效應.文獻[3]提出了一個具食餌恐懼效應的捕食者-食餌系統，研究了恐懼效應對捕食者-食餌系統結構的影響，指出恐懼效應能夠穩定捕食者-食餌系統.在此基礎上，結構更加復雜的具恐懼效應的3種群系統被討論[4-6].種群空間結構的存在能夠影響捕食者-食餌系統，使其產生更為復雜的動力學行為，因而一些學者研究了具恐懼效應的擴散捕食者-食餌系統[7-10].

基于上述討論，本文將考慮如下一類具恐懼效應與配偶相遇的擴散捕食者-食餌系統：

(1)

其中Ω是n(n≥1)中帶有光滑邊界?Ω的有界區域，并且c∈[0，1).系統(1)中的變量、參數以及它們的生物意義見表1.本文的主要目的是研究系統(1)的動力學性質.

1 解的全局存在性與耗散性

dN/dt=r0N-dN-aN2，dP/dt=bP-mP-δP2+chNP，

?N/?t≤d1ΔN+r0N-dN-aN2，x∈Ω，t>0，

定理2 假設(N，P)是系統(1)的任意一個解.若r0>d且ch(r0-d)+a(b-m)>0，則

(2)

證明直接計算得

?N/?t≤N(r0-d-aN)，x∈Ω，t>0，

?P/?t≤d2ΔP+[b+ch(r0-d)/a+ε)-m-δP]P，x∈Ω，t≥T，

2 常值穩態解

系統(1)的常值穩態解有

其中：

(3)

(4)

令Λ∶={μi|0=μ0<μ1<…<μi<…}是齊次Neumann邊界條件的算子-Δ的特征值.定義

(5)

其中(φ，ψ)∈Y，并且

b21=chP，b22=b-m-2δP+chN.

λ2-Tiλ+Di=0，i∈0，

(6)

其中

定理3E0總是存在的，若b>m，則E0是局部漸近穩定的.

證明由(6)式知在E0處的特征方程為

λ2-(-(d1+d2)μi+d-(b-m))λ+(d1d2μi+(d1(m-b)+d2d)μi-(b-m)d)=0.

若b

在Ek，k=1，2處的特征方程為

定理5 若b>m，則E3存在且局部漸近穩定的.

證明當b>m時，則E3存在，且由(5)式可得

則系統(1)在E3處線性化系統對應的特征方程為

(λ+d2μi+d+h(b-m)/δ)(λ+d1μi+b-m)=0.

對任意i∈0，特征值實部均為負的，因而E3是局部漸近穩定的

設F(N)=c3N3+c2N2+c1N+c0，其中

c3=-ehc(hc+aδ)/δ2，

c2=-a-(ech(d+a)+ea(b-m)+ch2)/δ-h2ec(b-m)(2δ-ch)/δ2，

c1=r0-d-aθ-((b-m)(ed+ea+h+2h2eθc)+eθdch)/δ-h(b-m)[ch+e(b-m)]/δ2，

c0=-dθ-θ(b-m)(ed+h)/δ-heθ(b-m)2/δ2.

定理6 (ⅰ)系統(1)可能不存在或者存在1個、2個或3個正平衡點，見表2；

表2 系統(1)平衡點存在條件

(7)

(8)

(2)若c0>0，即e(b-m)[h(b-m)+δd]<δ[h(b-m)+δd]，可得系統(1)有1個或者3個正平衡點；

綜上所述，結論(ⅰ)得證.

(9)

故得到Di>0，則結論(ⅲ)得證.

3 圖靈不穩定性

(10)

證明(ⅰ)和(ⅱ)是顯然成立的.對于固定的d2>0，可得

利用Matlab對前面得到的圖靈不穩定性結果進行數值模擬.令r0=0.7，e=0.1，θ=0.1，a=0.2，c=0.2，δ=0.55，b=0.3，d=0.25，h=0.4，m=0.1，d1=0.000 1，d2=3.5，b=0.2.圖1顯示由擴散導致圖靈不穩定性(見定理7)，表明捕食者與食餌共存于一個非常值穩態解.

圖1 圖靈不穩定性