始于教材 以生為本 聚焦思維*
——一道函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題命制歷程

福建省廈門第一中學(xué) (361003) 黃昌毅

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》指出，試題命制應(yīng)以“一核、四層、四翼”為命題準(zhǔn)則，試題考查內(nèi)容以數(shù)學(xué)內(nèi)容為主線，聚焦數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解應(yīng)用，試題注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，注重通性通法，試題突出基礎(chǔ)性、綜合性及創(chuàng)新性，試題難度適中，呈現(xiàn)“低起點(diǎn)、多層次、高落差”，突出試題的選拔功能[1].

筆者有幸參與了廈門市一次質(zhì)檢題的命制工作，對(duì)一道函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的命制歷程，有較深感觸，若有不足之處，敬請(qǐng)同仁批評(píng)指正.

1 試題再現(xiàn)

1.1 試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=2ax-ln(x+1)+1，a∈R.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)x>0，0f(x).

1.2 試題簡(jiǎn)解

解：(Ⅰ)(略)；(Ⅱ)即證eax-2ax+ln(x+1)-1>0.

①當(dāng)a=1時(shí)，h′(0)=0，則h′(x)>0，即h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則h(x)>h(0)=2-2=0；

綜上所述，h(x)≥0恒成立，即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(0)=0，即eax>f(x).

證法6：當(dāng)x>0，00，下同證法5證明h(eax-1)>h(ax)即可.

2 試題命制

2.1 審讀要求 明確方向

認(rèn)真研讀命題要求，明確試題定位、命題依據(jù)及命題原則.命題細(xì)目表對(duì)第22題提出的3個(gè)要求：

(1)要求函數(shù)模型為指對(duì)函數(shù)混合模型，函數(shù)模型中含有參數(shù)函；

(2)試題共設(shè)置兩小問，第(Ⅰ)問考查含參函數(shù)單調(diào)性的分類討論，第(Ⅱ)問考查含參函數(shù)不等式證明，重點(diǎn)考查消元降次思想下的函數(shù)模型的優(yōu)化意識(shí)；

(3)試題難度控制在0.25左右.

2.2 回歸教材 尋求題根

高考(模擬)試題“源于教材”而又“高于教材”，教材是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)的重要資源.教材的習(xí)題富有典型性和深刻性，因此要求教師要鉆研教材，從教材中尋找試題的生長(zhǎng)點(diǎn)，發(fā)揮教材的教育教學(xué)功能.

筆者多次翻閱教材，教材中的以下素材引起筆者的關(guān)注：

題3 (人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修二P94練習(xí)2)證明不等式：x-1≥lnx，x∈(0,+∞).

題4 (人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修二P99習(xí)題5.3題12)利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證：

(1)ex>x+1，x≠0；(2)lnx0.[2]

題3、題4則給出了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的大小關(guān)系：lnx≤x-1，x∈(0,+∞) ②；ex>x+1，x≠0 ③.

上述三個(gè)不等式可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化：

教材中反復(fù)出現(xiàn)該不等式，同時(shí)這三個(gè)不等式也是高考考查的熱點(diǎn)問題，故選定不等式ln(x+1)≤x作為命題的根源.

2.3 追蹤熱點(diǎn) 確定載體

高考試題是命題專家對(duì)教材的深度加工的智慧結(jié)晶，為此研究高考試題,發(fā)揮試題潛在的應(yīng)用價(jià)值對(duì)備考復(fù)習(xí)具有導(dǎo)向功能, 因此參照高考試題命制模擬試題是明智之舉.筆者翻閱近幾年高考及各省市模擬考函數(shù)導(dǎo)數(shù)題，以下試題(節(jié)選)引起筆者注意：

題5 (2013年全國(guó)Ⅱ卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.

題8 (2020年高考卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范圍.

以上四題均以指對(duì)混合函數(shù)為模型，函數(shù)中含有參數(shù)a，最后證明雙參不等式恒成立.試題均可通過主元思想消去變量a，化雙變量為單變量；也可通過教材中出現(xiàn)的不等式ex≥x+1，lnx≤x-1及其常用變形進(jìn)行放縮證明；還可通過研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)的“隱零點(diǎn)”，采用“設(shè)而不求，整體代入”方法求解函數(shù)最值；也通過構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)證明指對(duì)混合不等式.[3]

通過以上試題及相關(guān)材料分析，最終選定以下函數(shù)不等式作為模擬題的載體：

題9 證明：ex-2x+ln(x+1)-1>0，x∈(0,+∞).

分析：ex-2x+ln(x+1)-1>0?ex-(x+1)>x-ln(x+1)，易證明h(t)=et-t-1在(0,+∞)單調(diào)遞增，且et≥t+1，t≥ln(t+1)，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，x>ln(x+1)>0.則有h(x)>h(ln(x+1))，即ex-(x+1)>x-ln(x+1).

2.4 引入變量 初具雛形

題9難度中等，作為壓軸題難度不夠，命題明細(xì)表中明確要求考查含參函數(shù)不等式證明，故需要在題9的基礎(chǔ)上適當(dāng)添加參數(shù):

題10 當(dāng)x>0，00.

題11 當(dāng)x>0，a≥1時(shí)，求證：ex-2x+ln(ax+1)-1>0.

題10、題11添加參數(shù)a，通過觀察，很容易構(gòu)造以a為主元的函數(shù)，利用主元法得到ex-2ax+ln(x+1)-1>ex-2x+ln(x+1)-1或ex-2x+ln(ax+1)-1>ex-2x+ln(x+1)-1.顯然這樣的參數(shù)引入，并不能增加試題的難度，因此，該題并不能達(dá)成預(yù)設(shè)目標(biāo)，在上述基礎(chǔ)上再次嘗試改造：

題13 當(dāng)x>0，00.

結(jié)合題10、11改造出題12，雖本質(zhì)上沒有差別，但只需要在題12中將x用ax替換后則改造出題13.經(jīng)過改造后，題13則無法直接利用主元法消去變量a,這樣對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)包裝，呈現(xiàn)形式較為新穎，但入口寬、解法較多且自然，不同能力層次的學(xué)生能有不同的解決方法，但思維量計(jì)算量有所區(qū)別，符合試題預(yù)設(shè)，因此試題初具雛形.

2.5 完善設(shè)問 終成定稿

確定函數(shù)不等式雛形后，根據(jù)試題本源和載體，需要設(shè)定最初函數(shù)模型，根據(jù)命題意圖，還需設(shè)置試題第一問，故筆者設(shè)置以下完整試題：

題14 已知函數(shù)f(x)=2ax-ln(x+1)+1，a∈R.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)x>0，0f(x).

題14給出的函數(shù)f(x)=2ax-ln(x+1)+1，函數(shù)模型學(xué)生較為熟悉，第(Ⅰ)問為簡(jiǎn)單的含參函數(shù)單調(diào)性討論，考查學(xué)生分類討論思想，符合命題細(xì)目要求.同時(shí)根據(jù)第(Ⅰ)問結(jié)論，可得φ(x)=x-ln(x+1)在(0,+∞)單調(diào)遞增，從而當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，x>ln(x+1)，ex>x+1，為后續(xù)函數(shù)不等式證明提供基礎(chǔ),這樣的設(shè)問方式將兩小問聯(lián)系在一起，前為后用，增強(qiáng)問題的關(guān)聯(lián)性.

最后經(jīng)過命題組成員討論，對(duì)試題措辭進(jìn)行精心打磨，最后確定題14為最終試題.

3 命題思考

3.1 源于教材 精雕細(xì)琢

教材是眾多專家和一線教師集體智慧的結(jié)晶，教材是數(shù)學(xué)能力與思想的載體，蘊(yùn)含著大量的“命題點(diǎn)”，許多高考試題就源于課本，它們是由課本的例題、習(xí)題進(jìn)行變式、遷移、整合、擴(kuò)展而成，同時(shí)教材內(nèi)容又與高考試題有一定差距，因此教師要在全面、深度理解教材的基礎(chǔ)上，善于用聯(lián)系的觀點(diǎn)探究課本習(xí)題和高考(模擬)試題的差異;善于在課本中尋找試題題根，探究試題與課本習(xí)題的結(jié)合點(diǎn)，在變化中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，再將這些進(jìn)行拆分、整合、延伸、拓展，可能就是一道源自課本又高于課本，并且能充分展現(xiàn)學(xué)生思維能力的好題[4].同時(shí)試題考查的知識(shí)、方法要以教材為綱本，不宜考查超綱知識(shí).

3.2 以生為本 聚焦思維

試題考查對(duì)象為學(xué)生，命題時(shí)應(yīng)堅(jiān)持以生為本.首先，應(yīng)選擇學(xué)生熟悉的素材作為載體，可從學(xué)生經(jīng)常接觸的生活事物、教材教參中選擇命題素材；其次，命題要注意語言表述，試題語言在規(guī)范準(zhǔn)確的前提下要力求簡(jiǎn)潔，便于學(xué)生理解；最后，命題時(shí)要關(guān)注學(xué)生知識(shí)與能力的最近發(fā)展區(qū)，不宜出特別難或復(fù)雜的問題，不人為設(shè)計(jì)陷阱.

數(shù)學(xué)是思維的體操，缺少思維量的試題不是一道好題，命題不宜照搬舊題，試題要一定的新穎性，這樣才能激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性思維；試題不宜偏、怪、煩，這樣讓學(xué)生主動(dòng)放棄思考，也達(dá)不到試題考查目的.

3.3 一題多解 突出選拔

學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的理解、基本數(shù)學(xué)方法的掌握，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成等方面與思維水平有高度的關(guān)聯(lián)性，因此在試題的命制的過程中重視難度和思維的層次性，給廣大學(xué)生更廣闊的思考空間，更多的思考角度，以及基于自己認(rèn)知水平的發(fā)現(xiàn)和探索解題方法的不同平臺(tái).因此在試題的難度設(shè)計(jì)上不僅有層次性，而且要在思維的靈活性、深刻性，方法的綜合性、探究性和創(chuàng)造性等方面，科學(xué)把握試題的區(qū)分度，全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)科高考的選拔性功能.一道好的試題，一定要體現(xiàn)解題方法的多樣性，給不同層次的考生提供多種分析問題和解決問題的途徑是，在思維能力上、在解題方法上體現(xiàn)試題的選拔功能.

試題命制，功在平時(shí).教師在平常教學(xué)中對(duì)試題深度剖析、挖掘本質(zhì)、追根溯源.要深化對(duì)問題本質(zhì)的理解，要熟讀教材教參，不斷嘗試對(duì)教材例題、習(xí)題等內(nèi)容改編、整合，在平時(shí)命題嘗試中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，完善認(rèn)知，形成素養(yǎng)內(nèi)化于心，才能厚積薄發(fā).