一道北大綜合營試題的證法賞析

江蘇省南通市海門四甲中學 (226100) 沈佳瑤

近年，北京大學每年暑期都會舉辦數學體驗營活動.這類活動的題目總體難度不大，但有競賽的味道.2019年北大綜合營第4題是一道平面幾何題，筆者探究出這道試題的多種證法.

一、試題呈現

如圖1，已知等腰直角△ABC，∠A=90°，點D在邊AB上，E在邊AC上，AD=AE，過點A,D分別作BE的垂線交BC于P,Q.用平面幾何方法證明：PQ=PC.

圖1

試題簡潔明了，結構也不算復雜，題目特意強調用平面幾何方法證明.自然的想法就是添加輔助線，證明的途徑較多，關鍵在于利用題目條件進行合理的轉化.

二、證法賞析

思路一兩條線段AP和DQ都垂直于BE，可以通過構造平行線成比例解決問題.不同的解題視角，可得到以下4種證法.

證法1：如圖2所示，構造一個正方形ABFC，延長AP、DQ交CF于是點S、點R.由于AP⊥BE，DQ⊥BE，則AS//DR，又AD//SR，所以四邊形ADRS為平行四邊形，所以AD=RS.由條件知Rt△BAE≌Rt△ACS，則AE=CS，又因為AD=AE，所以CS=SR，結合PS//QR，得PQ=PC.

圖2

證法2：如圖3，延長DA至點F，使得DA=AF，連接CF.由條件可知Rt△BAE≌Rt△CAF，則∠AEB=∠AFC，AE=AF.由DQ⊥BE，知∠BDQ=∠AEB=∠AFC，所以CF//DQ，又因為DA=AF，故PQ=PC.

圖3

證法3：如圖3所示，延長DA至點F，使得DA=AF，連接CF.因為AD=AE，所以AE=AF.由條件可得△ABE≌△ACF.所以∠AEB=∠AFC.所以∠ABE+∠AFC=∠ABE+∠AEB=90°.所以FC⊥BE，從而FC//AP//DQ.又因為DA=AF，所以CP=PQ.

證法4：如圖4所示，過點C作CF//AP交BA的延長線于F點，延長BE交FC于點H，設DQ交BE于G點，AP交BE于I點.連接AH和AG.因為AE=AD,AC=AB，所以CE=BD.由DQ⊥BE，∠A=90°，得∠BDG=∠BEA=∠CEH，所以Rt△BGD≌Rt△CHE，所以DG=EH.由∠BDG=∠CEH，得∠ADG=∠AEH，所以△ADG≌△AEH，所以AG=AH,AG⊥AH，因為AI⊥GH，所以GI=IH.又因為DQ//AP//FC，所以CP=PQ.

思路二圖形中有眾多垂直關系，可以通過作垂線，構造全等三角形和相似三角形，可得以下兩種證法.

圖4

圖5

圖6

思路三利用旋轉變換，同樣可得全等三角形，這樣兩個三角形對應邊互相垂直，且梯形的中位線與上、下底都是平行的.可得以下證法.

圖7

思路四題目即是證明點P是線段CQ的中點，可以聯想三角形中位線.得到以下證法.

證法8：如圖8所示，連接CD交AP于F點.由條件知AP⊥BE，DQ⊥AE，△ABE≌△ACD，所以∠ADC=∠AEB，∠ABE=∠ACD，又∠AEB+∠ABE=∠AEB+∠CAP=90°，所以∠CAP=∠ABE=∠ACD，所以FA=FC.又∠ADC=90°-∠ACD=90°-∠CAP=∠DAF，所以FD=FA，所以FD=FC.因為AP//DQ，所以CP=PQ.

圖8

思路五直觀的證明難點在于點P、點Q的表達，利用面積可以實現消點.得到如下證法.

圖9

思路六既然是證法賞析，我們拋開題目限定的平面幾何方法去思考其他的方法，我們又可得到三角法和向量法兩種典型的證明方法.

圖10