再談數列一個性質的證明

江蘇省昆山中學 (215300) 季剛祥 吳祖燕

性質如果各項均為正數的等比數列和一個等差數列，首項、末項、項數分別相等，那么等比數列的各項均不超過等差數列的對應項.

文[1]中，運用函數思想通過恰當的換元，將上述數列問題轉化為一個與冪函數相關的不等式問題來解，并給出了函數不等式的幾何解釋.讓讀者既能感受到思路的巧妙、解法的合理又能體會到幾何的直觀，真的受益匪淺.在研讀文[1]的過程中，筆者又得到了上述性質的另兩種證法，現陳述如下，供大家參考.

易知p=1，即a=b及x=0，即k=1以及x=1，即k=n時，不等式取等號.下證當p>0且p≠1，0

圖1

(3)式是“指數函數y=px的圖像在(0,1)這一段曲線上的任意一點P(x,px)與點Q(0,1)連線的斜率恒小于過曲線的兩個端點(0,1)和(1，p)的弦的斜率”.因為y=px是凹函數，所以上述結論成立如圖2所示.

圖2

評注：(1)上述兩種證法的共同點都是將數列

不等式轉化為函數不等式來解決，揭示了事物的特殊性寓于普遍性這一辯證思想，解題的關鍵是巧妙變形、合理換元、科學構造，體現了化歸轉化及函數等基本的數學思想方法，同時兩種解法的幾何解釋又從形的角度直觀明了地驗證了通過邏輯推理得到的數學事實.