2022年高考全國甲卷圓錐曲線試題探究與變式

四川省成都市石室中學(xué) (610015) 李賢江 成都市電子科技大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (611731) 黃 信

圓錐曲線一些解答題常常含有極點(diǎn)與極線的背景.極點(diǎn)與極線是高等幾何的重要理論，是解決圓錐曲線一些復(fù)雜問題的巧妙方法.學(xué)生如果了解極點(diǎn)與極線理論，那么就可預(yù)知結(jié)果并且減少大量繁瑣運(yùn)算.

極點(diǎn)與極線的定義：如圖1，圓錐曲線外一點(diǎn)S，過點(diǎn)S作圓錐曲線的兩條割線SA和SC，分別交圓錐曲線于A、B，C、D四點(diǎn)，直線AD和BC交于點(diǎn)E，直線AC和BD交于點(diǎn)T，直線ST是點(diǎn)E關(guān)于該圓錐曲線的極線.

圖1

圖2

例1 (2022高考數(shù)學(xué)全國卷甲卷理科改編)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M,N兩點(diǎn)，D(2,0)，MD交拋物線于另一點(diǎn)A，ND交拋物線于另一點(diǎn)B，設(shè)直線AB、直線MN的傾斜角分別為α,β，當(dāng)α-β取最大值時，求直線AB的方程.

圖3

以高等幾何中的極點(diǎn)與極線為背景命制的解析幾何試題很多，認(rèn)識這類問題有助于以高觀點(diǎn)把握問題，將問題看得更為透徹，下面給出例1的兩個變式.

圖4

圖5

圖6

圖7

說明：變式2的結(jié)論與直線AB、直線A1B1的交點(diǎn)E在橢圓內(nèi)、外無關(guān)，也與E在x軸的上方、下方無關(guān).