對(duì)“橢圓中由兩垂直直線引出的‘包絡(luò)’”再研究

江蘇省南通市海門證大中學(xué) (226100) 周雅俊

引理1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，兩定點(diǎn)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)(c>0,c為常數(shù))，點(diǎn)P是以F2為圓心，2a(a>c，a為常數(shù))為半徑的圓上的一點(diǎn)，線段PF1的垂直平分線l與線段PF2的交點(diǎn)為點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a的橢圓，且直線l與橢圓相切于點(diǎn)M.

圖1

證明：因?yàn)辄c(diǎn)M在線段PF1的垂直平分線l上，所以MP=MF1，那么MF1+MF2=MP+MF2=PF2=2a，又a>c，所以點(diǎn)M在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a的橢圓上.從運(yùn)動(dòng)的角度來看，當(dāng)點(diǎn)P跑遍圓F2上的所有點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡就是該橢圓.

下面證明直線l與橢圓相切于點(diǎn)M.設(shè)點(diǎn)N是直線l上異于點(diǎn)M的一點(diǎn)，由三角形兩邊之和大于第三邊可以得到NF1+NF2=NP+NF2>PF2=2a，所以直線l上只有點(diǎn)M在橢圓上，其余的點(diǎn)都在橢圓外，所以直線l與橢圓相切于點(diǎn)M.

圖2

所以當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，點(diǎn)N在以A為圓心，r0為半徑的圓上.從運(yùn)動(dòng)的角度來看，當(dāng)點(diǎn)P跑遍橢圓上的所有點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)N的軌跡就是以點(diǎn)A為圓心，r0為半徑的圓.

在引理2的基礎(chǔ)上可以得到引理3.

圖3