基于Mindlin解的隧道施工引發的附加荷載及接收井變形分析

傅鶴林，張凱源，鄧皇適，陳足

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410075)

在城市盾構隧道工程中，盾構機的始發、接收以及調頭等工序通常在接收井或者始發井中進行，特別是盾構隧道埋深較大或位于城市內時，始發(接收)井具有占地面積小和對周邊環境擾動小等特點，故其被廣泛運用于盾構機始發及接收工作。隨著地鐵的大力建設，盾構隧道的接收基坑開挖深度及平面尺寸越來越大，難度也越來越明顯，如何保證其安全性也成為眾多學者研究的重點。

孫凱等[1]根據滑動體力學模型和豎向彈性地基梁模型進行了深基坑支護結構設計，并對施工進行動態數值模擬，驗證了圍護結構的受力和變形特征。徐中華等[2]通過收集上海地區93 個采用地下連續墻作為圍護結構的工程實例，研究了支撐結構對基坑變形的影響。俞建霖等[3]采用有限元法研究了基坑圍護結構在開挖時的變形特征及主要影響因素。FINNO等[4]通過對150個深基坑的變形模擬，得出了影響基坑變形的主要因素，并提出了規則長方形基坑的周邊沉降空間分布模型。尹盛斌等[5]通過對基坑開挖過程的有限元數值模擬，得到了圍護結構在不同受力特征下的基坑外地表沉降分布曲線。VERRUIJT 等[6-8]依據Peck 公式，結合大量的實際工程監測資料進行分析總結，得出了盾構隧道地表變形的彈性解。鄧皇適等[9]根據Mindlin 解得出注漿壓力空間非均勻分布引發的地表沉降計算公式并對比現場監測數據驗證其適用性。倪小東等[10]結合現場監測信息分析基坑變形誘因，并建立參數弱化模型驗證，得出影響基坑變形的不利因素。在現有研究中，人們主要對盾構施工對周圍地表或臨近建筑物的影響進行了研究[11-12]，而針對盾構機接收過程中對接收井變形的影響研究較少。若盾構機在臨近接收井的過程中引起接收井變形過大，則可能導致支撐結構移位脫空甚至發生失穩破壞，因此，必須確定盾構機各施工因素對接收井受力及變形影響。

1 附加應力公式推導

在盾構施工中，擾動周邊環境的主要因素有盾構機附加推力、盾殼與周邊土體的摩阻力、盾尾附加注漿壓力等。針對上述因素引起的周邊環境擾動，本文基于Mindlin 解進行計算和分析。Mindlin 解可反映某點在水平或豎向荷載作用下引起半無限體內其他點的應力及位移變化情況。Mindlin 解力學模型簡明，計算所需確定的參數數量較少[13]，童星等[14-18]用其研究土體內開挖對周邊土體的擾動情況并驗證了其可靠性。本文基于Mindlin 解，推導盾構施工引發周邊環境的附加應力計算公式，分析盾構前方土體斷面的附加應力分布情況，進而推出盾構施工引發的接收井變化情況。

Mindlin解的計算模型如圖1所示。圖1中，整個范圍為半無限空間體，荷載作用點的坐標為(ε，η，ζ)，半無限體內任意一點的坐標為(ε0，η0，ζ0)。在荷載作用點分別施加沿x方向的水平向荷載Ph和豎直向荷載Pv。在施工過程中，接收井變形主要以水平方向即x方向的變形為主，因此，在公式推導中推導x方向的應力。

圖1 Mindlin解示意圖Fig.1 Mindlin's solution schematic diagram

在點M(ε，η，ζ)施加豎向荷載Pv及水平荷載Ph引起點M0(ε0，η0，ζ0)分別產生沿x方向的正應力σv和σh，其計算公式為

基于式(1)和(2)分別推導在盾構機施工中盾構掌子面附加推力、盾殼兩側與周邊土體的摩擦力、盾尾處附加注漿壓力引發的附加應力計算公式。

盾構掌子面附加推力相當于在刀盤面上施加水平方向荷載，單位作用面積為drdθ，刀盤中心點坐標為(0，0，H)，刀盤半徑為R，如圖2所示。

圖2 附加推力計算模型Fig.2 Calculation model of additional thrust

假定盾構機在掘進過程中軸線偏移量較小，即盾構機沿x方向直線掘進，且盾構機推力在刀盤上均勻分布，作用點坐標為(0,Rcosθ,H-Rsinθ)，θ為作用點與水平面夾角。根據式(2)對盾構掌子面附加推力積分可得作用于周邊某點(ε0，η0，ζ0)的附加應力σp為

盾殼摩阻力相當于在盾殼上作用的水平方向荷載，單位作用面積為Rdsdθ，如圖3所示。

圖3 摩阻力計算模型Fig.3 Calculation model of friction

假定盾殼與周邊土體的摩阻力均勻分布，作用點坐標為(s,Rcosθ,H-Rsinθ)。根據式(2)對盾殼摩阻力積分可得作用于周邊某點(ε0，η0，ζ0)的附加應力σf為

盾尾處附加注漿壓力相當于在盾尾作用沿管片法向的作用力，單位作用面積可分解為水平方向Rcosθdadθ及豎直方向Rsinθdadθ，單環管片長度為l，如圖4所示。

圖4 附加注漿壓力計算模型Fig.4 Calculation model of additional grouting pressure

假定注漿壓力均勻分布，作用點坐標為(a-L,Rcosθ,H-Rsinθ)，水平方向作用力沿y軸方向。將式(2)的兩坐標軸轉換后再積分，得到盾尾注漿壓力水平方向引起周邊某點(ε0，η0，ζ0)的附加應力σq1為

根據式(1)對盾尾注漿壓力豎直方向積分可得附加應力σq2為

在盾構施工過程中，掌子面附加推力、盾殼摩阻力以及盾尾注漿壓力引起的周邊地層任意一點的附加應力σx為

2 接收井變形計算模型

本文主要研究盾構施工對接收井的變形情況，計算得到盾構施工引起的圍護結構的附加荷載，再將其施加到圍護結構上得到圍護結構的變形情況。接收井一般采用地下連續墻作為圍護結構[16]，本文采用豎向地基梁法對盾構施工各因素進行分析計算。計算模型采用兩層支撐結構，將圍護結構視為由2 個不可變形支承支撐的梁體即兩端鉸接。本文采用的模型見圖5。

圖5 變形計算模型Fig.5 Calculation models of deformation

3 理論公式計算結果及分析

以某地鐵盾構施工工程為背景，隧道拱頂埋深為12.4～14.2 m，管片寬度l為1.5 m，盾殼長度L為5.0 m，接收井區域面積為10.0 m×20.0 m，圍護結構采用C30現澆地下連續墻支護，混凝土支撐與圍護結構連接穩固，不發生相對移動。盾構機及接收井尺寸位置關系見圖6及圖7。

圖6 盾構機與接收井縱斷面圖Fig.6 Longitudinal section view of shield machine and receiving shaft

圖7 盾構機與接收井俯視面圖Fig.7 Top view of shield machine and receiving well

土體強度參數及各施工參數由區域內土體的平均參數綜合確定，各計算參數見表1。

表1 計算參數Table 1 Calculation parameters

本文采用MATLAB構建5點Gauss-Legendre數值積分函數，將式(3)～(6)作為輸入函數，分別計算出當盾構機刀盤距離接收井側墻5，10，20和30 m時，各施工因素導致H=13 m 處周邊100 m 區域范圍內的附加荷載。

圖8(a)所示為附加推力引發的附加荷載在y方向的分布情況。從圖8(a)可見：在掌子面上距隧道軸線越遠，附加推力引發的附加荷載越小；在隧道軸線左右兩側10 m 范圍內的附加荷載較大，當距離大于10 m 時，附加荷載明顯減小；附加荷載隨著盾構機掌子面與圍護結構的距離減小而增大，當掌子面與圍護結構距離從10 m 減以到5 m 時，附加荷載增幅約200%，隨著掌子面與圍護結構的距離減小，附加推力引發的附加荷載更大。圖8(b)所示為附加推力引發的附加荷載在x方向的分布情況。從圖8(b)可見：附加推力引起的附加荷載在x方向以刀盤平面為對稱中心呈反對稱分布，即附加推力對刀盤平面土層不會產生附加荷載；盾構機刀盤在不同位置引起的附加荷載的最大值基本一致。

圖8 附加推力引發的附加荷載Fig.8 Additional load caused by additional thrust

圖9 所示為盾殼摩阻力作用下y和x方向的附加荷載。從圖9(a)可見：盾殼摩阻力的附加荷載在y方向的值比附加推力引發的更大，這是由于盾殼摩阻力的作用范圍及大小比附加推力的大；當掌子面距圍護結構的距離為5 m時，在隧道軸線處附加荷載突然減小，這是由于盾殼兩側的環狀摩阻力在接近圍護結構時，對圍護結構上環狀區域的影響逐漸減弱；從圖9(b)可見，盾殼摩阻力的附加荷載在x方向的分布情況與附加推力引發的附加荷載的分布情況基本一致，都是以盾殼中線為對稱中心呈反對稱分布，但范圍比附加推力的分布范圍更寬。由于盾殼前半部分產生的反向荷載與后半部分產生正向荷載疊加，導致此截面附加荷載為0。

圖9 盾殼摩阻力引發的附加荷載Fig.9 Additional load caused by the friction of the shield shell

圖10所示為附加注漿壓力作用下y和x方向附加荷載，在y方向呈非對稱分布，最大值約在注漿位置處，且相比于其他因素影響基本可以忽略；附加注漿壓力影響范圍在注漿位置前后三環管片內，在掌子面前方影響極小。

圖10 附加注漿壓力引發的附加荷載Fig.10 Additional load caused by additional grouting pressure

改變計算點深度，研究深度及盾構機距離對附加荷載的影響。取計算點深度變化范圍為0～30 m，接收井側墻與盾構機刀盤距離為5，10，20和30 m，計算得到y=0 m時盾構刀盤附加推力、盾殼摩阻力以及盾尾附加注漿壓力引發的附加荷載。

圖11 所示為附加推力作用下附加荷載沿深度方向的變化情況。從圖11 可見：附加荷載沿深度方向先增加后減小，最大值在刀盤中心處；附加荷載隨盾構機刀盤與圍護結構的距離減少而顯著增加。

圖11 附加推力引發的附加荷載Fig.11 Additional load caused by additional grouting pressure

圖12 所示為盾殼摩阻力作用下附加荷載沿深度方向變化情況。從圖12 可見：與掌子面附加推力的分布規律基本一致，在盾構機刀盤中心點位置處的附加荷載達到最大值；隨著盾構機接近圍護結構，在圍護結構中心產生突變，這是由于環狀的盾殼摩阻力與圍護結構上環狀中心距離不斷減小，影響也逐漸減弱；盾殼摩阻力導致的附加荷載明顯大于掌子面附加推力產生的附加荷載。

圖12 盾殼摩阻力引發的附加荷載Fig.12 Additional load caused by the friction of shield shell

圖13 所示為附加注漿壓力作用下附加荷載沿深度方向變化情況。從圖13 可見：附加荷載近似以刀盤中心深度為對稱點呈反對稱分布，附加荷載隨著盾構機刀盤與圍護結構的距離減小而增大，但與附加推力和盾殼摩阻力相比可以忽略不計。

圖13 注漿壓力引發的附加荷載Fig.13 Additional load caused by grouting pressure

將掌子面附件推力、盾殼摩阻力以及附加注漿壓力引起的附加荷載疊加，計算接收井側墻與盾構機刀盤距離為5 m 和20 m 時，圍護結構在y=0 m處的變形。

圖14 所示為接收井側墻中線y=0 m 處的變形情況。從圖14 可見：產生變形的主要因素是盾殼摩阻力，其次是附加推力，附加注漿壓力對圍護結構變形的影響較小；當刀盤距圍護結構5 m 時，圍護結構的最大變形約為18 mm，位移較大，可能會導致支撐結構失效，發生脫落，影響基坑的整體穩定性；變形在刀盤的環狀范圍內產生突變，與盾殼摩阻力引起的附加荷載分布情況一致；當刀盤距圍護結構20 m 時，圍護結構的最大變形僅為0.8 mm，說明當盾構機距離圍護結構較遠時，對圍護結構的影響很小，基本可以忽略。

圖14 接收井側墻中線處變形情況Fig.14 Deformation at the center line of the side wall of the receiving well

4 數值模擬

通過數值模擬對理論結果進行驗證，使用Midas GTS得出單線隧道分析盾構掘進中接收井側墻的變形，如圖15所示。

圖15 單線盾構隧道臨近接收井模型Fig.15 Single-line shield tunnel near the receiving shaft model

隨著盾構掘進，接收井側墻在y=0處的最大變形見圖16。從圖16可見：當盾構機掘進40 m即刀盤距圍護結構10 m 時，最大變形開始劇增，約占總變形的80%；在盾構臨近接收井時，需要調整盾構機推力、掘進速度等參數以保證接收井圍護結構的穩定性；在模擬過程中，當盾構機刀盤距圍護結構5 m 時，最大變形(約22 mm)與理論計算結果(18 mm)誤差較小，驗證了理論計算結果的正確性和適用性。

圖16 接收井側墻中線處最大變形Fig.16 The maximum deformation at the center line of the side wall of the receiving well

當盾構機刀盤距離接收井側墻10 m和5 m時，對y=0 m處接收井的變形云圖進行分析并對變形數值模擬結果與理論計算結果進行對比，分別如圖17和圖18所示。從圖17和圖18可見：圍護結構變形數值模擬結果與理論結果在大小和變化趨勢上大致相似，數值模擬結果偏大，且在距離為5 m時，變形在環形范圍內突變消失。其原因是：1) 理論計算中將接收井側墻視為梁單元，而在模擬中作為板單元更接近工程實際；2) 在理論計算中，僅考慮盾構機的影響并進行彈性計算，沒有將土體塑性區的形成以及對接收井的影響考慮在內。

圖17 刀盤距接收井10 m時接收井的變形Fig.17 Deformation of the receiving well when the cutter head is 10 m away from the receiving well

圖18 刀盤距接收井5 m時接收井的變形Fig.18 Deformation of the receiving well when the cutter head is 5 m away from the receiving well

5 結論

1) 基于Mindlin解，推導了在盾構機掘進過程中，掌子面附加推力、盾殼摩阻力以及附加注漿壓力對接收井圍護結構產生的附加應力的計算公式；基于豎向地基梁模型，對接收井圍護結構的變形進行了計算。

2) 盾殼的摩阻力導致接收井圍護結構的附加荷載在埋深方向的分布規律為先增大后減小；當掌子面與圍護結構距離較近時，盾殼摩阻力產生的附加荷載在刀盤中心深度產生突變，其原因是盾殼摩阻力接近圍護結構時對環形中心范圍影響逐漸降低；掌子面附加推力產生的附加荷載在埋深方向隨深度增加先增大后減小；附加注漿壓力導致接收井圍護結構附加荷載在埋深方向呈反對稱分布。

3) 導致接收井圍護結構產生變形的主要因素為盾殼的摩阻力，其次為掌子面附加推力。盾尾附加注漿壓力對圍護結構產生的變形可以忽略。

4) 盾構機臨近接收井時的圍護結構變形比理論變形偏大，其原因是理論計算時沒有考慮接收井周圍土體等的因素對圍護結構的影響。