一道高三模擬題的思路探究與拓展*

江蘇省海門中學 (226100) 樊陳衛(wèi)

一、問題給出

圖1

圖2

圖3

對于本題的命題意圖與學生臨場表現(xiàn)的出入，作為任課教師，筆者首先感到欣慰的是學生沒有被壓軸題的位置所嚇到，而是敢于面對勇于勝利，也貫徹了善于從特殊情形探索問題的結論和解決問題的思路這個數(shù)學思想方法.同時作為考后回顧，也有必要帶領學生對這道題目進行深入的探究，獲得對問題的本質理解.

二、結論證明

師：困難在于線段OP的長與點A、B為切點不容易直接關聯(lián)，如何利用“點A、B為切點”這一條件？

生：應該連接CA、CP，CP與AB交點為M.如圖4.

圖4

師：很好，結合“點A、B為切點”這個條件看看有什么發(fā)現(xiàn)？

師：能不能先確定CM的范圍，進一步確定CP的范圍？

師：很好，這個結論從圖上看顯而易見，但說清楚邏輯關系也要費一番功夫的，它對我們要解決的問題有幫助嗎？我們要求的是OP的最小值.

生：再考慮CP與OP的關系：OP≥CP-OC=CP-1.

師：CP與OP的關系還有其它的表達方式，由求解的問題確定選擇上述關系.

師：很好.這個解法中CP連接已知和所求的橋梁，大家可以從CP的作用體會解題的思路.另外，從前面的解題過程中大家能感覺到動點P的軌跡是什么曲線嗎？

生：感覺CP的長可以是無窮的，有可能是拋物線或雙曲線？

師：到底是不是拋物線或雙曲線，需要求出軌跡方程，要從解析幾何的角度去探究了.

三、軌跡方程

思路1 直線l于圓O是切線，對于圓C是關于圓外點P的切點弦，可以從這兩個角度表示出直線l的方程，解法如下：

思路2 以CP為直徑構造圓，由PA、PB為圓C的切線可得AB為兩圓的相交弦，從而得到直線AB方程.

兩個解法求軌跡方程的總體思路相似，都是設出動點坐標，再利用條件建立含有動點坐標的方程.區(qū)別之處是解法1直接由已知條件出發(fā)，思路比較自然，計算稍顯繁瑣；解法2巧妙構造圓方程，使得計算簡捷明了.進一步思考如果兩圓圓心重合，易得動點P的軌跡為圓，隨著兩圓情況的變化，動點P的軌跡如何變化？

四、圓錐曲線

要弄清各種情形下動點P的軌跡，需要對原問題進行一般化：

當a=r時，圓C的圓心在圓O上，軌跡方程①為拋物線r2y2-2aR2(x-a)-R4=0；

五、教學啟示

這道題的解題教學過程給筆者如下啟示：

首先教師不能只看學生解題結果對錯，而是應該關注學生面對問題是怎么想的，做對了是怎么做對的，做錯了是什么原因做錯的，摸清了學生解題過程中的思維亮點和斷點，教師的解題教學才能有的放矢，有明確的針對性.其次，解題教學中，教師要注意引導學生思考的藝術性，針對學生的思維斷點，給學生指導下的普適性的提示，讓學生能在師生的思維交流中有自己的思考活動.最后，教師應該認識到，高考題大多是將一般性問題特殊化，具體化，只要做好對問題的特殊性與一般性分析，看高考題就能把握其本質.