2022年新高考卷解三角形試題的多解與拓展*

廣東省中山市實驗中學 (528404) 楊沛娟 廣東省中山市濠頭中學 (528437) 張 宇

1.試題呈現

2.解法分析

3.解法探究

3.1 第(1)題解法

評注：此解法用到了誘導公式及三角形的內角和公式，思路清晰，解法自然.

評注：此法將已知條件轉化為兩條直線的斜率問題，數形結合，體現了數學內部各版塊知識的一致性，能較好地考查到學生的數學思維能力.

評注：此法將已知條件轉化為兩角和與差的正弦及余弦，同時巧妙地對角進行轉化，過程簡潔，易于理解和掌握.

評注：此法運用同構思想，通過構造函數得到兩角的關系，簡潔明快.

3.2 第(2)問解法

評注：此法由正弦定理化邊為角，通過角的換元代換，將三個變元轉化成一個變元，然后運用基本不等式得出最值，思路清晰，易于理解，需注意的是取等的條件.

評注：此法運用正弦定理，再運用降冪公式，通過換元將其轉化為函數的最值問題，然后用函數的單調性解決問題.

評注：此法將已知條件進行轉化，然后化弦為切，運用基本不等式使問題得到解決.

評注：對于含有二次式的分式形式的最值問題，用判別式法是一種比較常見的方法.

評注：此法本質上與解法3是一樣的.也可以由判別式法求得最值.

評注：解法6和解法1本質上是一致的，都是通過轉化，然后直接用基本不等式求得問題的結論.

4 試題拓展

以上分別列舉求解第(1)問和第(2)問的6種常見的方法，由于第(1)小問和第(2)小問相對獨立，因此，在理論上完成此題的解法很多.限于篇幅，不再例舉，留給讀者作為練習.

經過進一步的分析探究可知，此題還可以進行如下的拓展.

5 教學建議

解三角形是近年高考試題中經常出現的試題，這部分內容主要涉及到正弦定理，余弦定理，面積公式及射影定理等.因此教師在進行這類問題的教學或復習時，要加強基礎知識方面的練習，基礎知識扎實了，解決此類問題的時候，就能盡可能地避免解題過程中出現多解、錯解或漏解的情況.