淺埋隧道圍巖壓力計算模型修正及應用

盧欽武，關振長，鄭路，蔣宇靜

(1.福州大學 土木工程學院，福建 福州，350116；2.長崎大學 社會開發工學科，日本 長崎，8 528521)

隨著我國交通基礎設施不斷完善，公路交通隧道工程里程快速增長[1-2]，而作用在隧道襯砌上的圍巖壓力一直是熱點研究問題[3]。就隧道圍巖壓力的理論計算而言，極限平衡、復變函數、極上限分析等方法均各具特點而得到不同程度的應用。極限平衡法最先應用于隧道圍巖壓力計算中，被眾多規范所采用[4-5]，且在此基礎上，許多學者對其計算模型進行了改進。LIU 等[6-7]研究了地震作用下偏壓隧道破裂角度、破壞模式和圍巖松弛壓力分布，并推導出圍巖松弛壓力解析解；郭子紅等[8]引入變分原理構建了淺埋隧道的破壞模式，探討了合理破裂面位置；盧欽武等[9]通過引入條分理論，對兩側三角形塊體進行水平條分，提出能考慮巖土體分層的淺埋隧道圍巖壓力計算方法。

隨著計算理論的深入發展，復變函數理論和極上限分析法也被應用于隧道圍巖壓力計算，LU等[10]基于復變函數理論，考慮重力不平衡力系的具體分布，推導了考慮重力條件的淺埋圓形隧洞彈性解。楊公標等[11]采用復變函數理論以及斯瓦茨交替法，建立了含空洞地層淺埋圓形隧道圍巖應力和位移解析解。張道兵等[12]采用非線性M-C破壞準則下的極限分析解析法，推導得到“楔形塌落體+轉動圓弧體”破壞模式的圍巖壓力表達式。PAN 等[13]對非圓形斷面隧道圍巖壓力問題，采用極上限分析法對隧道圍巖壓力進行分析，并與數值模擬結果對比，認為二者較為吻合。

復變函數理論適用于規則邊界條件下圍巖應力解析解的計算，而極上限分析法適用于探討隧道周邊巖土體的破壞模式與范圍[14-15]。二者的計算過程均較為復雜，相較而言，基于極限平衡的淺埋隧道圍巖壓力計算模型(以下簡稱“傳統計算模型”)，具有力學機理清晰、計算過程簡便的優點，在工程實踐中得到廣泛運用[4-5]。但傳統計算模型假定塊體間潛在滑移面為鉛直面，與工程實際不太相符。因此，本文作者在傳統計算模型基礎上，提出潛在滑移面偏轉的修正模型，并結合水平條分法計算淺埋隧道圍巖壓力，以期為提高隧道工程的科學設計水平提供參考與借鑒。

1 傳統計算模型

對埋深小于等效荷載高度hq的超淺埋隧道，其豎向圍巖壓力按上覆圍巖自重計算；對埋深大于2.5hq的深埋隧道，其豎向圍巖壓力按照等效荷載高度hq計算；對埋深介于二者之間的淺埋隧道(hq＜h＜2.5hq)，現行規范中給出其圍巖壓力的計算方法，如圖1所示[4-5]。

圖1 淺埋隧道圍巖壓力的計算簡圖Fig.1 Calculation diagram for ground pressure of shallow tunnel

基于庫侖極限平衡理論假定，傳統計算模型認為：當凈寬為b的隧道開挖時，頂部自重為W的矩形塊體AJKD下沉，同時，通過潛在滑移面AB與DE分別帶動兩側自重為W1的三角形塊體ABC及DEI，使其沿破裂面BC與EI滑移。其中，破裂面與水平面的夾角為β；φc和θc分別為破裂面與潛在滑移面上的計算摩擦角；F和T分別為破裂面上的支承力合力及潛在滑移面上的側阻力合力；q為隧道上覆圍巖壓力(即矩形塊體底部反力)。

庫侖極限平衡假定最先應用于無黏性土的擋墻土壓力計算中，由于擋墻與土體的剛度差距懸殊，故以二者接觸面為潛在滑移面是合理的[16-17]。據試驗結果，淺埋隧道下沉塊體的形狀應為梯形[18-19]。特別地，因隧道襯砌剛度較大，YANG等[20]提出淺埋隧道破壞模式應為倒梯形，即潛在滑移面外傾，如圖2所示。因此，淺埋隧道圍巖壓力的計算模型中，不宜沿用潛在滑移面豎直的假定。

圖2 淺埋隧道梯形破壞模式[20]Fig.2 Failure mechanism description for shallow tunnel

2 修正計算模型及條分法應用

2.1 整體計算簡圖

對傳統計算模型進行修正后的計算簡圖如圖3所示。當凈寬為b的隧道開挖時，頂部梯形塊體A'J'K'D'下沉，通過潛在滑移面A'B與D'E分別帶動兩側三角形塊體A'BC及D'EI沿破裂面BC與EI滑移。其中，潛在滑移面A'B、D'E與鉛直線間存在滑移角α；地表超載為m0；c和c'分別為破裂面與潛在滑移面上的黏聚力，φ和θ分別為破裂面與潛在滑移面上的摩擦角。需要說明的是，潛在滑移面上的抗剪強度指標c'和θ，可通過破裂面上抗剪強度折減得到[4,21]。

圖3 淺埋隧道圍巖壓力的修正計算簡圖Fig.3 Modified calculation diagram for ground pressure of shallow tunnel

2.2 三角形塊體計算

取右側三角形塊體A'BC進行分析，其受力如圖4所示。

圖4 三角形塊體的修正受力簡圖Fig.4 Modified force diagram for triangle block

傳統計算模型中，側阻力合力T是關于破裂角β的函數，使T取極值時的破裂角即為真實破裂角；而修正計算模型中T是關于滑移角α和破裂角β的聯合函數，即α和β聯合表征了三角形塊體狀態。因此，沿用單個塊體極限平衡的傳統計算方法，無法準確求解滑移角α與破裂角β(有無窮多解)；須引入水平條分法，通過增加地表邊界條件，從而求得滑移角α和破裂角β。

對塊體A'BC沿水平方向截取厚度為dy的微元條abcd(e和g分別為ab邊和cd邊的中點)，忽略土條間剪切作用，其受力圖如圖5 所示。圖中，dW1為微元條重力，m和dm為微元條間作用力，dF和dT分別為微元條破裂面上的支承力及潛在滑移面上的側阻力。

圖5 微元條的受力簡圖Fig.5 Force diagram of wedge slice

微元條上的幾何關系如下：

微元條自重為：

基于上述受力簡圖，建立x、y方向的力平衡方程分別為：

以cd邊中點為矩心，建立力矩平衡方程：

聯立式(3)～(5)，令dy趨于0 并忽略高階無窮小，則作用在微元條上的3個未知力dF、dT和dm分別為

其中，z1～z4為中間常量，

將式(9)和(10)代入式(7)，可得潛在滑移面上側阻力dT的顯示表達式：

進一步對其沿深度方向積分，可得到潛在滑移面上側阻力合力T的顯示表達式：

2.3 三角形塊體計算（特例）

特別地，式(8)存在z2/z1=1 或z2/z1=0 兩種特殊情況。當z2/z1=1時，條間力m由式(9)變為：

條間力dm由式(10)變為：

當z2/z1=0時，條間力m由式(9)變為：

條間力dm由式(10)變為：

2.4 梯形塊體計算

取隧道上方梯形塊體A'J'K'D'分析，其受力簡圖如圖6 所示。假定隧道頂部豎向圍巖壓力(即梯形塊體底部反力)為均布形式，由豎向受力平衡易求得豎向圍巖壓力q為：

圖6 梯形塊體的修正受力簡圖Fig.6 Modified force diagram for trapezoidal block

3 破裂角β的圖解法與求解流程

基于極限平衡假定，在傳統模型及修正模型中，計算隧道豎向圍巖壓力q之前均須求解側阻力合力T。對于傳統計算模型，T是僅關于破裂角β的函數，使得側向作用合力取極大值時的破裂角即為真實破裂角，即通過設定dT/dβ=0得到。而對于修正計算模型，T是關于滑移角α與破裂角β的聯合函數，對應雙未知量的單一求解式將得到無窮解。因此修正計算模型中引入條分法，即加入邊界條件通過上述2個求解式，即可得到對應極大值T的真實滑移角α與破裂角β。

但對于dT/dβ=0，三角函數直接求解將得到超越方程，故引入圖解法，將關于角度的函數轉化為關于長度的函數，進而求解極大值問題，如圖7所示。過B點作直線BM與水平線夾角為φ，與AC延長線交于M點，過C點作垂線CN交BM于N點。根據三角函數關系得：

圖7 破裂角β的圖解法Fig.7 Graphic method for rupture angle

將式(18)代入式(12)并對長度ˉˉˉˉBN求導并令其等于零，得到：

綜上，本文修正模型引入條分法及圖解法后的豎向圍巖壓力計算流程如圖8所示。通過式(7)關聯滑移角α與破裂角β后，利用圖解法求解破裂角β，進一步得到側阻力合力T與豎向圍巖壓力q。需要特別說明的是，條分法的引入使得修正模型可求解巖土體分層工況，同時得到側阻力dT沿潛在滑移面的分布模式。

圖8 淺埋隧道圍巖壓力計算流程圖Fig.8 Calculation flow-chart for ground pressure of shallow tunnel

4 與既有方法對比驗證

4.1 修正模型與規范法的對比

通過簡單算例，對比傳統計算模型(規范法)與修正計算模型。如圖3所示，選取隧道幾何參數b=10.5 m、H=16 m、h=12 m，地表超載m0=20 kPa，參考相關規范選取IV～VI 級土質圍巖參數如表1所示[4]。

表1 各等級圍巖參數取值Table 1 Properties of surrounding rock

采用修正模型與傳統模型，計算得到滑移角α、破裂角β和豎向圍巖壓力q如表2所示。傳統模型假定潛在滑移面豎直，即三角形塊體ABC的形狀與體積僅由β決定[22]；而修正模型中引入了滑移角α，三角形塊體A'BC的形狀與體積由α和β共同決定。但無論是傳統模型還是修正模型，三角形塊體體積均隨圍巖等級提高而減小。

表2 修正模型與規范法傳統模型的計算結果對比Table 2 Calculation results of modified model compared with that of code's method

對于豎向圍巖壓力，圍巖等級較低時，滑移角較小，潛在滑移面趨向豎直，修正模型與傳統模型計算結果較為接近。隨著圍巖等級提高，三角形塊體體積減小，梯形塊體體積隨增大，使得豎向圍巖壓力逐漸增加。

當滑移角α=0，圍巖壓力計算由圖3 蛻化為圖1；進一步地，若不考慮地層黏聚力(即采用計算摩擦角代替摩擦角)，則修正模型中側阻力合力T及豎向圍巖壓力q的計算式蛻化為規范法公式，即傳統模型可視為本文所述修正模型的一個特例。

4.2 修正模型與太沙基法的對比

選用破裂面同樣固定的太沙基法，基于文獻中的隧道幾何尺寸與土層參數[23-24]，對比其與本文修正模型。其中，隧道直徑為8 m，埋深14 m，周邊巖土體的重度為17.8 kN/m3、黏聚力為6.3 kPa、摩擦角為14.8°。令埋深自18 m 以間隔2 m 遞減至10 m，則計算所得的豎向圍巖壓力q如表3所示。

表3 修正模型與太沙基法的計算結果對比Table 3 Calculation results of modified model compared with that of Terzaghi method

從表3 可見：當埋深為10 m 時，修正模型與太沙基法的計算結果相近。隨著埋深增加，太沙基法與修正模型的計算結果差值增大。究其原因在于，太沙基法僅關注隧道上方巖土體，忽視了隧道高度范圍內巖土體提供的側向阻力。隨著埋深增加，該部分阻力起到的影響不可忽略，因此，修正模型計算結果小于太沙基法的結果。

5 參數敏感性分析

在V 級圍巖算例的基礎上，進一步從塊體體積形狀與側阻力分布模式等角度，探討強度參數對滑移角α、破裂角β、側阻力合力T以及豎向圍巖壓力q的影響。

5.1 黏聚力敏感性分析

當黏聚力c為7～9 kPa 時，滑移角α、破裂角β、側阻力合力T、豎向圍巖壓力q如表4所示。可見：隨著黏聚力增大，滑移角α增大，破裂角β減小；使得側阻力合力T減小，豎向圍巖壓力q增大。

表4 黏聚力敏感性分析Table 4 Sensitivity analysis for cohesion

塊體體積隨黏聚力變化如圖9所示。可見：隨著黏聚力增加，三角形塊體自穩能力增強，其體積由43.7 m3減小至32.7 m3，降幅25%，進而降低側阻力合力；同時梯形塊體體積由183.6 m3增加至230.3 m3，增幅25%，上述二者共同作用，使得豎向圍巖壓力增加。

圖9 塊體體積隨黏聚力變化Fig.9 Variation of block volume with cohesion

進一步地，根據式(11)計算不同黏聚力條件下側阻力沿深度方向的分布，結果如圖10 所示。可見：側阻力沿深度方向整體上呈先增加后減小的對數形態分布。隨著黏聚力增加，三角形塊體體積減小，側阻力分布受重度影響減弱，受黏聚力影響相對增強，因此其分布曲線形心上移，與擋墻土壓力的分布形態類似[25]。

圖10 不同黏聚力下側阻力沿深度分布Fig.10 Distribution of lateral resistance along depth with different cohesions

5.2 摩擦角敏感性分析

摩擦角φ為26°～34°時滑移角α、破裂角β、側阻力合力T、豎向圍巖壓力q如表5 所示。可見：隨著摩擦角增加，滑移角α與破裂角β均增大，側阻力合力T降低，豎向圍巖壓力q增大。

表5 摩擦角敏感性分析Table 5 Sensitivity analysis for friction angle

體積隨摩擦角變化如圖11 所示。可見：與黏聚力作用機制類似，隨著摩擦角增大，三角形塊體體積由47.7 m3減小至31.5 m3，降幅34%，梯形塊體體積由198.4 m3增加至214.3 m3，增幅8%。

圖11 塊體體積隨摩擦角變化Fig.11 Variation of block volume with friction angle

進一步地，根據式(11)計算不同摩擦角條件下側阻力沿深度方向的分布，結果如圖12 所示。可見：不同摩擦角條件下，側阻力沿深度方向整體上呈先增加后減小的對數形態分布，隨著摩擦角增大，兩側三角形滑動塊體的自穩能力增強，側阻力合力減小，側阻力分布曲線形心上移；其作用機制與黏聚力的類似。

圖12 不同摩擦角下側阻力沿深度分布Fig.12 Distribution of lateral resistance along depth with different friction angles

5.3 抗剪強度指標影響對比

修正模型中引入滑移角α，使得潛在滑移面偏轉，滑動塊體體積由α、β共同決定。隨著黏聚力和摩擦角增加，巖土體的整體自穩能力增強，進入極限狀態時，可滑動的三角形塊體體積減小，主動下沉的梯形塊體體積增加；側阻力合力減小，上覆塊體自重增大，二者協同作用使得豎向圍巖壓力增加。

黏聚力和摩擦角同為抗剪強度指標，對塊體體積、側阻力合力、豎向圍巖壓力的影響是一致的。工程實踐中，常將黏聚力和摩擦角等效為計算摩擦角，因此，運用本文所述修正計算模型時，也可采用計算摩擦角的等效方式計算淺埋隧道圍巖壓力。

6 結論

1) 在淺埋隧道圍巖壓力傳統計算模型中引入滑移角α，提出潛在滑移面偏轉的修正計算模型，使潛在滑移面、塊體體積可隨巖土體參數動態變化。通過水平條分法引入地表邊界條件，進而利用圖解法求得滑移角α、破裂角β、側阻力合力T和豎向圍巖壓力q。

2) 當圍巖等級較低時，修正模型的計算結果與傳統模型的相近；在假定完全相同情形下，修正模型即可蛻化為傳統模型。

3) 隨著黏聚力和摩擦角增加，巖土體整體自穩能力增加，滑動三角形塊體體積減小，側阻力合力降低；下沉梯形塊體體積增大，豎向圍巖壓力增加。