關于2-扭自由素環上的右(θ,θ)-導子

◎武博匯 張 華

(1.吉林師范大學數學學院，吉林 長春 130000 2.四平市第十四中學校，吉林 四平 136000)

環論是結構數學的重要分支,也是代數學中最為深刻的一部分.它是代數幾何和代數數論的基礎,具有十分廣泛且豐富的內容.

環上導子則是微分的代數形式的推廣,是近年來環論研究的熱點課題.導子即環R到自身的可加映射d,對于任意的x,y∈R,都有d(xy)=d(x)y+xd(y).

Posner證明了帶有非零中心化導子的素環必為交換環.這一結論揭示了在素環或其特殊子集上具有特殊性質的導子與環結構的關系,鼓勵了許多學者深入討論在多個方向上對Posner定理加以推廣.

Bell和Kappe證明了:若素環R上的導子d在其非零右理想上成為同態或反同態,則d=0.在1999年,Ashraf將Bell和Kappe的結果推廣到(θ,φ)-導子上.

隨著導子理論的不斷發展,大量推廣和衍生的導子涌現出來.把前人關于導子的結論推廣到這些衍生導子上是非常有意義的.Nadeem的結論推廣到素環的非零理想和廣義導子上,研究了素環非零理想上廣義導子成為同態或反同態的性質.本文研究了在2-扭自由素環非零理想上右(θ,θ)-導子d作為同態或反同態且d≠0，則R為可交換的.

設R為結合環,對任意的a,b∈R，若由aRb=0,必有a=0或b=0,則稱R為素環.

設R為結合環,若由aRa=0,a∈R必有a=0,則稱R為半素環.

環R是素環(或半素環)，滿足若aRb=0，則a=0或b=0(或若aRa=0，則a=0).設環R是2-扭自由素環，任意取a∈R,若2a=0，則必有a=0.

對任意的x,y,z∈R,有：

[x,y]=xy-yx，

[xy,z]=x[y,z]+[x,z]y，

xy=xy+yx，

x(yz)=(xy)z-y[x,z]=y(xz)+[x,y]z，

(xy)z=x(yz)-[x,z]y=(xz)y+x[y,z]，

[[x,y],z]=[[x,z],y]+[x,[y,z]]，

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.

設R是環,I是R的可加子群,若對任意r∈R,a∈I均有ra∈I,ar∈I，則稱I為R的理想.

若J是環R的可加子群,滿足jr∈U,j∈J,r∈R,則稱可加子群J是環R的Jordan理想.若U是環R的可加子群,滿足[u,r]∈U,u∈U,r∈R，則稱可加子群U是環R的Lie理想.

設d是R上的加性映射，若對任意的x,y∈R都有d(xy)=d(x)y+xd(y)，則稱加性映射d是環R上的導子.

設R是結合環,g:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同構，若對任意的x,y∈R,滿足d(xy)=d(x)θ(y)+φ(x)d(y),則稱g為R上的(θ,φ)-導子.

設F是環R上的可加映射且存在導子d，若對?x,y∈R,滿足F(xy)=F(x)y+xd(y),則稱可加映射F為R上的廣義導子，d為R上的伴隨導子.

設F是環R的加性映射，且存在(θ,φ)-導子d,若滿足任意的x,y∈R，有F(xy)=F(x)θ(y)+φ(x)d(y)，則稱F為R上的廣義(θ,φ)-導子,d是F的伴隨(θ,φ)-導子.

設R是環，若映射θ:R→R滿足:

(1)θ(x)∈R,x∈R,

(2)θ(x+y)=θ(x)+θ(y),x,y∈R，

(3)θ(xy)=θ(x)θ(y),x,y∈R,

則稱θ為R上的自同構.

設環R，θ是R上自同態，d是R→R上的可加映射，若滿足d(xy)=θ(x)d(y)+θ(y)d(x),x,y∈I，則稱d是R上的左(θ,θ)-導子.

根據左(θ,θ)-導子的定義，定義出右(θ,θ)-導子,即在相同條件下，?x,y∈R，滿足d(xy)=d(x)θ(y)+d(y)θ(x).本文主要把Nadeem的相關結果推廣到右(θ,θ)-導子上.

引理1：若一個素環R有一個非零理想是可交換的，則R是可交換的.

引理2:設R是素環,J是R的非零Jordan理想，若a∈R且aJ=0或Ja=0，則a=0.

引理3:設R是特征不為2的素環，J是R的非零Jordan理想,若aJb=0，則a=0或b=0.

定理1:設R是特征不為2的素環，I為R的非零理想，θ是R上的自同構,d是R上的右(θ,θ)-導子,若滿足d(I)=0，則d=0.

證明由已知，可得:

d(I)=0.

(1.1)

即

d(ar)=0,a∈I,r∈R.

(1.2)

即

0=d(a)θ(r)+d(r)θ(a),a∈I,r∈R.

(1.3)

由(1.1)和(1.3)，可得:

d(a)θ(r)=0,a∈I,r∈R.

(1.4)

用θ-1作用到兩端,可得:

θ-1a(d(r))=0,a∈I,r∈R.

(1.5)

將(1.5)左乘θ-1(d(r))，可得:

θ-1(d(r))θ-1a(d(r))=0,a∈I,r∈R.

(1.6)

即

θ-1(d(r))θ-1I(d(r))=0,r∈R.

(1.7)

θ-1(d(r))=0,r∈R.

(1.8)

用θ作用(1.8)兩端，可得:

d(r)=0,r∈R.

即

d=0.

定理2：設R是特征不為2的素環，I是R的非零理想，θ是R上的自同構，d是R上的右(θ,θ)-導子.

(ⅰ)若d在I上作為同態且d≠0,則R為可交換的.

(ⅱ)若d在I上作為反同態且d≠0,則R為可交換的.

證明(ⅰ)由d在I上滿足同態，可得：

d(u)d(v)=d(uv)

=d(u)θ(v)+d(v)θ(u),?u，v∈I.

(1.9)

在(1.9)中用uv換u，并結合(1.9)可得：

d(uv)d(v)=d(uv)θ(v)+d(v)θ(uv),

(1.10)

d(uv)d(v)=d(u)θ(v)d(v)+d(v)θ(u)d(v)，

(1.11)

d(uv)d(v)=d(v)d(v)θ(u)，

(1.12)

即

教師指導學生閱讀教科書4項“問題探討”的內容，并啟發學生思考：遺傳物質可能具有什么特點？教師隨機提問幾名學生，并在學生回答的過程中引導其完善答案：遺傳物質應具有信息性、傳遞性、復制性和變異性等特點。

θ(u)[d(v)-θ(v)]d(v)=0，?u，v∈I.

(1.13)

用θ-1作用到(1.13)兩端可得:

uθ-1((d(v)-θ(v))d(v))=0，?u,v∈I.

(1.14)

即

Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0，?v∈I.

(1.15)

將(1.15)左乘θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))，可得：

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))

=0,?v∈I.

(1.16)

由引理得

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0.

(1.17)

用θ作用到(1.17)兩端，可得：

[d(v)-θ(v)]d(v)=0，?v∈I.

(1.18)

即

d(v)d(v)-θ(v)d(v)=0，?v∈I.

(1.19)

亦即

θ(v)d(v)=0，?v∈I.

(1.20)

(d(v)d(v)=d(vv)=2θ(v)d(v))

Iθ-1(d(I))=0.

(1.21)

由R是素環可得:

d(I)=0.

(1.22)

易得

d(wr)=θ(w)d(r)+θ(r)d(w)

=θ(w)d(r)

=0，?w∈I，?r∈R.

(1.23)

故得到:

Iθ-1d(r)=0，?r∈R.

(1.24)

由R是特征不為2的素環得

d(r)=0.

故d=0.

因為d≠0，所以矛盾.

綜上,R是可交換的.

(ⅱ)由d在I上滿足反同態，有

d(v)d(u)

=d(uv)

=d(u)θ(v)+d(v)θ(u)

=d(v)θ(u)+d(u)θ(v)

=d(vu)

=d(u)d(v),?u,v∈I.

(1.25)

由d在I上滿足同態，有

d(u)d(v)=d(u,v)

=d(u)θ(v)+d(v)θ(u),?u，v∈I

(1.26)

在(1.26)中用uv換u，可得：

d(uv)d(v)=d(uv)θ(v)+d(v)θ(uv)，

(1.27)

d(uv)d(v)=d(u)θ(v)d(v)+d(v)θ(u)d(v)，

(1.28)

θ(uv)d(v)=d(v)d(v)θ(u)，

(1.29)

θ(u)[d(v)-θ(v)]d(v)=0，?u，v∈I.

(1.30)

用θ-1作用到兩端可得:

uθ-1((d(v)-θ(v))d(v))=0，?u,v∈I.

(1.31)

即

Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0，?v∈I.

(1.32)

將(1.32)左乘θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))，可得：

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))

=0,?v∈I.

(1.33)

由引理得：

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0.

(1.34)

用θ作用到(1.34)兩端，可得：

[d(v)-θ(v)]d(v)=0，?v∈I.

(1.35)

即

d(v)d(v)-θ(v)d(v)=0，?v∈I.

(1.36)

亦即

θ(v)d(v)=0，?v∈I.

(1.37)

用θ-1作用到(1.37)兩端可得:

Iθ-1(d(I))=0.

(1.38)

由R是素環可得：

d(I)=0.

(1.39)

易得

d(wr)=θ(w)d(r)+θ(r)d(w)

=θ(w)d(r)

=0，?w∈I，?r∈R.

(1.40)

又可得：

Iθ-1d(r)=0，?r∈R.

(1.41)

由R是特征不為2的素環得

d(r)=0,?r∈R.

故d=0.

因為d≠0，所以矛盾.

綜上,R是可交換的.

結語：本文主要研究了2-扭自由素環上非零理想上右(θ,θ)-導子d作為同態或反同態且d≠0，則R為可交換的.把Nadeem的相關結果推廣到右(θ,θ)-導子上，希望對以后研究右(θ,θ)-導子上關于同態和反同態的問題有幫助.