對“一道高考圓錐曲線題中的定點問題”再探究

聊城大學數學科學學院 (252000) 徐茂林 房元霞

一、原題呈現(xiàn)

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

二、文獻[1]中的結論

兩條直線恒過圓錐曲線上的固定點，如果這個點是圓錐曲線上任意一點，會有一般的結論嗎？帶著這個問題，我們先用GeoGebra軟件進行了探索，歸納出一般結論后再例行證明，如下是我們探究的結論.

三、再探究

(一)橢圓的情形

綜上所述，于股骨頭壞死的臨床診斷工作當中，積極采用磁共振技術，可顯著提高患者病情確診的幾率，讓患者能夠及早接受對癥治療，從而有助于減少其致殘的風險，提高生活質量，建議在臨床上進行推廣和使用。

圖1

本文僅以焦點在x軸上的圓錐曲線為例進行證明，其他對稱情形不再累述.

證明：由題意，直線AP、AQ的斜率都存在，且直線l不經過點A(x0，y0).

(二)雙曲線與拋物線的情形

圖2

圖3

圖4

拋物線(焦點在y軸)的這種特殊情況，因異于文章研究內容，僅予以說明，感興趣的讀者可自證.證明方法可參考定理1的證明；讀者亦可用焦點在y軸上的圓錐曲線統(tǒng)一方程來尋求原因.

既然三種圓錐曲線中都有一般的公式，圓錐曲線有運用離心率的統(tǒng)一定義、方程，如果從統(tǒng)一的角度進一步考慮這個問題，我們堅信：應該會有統(tǒng)一的結論.

(三)圓錐曲線的一般情形

根據圓錐曲線的統(tǒng)一方程：(1-e2)x2+y2-2pe2x-p2e2=0(當01時，表示雙曲線；當e=1時，表示拋物線)，我們得到一般結論：

且可以容易計算得到：