砂巖儲層油水相對滲透率曲線表征模型及其在數值模擬中的應用

呂棟梁，楊 健，林立明，張愷漓，陳燕虎

（1.西南石油大學石油與天然氣工程學院，成都 610500；2.物華能源科技有限責任公司，西安 710000；3.中國石油化工集團有限公司勝利油田分公司，山東東營 257001）

0 引言

相對滲透率是儲層主要滲流參數之一，油水相對滲透率曲線是做好油氣藏數值模擬和準確分析油氣藏開發動態工作的重要資料［1-2］。通常，不同儲層或同一儲層不同區域的巖性和物性都具有較大差別，表現出很強的非均質性［3-4］，導致基于儲層不同部位的巖樣測得的相滲曲線之間都有一定的差異，且相滲曲線特征與油藏含水率上升曲線形態存在較強相關性［5-6］。一般情況下，若要建立能表征油藏整體區域油水滲流特征的油水相對滲透率曲線，需要在得到大量室內巖心相滲曲線測試結果的基礎上對其中具有代表性的相滲曲線進行歸一化處理，但實際生產中往往難以獲得所需要的巖心。針對這一問題，學者們做了許多研究，如：王曙光等［7］以大慶油田實測非穩態油水相滲曲線為樣本，統計得到計算不同滲透率儲層油水相對滲透率曲線的方法；Roghanian 等［8］建立了利用線性回歸方法預測油水相滲曲線關鍵端點值的模型；王東琪等［9］基于Willhite 公式改進了水驅油藏相對滲透率曲線經驗公式；王守磊等［10］基于端點值的統計分析，建立了油水相滲曲線預測模型等。然而，這些模型缺乏對相滲曲線形態的解剖與回歸統計分析［11-13］，其準確性和實際應用價值尚有討論余地。

以勝利油田某砂巖油藏室內巖心相滲測試得到的相滲曲線為基礎，利用交替條件期望方法對孔隙度、氣測滲透率、平均孔喉半徑、滲透率變異系數等7 個影響相滲曲線的參數進行多元回歸，建立油水相對滲透率曲線端點表征模型和曲線形態表征模型；結合由歸一化方法得到的平均油水相對滲透率曲線，建立能體現砂巖儲層油水相對滲透率曲線的表征模型，并將其應用于不同開發方式、不同相滲曲線處理方法對最后產量影響的數值模擬研究，優選出最能符合不同油藏開發方式的相滲曲線處理方法，以期使模擬更加貼近油藏生產實際，指導油藏生產。

1 相對滲透率曲線表征模型

1.1 相滲曲線的歸一化

在勝利油田孤島油田新近系館陶組（Ng）砂巖油藏巖心室內相滲測試結果的基礎上，優選曲線形態較為正常（即符合相滲曲線特征）且巖心相關參數（如孔滲、壓汞等數據）相對齊全的具有代表性的126 條非穩態油水相對滲透率曲線［14］作為建模樣本，其對應的實驗基本參數及相滲特征參數如表1所列。從表中可以看出，本次建模所用巖心孔隙度和滲透率均較高，屬高孔、高滲儲層，物性較好。

表1 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏巖心相滲測試相關數據Table 1 Basic data of relative permeability curve of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

因各巖心的相滲曲線存在一定差異且僅代表自身的油水滲流特征，為了獲得油田的平均相滲曲線，并觀察整個油田油水滲流趨勢，需對具有代表性的曲線進行歸一化處理，進而對多條曲線平均。采用平均法對樣本相滲曲線進行歸一化處理，即對實驗測出的油水相滲點進行分段線性插值。該方法可以準確地反映巖樣的上凹形相滲形態及其他類型的相滲曲線形態［15］，具體步驟如下。

①選取具有代表性的n條相滲曲線，并對各曲線的相滲數據進行歸一化處理：

式中：，Sw，Swi和Sor分別為歸一化含水飽和度，含水飽和度，束縛水飽和度和殘余油飽和度；和分別為對應的油相和水相相對滲透率；Ko()和Kw()分別為對應的油相和水相滲透率，mD；Ko(Swi)為束縛水下油相滲透率，mD；Kw(Sor)為殘余油下水相滲透率，mD。

②將由0 到1 劃分為x等份，通過分段線性插值得到各相滲曲線同一所對應的和，進而獲得歸一化油水平均相對滲透率（圖1）。

圖1 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖巖心相滲數據歸一化處理后油相（）和水相（）平均相對滲透率曲線Fig.1 Average relative permeability curves of andafter normalization of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

1.2 相滲曲線端點表征模型

多元回歸方法是基于一個因變量和多個自變量建立各變量之間線性或非線性數學模型數量關系式，并利用樣本數據進行分析的數理統計方法。該方法可以體現原始樣本數據群體的主要特征，適用于室內巖心非穩態油水相滲數據的回歸統計分析以及油水相滲曲線表征模型的建立［15］。然而，由于儲層物性參數較多且分布存在不確性，利用傳統的多元回歸方法難以確定在實際生產中所采用的自變量和因變量之間的函數關系［16］。通過對比優選，采用一種不需要預設變量之間關系的函數形式，且最優變換僅依賴于數組的非參數多元非線性回歸方法，即交替條件期望法［17］，其回歸模型的一般形式為

式中：θ(y)為因變量期望函數；Φi(xi)為自變量期望函數；ε為回歸誤差。

影響油水相對滲透率曲線的因素較多，基于理論與統計分析，重點研究并對比了孔隙度φ，氣測滲透率Kair，平均孔喉半徑rp，滲透率變異系數C.V，均質系數α，特征結構參數C和孔喉比rpmax/rp7 個因素與相滲曲線端點參數之間的相關性［18-19］。選取相關性較好的影響因素作為自變量，相應的端點參數為因變量，進行相滲曲線端點表征模型的建立。這一方法可以省去大量的室內巖心相滲曲線測試實驗，僅通過獲取有關影響相滲曲線的因素即可獲得所需的相滲曲線。

1.2.1 束縛水飽和度模型

在回歸統計上述7 個影響相滲曲線因素的基礎上，可知氣測滲透率Kair，平均孔喉半徑rp均與束縛水飽和度Swi有較好的相關性，選取Kair和rp作為自變量，Swi作為因變量，利用交替條件期望法回歸自變量和因變量的關系，得到束縛水飽和度表征模型的定性關系式：

基于壓汞實驗、相滲測試結果和樣本數據，分別得到Swi與Kair，rp之間的關系（圖2，圖3）：

圖2 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏巖心束縛水飽和度Swi與氣測滲透率Kair的關系Fig.2 Relationship between irreducible water saturation and permeability measured with gas of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

圖3 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏束縛水飽和度Swi與平均孔喉半徑rp的關系Fig.3 Relationship between irreducible water saturation and average pore-throat radius of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

由式（7）和（8）可得綜合考慮Kair和rp的Swi表征模型：

對比原始數據和模型預測值（圖4）發現，原始數據點主要分布在絕對誤差為0 的45°直線附近，二者的絕對誤差小于0.08，模型預測結果較可靠。

圖4 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏束縛水飽和度Swi實際值與模型預測值交會圖Fig.4 Actual and predicted values of irreducible water saturation of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

1.2.2 殘余油飽和度模型

對油水相對滲透率曲線基礎數據進行統計分析發現，殘余油飽和度Sor與滲透率變異系數C.V，特征結構參數C均有較好的統計關系。選取C.V和C作為自變量，Sor作為因變量，利用交替條件期望法進行回歸（圖5，圖6），可得到綜合C.V和C的Sor表征模型：

圖5 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏殘余油飽和度Sor與滲透率變異系數C.V 的關系Fig.5 Relationship between residual oil saturation and permeability variation coefficient of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

圖6 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏殘余油飽和度Sor與特征結構參數C 的關系Fig.6 Relationship between residual oil saturation and significant parameters of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

經理論和實際對比檢驗（圖7），實際值與預測值間絕對誤差小于0.06，表明殘余油飽和度表征模型可靠。

圖7 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏殘余油飽和度Sor實際值與模型預測值交會圖Fig.7 Actual and predicted values of residual oil saturation of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

1.2.3 束縛水下油相相對滲透率模型

對所用建模相滲曲線的基礎數據進行統計分析，發現束縛水飽和度下油相相對滲透率Kro（Swi）和氣測滲透率Kair具有較好的相關性。選取Kair作為自變量，Kro（Swi）作為因變量，基于壓汞實驗及相滲測試結果數據（圖8），得到Kro（Swi）的表征模型：

圖8 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏束縛水飽和度下油相相對滲透率Kro（Swi）與氣測滲透率Kair的關系Fig.8 Relationship between relative permeability of oil phase in irreducible water and permeability measured with gas of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

將模型預測的結果與實際值進行對比（圖9），絕對誤差小于0.10，表明模型結果較可靠。

圖9 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏束縛水飽和度下油相相對滲透率Kro（Swi）實際值與模型預測值交會圖Fig.9 Actual and predicted values of relative permeability of oil phase in irreducible water of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

1.2.4 殘余油下水相相對滲透率模型

殘余油下水相相對滲透率Krw（Sor）與滲透率變異系數C.V、特征結構參數C均具有好的相關性。選取C.V和C作為自變量，Krw（Sor）作為因變量，分別回歸得到Krw（Sor）與C.V和C之間的關系（圖10，圖11），進而得到Krw（Sor）的表征模型：

圖10 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏殘余油下水相相對滲透率Krw（Sor）與滲透率變異系數C.V 的關系Fig.10 Relationship between relative permeability of water phase under residual oil and permeability variation coefficient of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

圖11 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏殘余油下水相相對滲透率Krw（Sor）與特征結構參數C 的關系Fig.11 Relationship between relative permeability of water phase under residual oil and significant parameters of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

將模型預測的結果與實際值進行對比（圖12），實際值與模型預測值間絕對誤差大多小于0.10，表明模型計算結果較可靠。

圖12 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏殘余油下水相相對滲透率Krw（Sor）實際值與模型預測值交會圖Fig.12 Actual and predicted values of relative permeability of water phase under residual oil of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

1.3 相滲曲線形態表征模型

采用霍納普（Honarpour，1982）經驗公式［20］中的表征油相相滲曲線形態的指數m和表征水相相滲曲線形態的指數n來表征相滲曲線的形態：

基于壓汞實驗及相滲測試結果數據，對式（15）進行二元線性回歸擬合處理，即可得到m和n的值。

1.3.1 油相相滲曲線形態表征模型

預回歸發現均質系數α和油相相滲曲線形態指數m具有好的相關性，以α作為自變量，m作為因變量，利用交替條件期望法回歸自變量和因變量間的關系（圖13），得到m的表征模型：

圖13 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏油相相滲曲線形態指數m 與均質系數α 的關系Fig.13 Relationship between morphology of oil phase in relative permeability curve and uniformity coefficient of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

將模型預測的結果與實際值進行對比（圖14），實際值與預測值間絕對誤差小于1.0，說明模型預測數據可靠。

圖14 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏油相相滲曲線形態指數m 實際值與模型預測值交會圖Fig.14 Actual and predicted values of morphology of oil phase in relative permeability curve of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

1.3.2 水相相滲曲線形態表征模型

對所用建模相滲曲線的基礎數據進行統計分析，發現水相相滲曲線形態指數n與C.V和孔喉比rpmax/rp間相關性較明顯，以C.V和rpmax/rp作為自變量，n作為因變量，回歸圖15 和圖16 的數據，得到n的表征模型：

圖15 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏水相相滲曲線形態指數n 與滲透率變異系數C.V 的關系Fig.15 Relationship between morphology ofwater phase in relative permeability curve and permeability variation coefficient of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

圖16 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏水相相滲曲線形態指數n 與孔喉比rpmax/rp的關系Fig.16 Relationship between morphology of water phase in relative permeability curve and pore-throat ratio of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

將模型預測的結果與實際值進行對比（圖17），絕對誤差絕大部分小于1.7，表明模型預測結果可靠。

圖17 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏水相相滲曲線形態指數n 實際值與模型預測值交會圖Fig.17 Actual and predicted values of morphology of water phase in relative permeability curve of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

2 相對滲透率曲線表征模型建立步驟

將通過交替條件期望法回歸反演建立的油水相對滲透率曲線端點表征模型式（9）—式（12）和油水相對滲透率曲線形態表征模型式（16）—（17），與經歸一化處理得到的油藏平均相對滲透率曲線相結合，便可得到能反映砂巖儲層油水滲流特征的油水相對滲透率曲線表征模型。模型建立的基本步驟（圖18）如下：

圖18 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖儲層油水相對滲透率曲線表征模型建立流程Fig.18 Steps for establishing oil-water relative permeability curve characterization model of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

（1）選取室內巖心相滲測試得到的具有代表性的油水相滲測試結果，利用式（1）—（3）得到油藏歸一化平均相對滲透率曲線。

（2）基于研究區域獲得的氣測滲透率Kair等與油水相對滲透率曲線有關的參數，分別計算出曲線端點、形態。

（3）基于步驟（1）求得的歸一化含水飽和度，求其對應的含水飽和度Sw

（4）將得到的所有參數數據代入式（13）和（14）中，得到對應含水飽和度下的油相相對滲透率Kro和水相相對滲透率Krw。

3 數值模擬中相滲曲線的選擇及應用

數值模擬中的網格通常會進行粗化處理，原本需要采用多條相滲曲線來描述水驅油特征，僅用1條相滲曲線代替，這樣粗化處理后一般會掩蓋儲層的非均質特征。因此，優選最能描述油藏特征的相滲曲線至關重要。

基于勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏中部分井相滲和壓汞數據，在目的層位中優選出正韻律、反韻律以及復合韻律層段（圖19），并結合實驗及相滲表征模型的計算結果，建立適用于該區中—高滲砂巖油藏，反映不同地層韻律特征的機理模型。

圖19 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏不同層段滲透率分布特征Fig.19 Distribution of permeability rhythm of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

3.1 正韻律層段

3.1.1 衰竭式開發

建立2 個模型，模型一是基于正韻律分布特征，縱向為10 層（網格數為60×60×10，網格為10 m×10 m×1 m）的機理模型；模型二的面積和厚度與模型一相同，但縱向為單層（網格數為60×60×1，網格為10 m×10 m×10 m）的機理模型（圖20）。

圖20 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏單層模型和多層非均質模型孔隙度（a）、滲透率（b）和相滲分區（c）設定Fig.20 Porosity（a），permeability（b）and relative permeability zone（c）of numerical reservoir model of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

模型一根據所選正韻律層段的地層參數，根據砂巖儲層油水相對滲透率曲線表征模型得出每一層的相滲曲線（圖21a）；模型二將模型一的各個地層參數取平均值，代入表征模型中求得一條相滲曲線，然后根據式（1）—（3）對模型一中的各曲線進行歸一化，得到一條新的曲線（表2，圖21b）。

表2 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏根據相滲表征模型得出的地層參數Table 2 Formation parameters obtained from relative permeability characterization model of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

圖21 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏2 種模型油相（Kro）、水相（Krw）相滲曲線處理方法Fig.21 Relative permeability curves of oil phase and water phase for each model of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

采用2 種模型模擬油藏衰竭式開發，從模擬結果（圖22）可知：在正韻律地層衰竭式開發中，歸一化處理相滲的單層模型和多層非均質模型的生產動態特征相似；通過求取地層參數平均值計算相滲的單層模型模擬結果與多層非均質模型差異較大，說明對于非均質的儲層，將相滲曲線歸一化處理更合適。

圖22 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏2 種模型模擬正韻律層段衰竭式開發結果對比Fig.22 Numerical reservoir simulation results of two models by using depletion development strategy for positive rhythm of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

3.1.2 注水開發

油水相滲通常是用于描述水對油藏開發動態的影響，在衰竭式開發中水的流動性差，對水相相滲的準確性要求較低，而在非均質性油藏中，水的影響更明顯，實際油藏生產中通常采用注水開發。在衰竭式開發模型的基礎上，添加4 口注水井和1 口生產井數據，采用注采平衡方式控制生產（圖23）。

模型一的相滲處理方法與衰竭式開發相同，而模型二的相滲處理在衰竭式開發基礎上，另增加了模型一中滲透率最低、居中和最高（即低滲、中滲和高滲層）的3 條相滲曲線，因為通過求取地層參數平均值計算相滲的單層模型模擬結果較差，改用推導模型計算，即采用5 種相滲模式進行數值模擬（表3）。

表3 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏根據相滲表征模型計算低滲、中滲和高滲層的相滲參數Table 3 Relative permeability parameters of low，medium and high permeability layers according to relative permeability characterization model of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

根據模擬結果（圖24）：在正韻律地層注水開發中，單層模型與多層非均質模型的模擬結果差異不大，但產水的動態差異大，分析認為水的黏度小，相對產量大，說明非均質性會強化水對生產動態的影響；采用高滲層相滲的單層模型與多層非均質模型模擬的生產動態更接近，分析認為高滲層對產量，主要是產水量的貢獻大。

圖24 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏2 種模型模擬正韻律層段注水開發結果對比Fig.24 Numerical reservoir simulation results of two models by using waterflood development strategy for positive rhythm of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

3.2 反韻律層段

反韻律層段模型的建立及其相滲處理方法均與正韻律層段相同，僅改變地層滲透率韻律分布。從衰竭式開發模擬結果（圖25）可知：歸一化處理后的相滲單層模型與多層非均質模型模擬的生產動態特征相似，產油動態基本一致，產水動態趨勢一致；通過求取地層參數平均值計算相滲的單層模型模擬結果與多層非均質模型差異較大。

圖25 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖2 種模型模擬油藏反韻律層段衰竭式開發結果對比Fig.25 Numerical reservoir simulation results of two models by using depletion development strategy for reverse rhythm of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

反韻律層段注水開發模擬結果（圖26）與正韻律層段注水開發的模擬結果一致：采用不同相滲處理方法的單層模型與多層非均質模型的計算結果差異不太大，但產水的動態差異明顯；采用高滲層相滲的單層模型與多層非均質模型模擬的生產動態更接近。

圖26 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏2 種模型模擬反韻律層段注水開發結果對比Fig.26 Numerical reservoir simulation results of two models by using waterflood development strategy for reverse rhythm of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

3.3 復合韻律層段

復合韻律模型及其相滲處理方法與正、反韻律模型一致，但在模型二中增加了一個介于中滲層和高滲層之間的相滲曲線以更加精細地進行模擬分析（表4）。

表4 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖儲層根據相滲表征模型計算中—高滲層相滲參數Table 4 Relative permeability parameters of medium-high permeability layers according to relative permeability characterization model of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

由模擬結果（圖27）可知：在復合韻律地層衰竭式開發中，歸一化處理相滲的單層模型與多層非均質模型模擬的生產動態特征相似，產油、產水動態趨勢均一致；通過求取地層參數平均值計算相滲參數的單層模型模擬結果與多層非均質模型模擬的產油動態基本一致，但產水的動態差異較大，說明對于非均質的儲層，將相滲曲線歸一化處理更合適。

由復合韻律地層注水開發模擬結果（圖28）可知：采用不同相滲處理的單層模型與多層非均質模型的計算結果在生產早期有一定的差異，而在中后期差異不大；除采用低滲層相滲外，采用中滲層、高滲層的相滲的單層模型和多層非均質模型模擬的產水動態比較一致，但非均質多層模型的產水量更高；中滲層和高滲層的產油量和產水量貢獻均相差不大，采用中—高滲層相滲的單層模型與復合韻律多層模型模擬的生產動態基本一致。

圖28 勝利油田孤島油田新近系館陶組砂巖油藏2 種模型模擬復合韻律層段注水開發結果對比Fig.28 Numerical reservoir simulation results of two models by using waterflood development strategy for complex rhythm of sandstone reservoir of Neogene Guantao Formation in Gudao oilfield，Shengli Oilfield

4 結論

（1）利用交替條件期望方法對實測得到的相滲曲線端點特征和曲線形態進行解剖與回歸統計，建立的油水相滲曲線端點表征模型和曲線形態表征模型，模型精度較高，油水相滲曲線端點表征模型的絕對誤差都小于0.1，形態表征模型的絕對誤差小于1.7。

（2）在砂巖油藏的衰竭式開發中，生產動態主要受油相相滲的影響，當非均質性認識不是很清楚時，采用歸一化方法處理的相滲曲線能夠在一定程度上消除非均質性帶來的影響。

（3）在砂巖油藏注水開發模擬中，由于油水性質的差異，通常水對總產量的貢獻更大，水相相滲對整個生產動態影響大，非均質性的存在會加劇其影響；采用對產油量貢獻最大的儲層（可根據地層滲透率和有效厚度乘積K·h的大小來確定）的相滲曲線，模擬生產動態更能接近實際生產動態。