指向深度學習的問題式教學設計研究*

王晶晶 占劍峰 何春玲通訊作者

（1.黃岡師范學院數學與統計學院 湖北黃岡 438000；2.黃岡師范學院生物與農業資源學院 湖北黃岡 438000）

引言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，這使得“數學問題”在課程中處于更加核心的地位[1]。“問題式教學”是以“解決問題”為目標，以“提出問題”為引導，以“分析問題”為手段，幫助學生進行知識建構、問題解決的教學模式[2]。在教學過程中，教師應營造合適的問題情境，激發學生學習欲望的同時，引導他們進行自主思考和深入探究，從而達到分析問題、解決問題的目的[3]。

深度學習是指學習者以知識理解為基礎，以問題解決為目標，批判性地學習新的知識和思想,將它們與原有的認知結構相結合，并將已有的知識遷移到新的認知情境中，進而達到對知識的深度理解和問題解決的學習[4][5]。深度學習要求學生能夠從多個角度出發對知識進行全面的分析，強調創新能力和高階思維的發展，學生在理解學習內容的基礎上，帶有批判性的眼光和質疑的思維面對新知識，將有助于加深對新知識的理解和掌握。

在當前的數學學習中淺層學習現象普遍存在，究其原因，主要是教學內容的碎片化導致學習的遷移度降低，不重視知識的形成過程以及忽視學生研究思路和研究方法經驗的積累等方面。深度學習的前提是深度理解，而深度理解可以通過問題教學為手段。因此，教師在數學課堂中可以開展問題式教學，以“問題”為導向，創設一系列問題鏈推動課堂教學，引起學生深度思考，促進學生深度理解，從而實現深度學習。

一、教學內容分析

“誘導公式”是人教A版（2019）必修1第5章第3節的內容，本節課既是“任意角和弧度制”及“三角函數的概念”內容的延續，又是今后學習三角函數的圖像與性質的基礎，起到承前啟后的重要作用。教材以“探究”和“思考”為核心，引導學生通過自主探究發現角的終邊分別關于原點、坐標軸對稱時，角也分別關于原點、坐標軸對稱，進而得到點的坐標之間的關系，發現終邊分別關于原點、坐標軸對稱的角的三角函數值之間的關系.將誘導公式（數）與單位圓（形）緊密結合起來，形成利用單位圓的對稱性研究三角函數性質的探究路徑，進而發現和證明誘導公式，加深學生對三角函數的理解和掌握。

二、指向深度學習的問題式教學思路

對教材內容中的主要問題進行梳理后發現：要探究分別關于原點、坐標軸對稱的角的三角函數值之間的關系，要經歷四個研究過程：（1）建立角的終邊之間的關系；（2）建立角之間的關系；（3）建立角的坐標之間的關系；（4）得到三角函數的關系。

依據上述研究過程，本節課以單位圓為載體，以問題式教學為主要教學模式，構建“圓的對稱性→角的終邊的關系→角的關系→坐標的關系→三角函數的關系”的研究路徑。在問題情境環節提出誘導公式一的作用和反映圓的什么特性兩個問題，引導學生深入體會圓的性質在推導誘導公式中的重要作用；在公式二的探究中，依據四個探究過程設置四個核心問題，繼而將核心問題分解生成遞進式問題鏈，引導學生逐步探究后得到誘導公式二；在公式三、公式四的探究中，引導學生類比公式二的探究思路，展開對公式三、公式四的探究，通過四個探究問題依次推導出公式三、公式四。

三、指向深度學習的問題式教學設計與實施

根據上述研究路徑，將核心問題分解生成遞進式問題鏈，引導學生進行知識建構，促進學生對所學知識的深度理解，進而實現深度學習。

1.創設情境，提出問題，引發學生思考

導入：“一切立體圖形中最美的是球，一切平面圖形中最美的是圓”，這是數學家畢達哥拉斯的一句名言.前面我們就利用單位圓得到了三角函數的定義，并且由定義推導出了誘導公式一，大家還記得嗎？

問題1：誘導公式一有什么作用？

問題2：反映了圓的什么特性？

師：圓的性質還有對稱性，對稱性也是函數的重要性質.那我們可以借助單位圓的對稱性來研究三角函數的對稱性嗎？

設計意圖：三角函數的定義是學習誘導公式的基礎，以誘導公式一反映的周期性出發，引出利用單位圓的對稱性開展三角函數的研究，幫助學生規劃研究方案，打開研究思路。

2.實踐探索，分析問題，生成“問題鏈”

探究1：角α，π+α的三角函數值之間有什么關系？

（1）建立角α，β的終邊之間的關系

問題1：在平面直角坐標系中，圓有哪些對稱性？（關于原點、坐標軸對稱等）

追問：當單位圓關于原點對稱時，你能作出點p'，使其與點p關于原點對稱嗎？如圖1所示：

圖1

（2）建立角α，β之間的關系

問題2：角β與角α有什么關系？它們的三角函數值分別有什么關系？

教師引導：要研究角的三角函數值的關系，要先研究角的關系。那么你能用α表示一個以op’為終邊的角嗎？

預設：π+α.

追問1：角β和角π+α有什么關系？

預設：以op為終邊的角β都是與角π+α的終邊相同的角，即β=2kπ+（π+α）（k∈Z）。

教師引導：根據公式一，終邊相同的角的同一三角函數的值相等，因此可以先研究角π+α和角α的三角函數值之間關系。

（3）建立坐標之間的關系

問題3：設點p（x，y），根據點p’與點p關于原點對稱，你能得到點p’的坐標嗎？

追問：知道了點的坐標，應如何繼續探究角的三角函數值的關系？

學生根據三角函數的定義，嘗試寫出角α與角π+α的三角函數式：

（4）三角函數值之間的關系

問題4：仔細觀察角α與角π+α以及它們對應的三角函數值，你有什么特殊發現？

由此可得誘導公式二：

（5）梳理探究思路

問題5：回顧剛才的探究過程，你能說說我們是如何推導出誘導公式二的嗎？

設計意圖：探究過程以“問題”為主導，由淺入深，幫助學生在問題解決過程中感受邏輯思維和綜合思維的發展。通過將核心問題分解成遞進式問題鏈引導學生在實際的教學情境中全面、系統、深入地分析數學問題，為學生指明探索方向，促使學生對問題進行深度探索和剖析。在教學過程中注重誘導公式二的探究過程，引導學生建立起以單位圓為載體的誘導公式研究路徑，為后續類比上述研究過程展開誘導公式三、公式四的研究做鋪墊。

3.類比聯想，深化問題，實現知識遷移

師：單位圓又關于坐標軸對稱，根據公式二的探究思路，你能試著來研究一下三角函數關于坐標軸的對稱性嗎？

探究2：角α，-α的三角函數值之間有什么關系？

（1）建立角α，-α的終邊之間的關系

問題1：應該如何作出點p關于x軸對稱的點p'？

追問：角-α和角α的終邊有什么關系？

（2）建立角α和角-α之間的關系

問題2：角α和角-α的三角函數值有什么關系？

教師引導：要想知道兩個角的三角函數值的關系，要先知道角α和角-α的關系。

（3）建立坐標之間的關系

問題3：根據點p'是點p關x軸的對稱軸，你能得到點p'的坐標嗎？

追問：知道了坐標之間的關系，接下來該怎么做？

師生活動：教師引導學生利用三角函數的定義探究角α和角-α的三角函數之間的關系。

（4）三角函數值之間的關系

問題4：仔細觀察角α與角-α以及它們對應的三角函數值，你有什么特殊發現？

由此推導出誘導公式三：

sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=tanα

探究3：角π-α和角α的三角函數之間的關系。

師生活動：學生自主探究，并上臺展示研究成果。

問題5：如何作出點關于軸對稱的點p’？

問題6：角α和角π-α的三角函數值有什么關系？

問題7：根據點p’是關于軸的對稱軸，能得到點p'的坐標嗎？

問題8：仔細觀察角與角π-α以及它們對應的三角函數值，你有什么特殊發現？

由此推導出誘導公式四：

sin（π-α)=sinα

cos（π-α）=-cosα

tan（π-α）=-tanα

設計意圖：類比公式二的研究思路，引導學生自主開展公式三、四的探究，由教師引導變為學生自主探究，使學生進一步意識到數學的邏輯性和嚴謹性，深入體會研究思路和研究方法的一致性。

4.鞏固應用，解決問題，促進思維發展

例1：將下列三角函數轉化為銳角三角函數。

1問題1：你是怎么轉化的？誘導公式起到了什么作用？

例2：利用公式求下列三角函數值。

問題2：解決這些問題時，你分別選擇了哪個誘導公式？我們在解題時應該如何選擇恰當的誘導公式呢？

設計意圖：在例題教學中鍛煉學生利用誘導公式進行求值、轉化、化簡的同時，引導學生體會解題的一般思路，明確利用誘導公式解決問題的思路和方法，促進學生對誘導公式及其作用進行深度理解，實現學生的深度學習。

四、指向深度學習的問題式教學設計反思

1.創設問題情境，激發學生探究欲望

一個好的問題情境能夠引起學生深層次的思考和持續性的探究，并在學習過程中不斷產生新的問題，引起深度思考和深度理解，從而實現深度學習。在實際教學中，教師應結合學習內容的本質，充分考慮學生原有認知水平和知識經驗，創設恰當的情境，讓學生在探究過程中帶著問題思考。

2.設置核心問題，生成遞進式問題鏈

核心問題是課堂教學活動的“主心骨”，也是傳遞數學知識、實現深度學習的重要途徑，可以起到促進學生深入思考和探究的作用。教師在學生的最近發展區內，依據教學目標和重難點設計核心問題，再將核心問題分解生成遞進式問題鏈，引導學生從小問題出發，逐個分析、逐個突破，一步步分析問題，直至解決問題。

3.構建研究路徑，促進學生深度學習

問題式教學是以問題為核心，以問題解決為目標，引領學生感受知識的習得、建構的過程。在知識的建構過程中，通過問題式教學引導學生構建研究路徑，然后根據研究路徑和研究方法逐步展開探究，親身經歷知識的形成過程，從中感受問題解決的一般思路和方法，在滿足學生探究欲望的同時，為他們開拓更廣闊的深度思考空間，從而實現深度學習。