基于教材解讀 促進思想轉化
——例談“排列組合”問題中的數學思想滲透

廣西都安縣安陽鎮第二中心小學（530700）韋玉甜

“數學廣角”是人教版教材特別設置的課程，這類課程看似與數學知識關聯不大、專業性不強，但能將一些平時難以顧及和滲透的數學思想方法系統集中地展示出來，學生通過一些解決問題的方法，感受到數學思想方法的魅力，體會到數學思想方法的實用性。

“排列組合”內容也被編入“數學廣角”，分設在二、三年級教材中，在二年級的部分在新舊教材中都編排在上冊，在三年級的部分在舊版教材中編排在上冊，在新版教材中則改到下冊。仔細對比新舊兩版教材，筆者發現知識的結構層次和呈現方式都有了大幅調整，主要體現在例題和練習題上。那么調整了哪些？哪些維持原樣？調整的原因是什么？教師該如何調整教學思路應對這種變化？下面是筆者的一些思考。

一、新舊教材的差異

舊版教材給二年級的“排列組合”內容編寫了3道例題，例1是初級的排列，例2是基礎的推理，例3是常規的推理。而新版教材縮減成2道例題。例1要求研究“數清從1、2、3中任選兩個組成兩位數的個數，不準重復計算”，這是一個基礎的排列問題。例2則在第一題的基礎上進一步加大思維難度，讓學生從5、7、9中任選2個數字，與例1不同的是要求出選出的兩數之和，按照和的種類來統計組合數，兩數之和與兩數的字碼順序無關，屬于典型的組合問題。三年級的這部分內容有3道例題，但是新舊教材中例題的次序卻做了調整，舊版教材是“組合問題—排列問題—組合問題”，新版教材改成“排列問題—組合問題—組合問題”，這樣調整是為了體現排列組合的邏輯性和系統性。

舊版教材的例1，先出示一張拼擺字卡的插圖，提問“用1、2能擺成幾個兩位數”，然后升級到3個數字，問“用1、2、3能擺出幾個兩位數呢”，例題雖然充分考慮到了讓學生動手操作，也讓學生交流展示，卻淡化了邏輯思維過程，沒有將有序排列放到顯眼位置。而新版教材則有所不同，例1直接要求用1、2、3三張字卡組成兩位數，每張字卡只能用一次，意味著兩位數的十位數字和個位數字不能相同，求出組成兩位數的個數。考慮到學生已具備豐富的有序思考經驗，例題增強了思維含量，三選二拼擺數字比拼擺兩個數字更具挑戰性，更能訓練思維活躍度。

根據例題要求，學生不但知道要選2個數字，還知道數字不能重復，避免了誤解，使得思維集中在排列問題上。教材展示了兩名學生的探究過程：擺數卡雜亂查找；借助數位表，按先后順序逐一挑選數字，交換順序，有序排查。還展示了學生組內交流展示的情形，“隨機拼擺有點混亂”“我按表格填數，井井有條”等討論反映了學生對自己探究過程的經驗總結。學生通過對比兩種方法的優劣，自行歸納出有序思考省時省力。最后的提示語“怎樣做才能不重不漏”，將對有序思考的關注和討論推向高峰。全班學生聚焦這個問題，再次回顧整個探究過程，切身體會到有序思考的優越性。另外，在全班討論的氛圍中，學生會發現有序思考不是一種個人習慣，而是一種共識。

相比舊版教材，新版教材更注重實效，以解決問題為導向，先解釋題意，明確目標，讓學生明白拼擺數字的要求，除了訓練對調位置進行有序思考，還釋放了更多自由發揮的空間，允許創新方法。如此設計，不僅給教師的教學指明了方向，還讓學生懂得不斷調整和摸索方法，通過種種對比和嘗試，逐步找到有序思考的最佳途徑。舊版教材二年級部分的例1后有兩道習題，一道是組合問題，一道是分類列舉問題。學生由例1的排列問題直接躍升到分類問題，難度激增，容易找不到思路。而新版教材將排列和組合分設兩題，循序漸進，形成鮮明對比又緊密關聯，并每道例題之后都配備了鞏固習題，讓學生先模仿再提升，慢慢吸收消化。

二、聯系前后，嚴密對接

教師只有了解課程背景，理解編者用心，對例題的編排用意心知肚明，明確其目標和重難點，才能精準施策，做到穩步推進、不疾不徐、不偏不倚，實現前后知識的完美對接。

二年級上冊的“排列組合”與一年級下冊“綜合與實踐”中的“擺一擺，想一想”有著很深的淵源。“擺一擺，想一想”讓學生通過在數位表上擺圓片，研究數位與數值的關系，并通過探究圓片數量與擺出數字的個數的關系，學會應用有序排列的規律解決問題，在自主探究中感知有序思考的高效性。整個過程中，學生利用數位表，先是拼擺操作，后是邏輯推導，做到了利用有序思考從直觀操作中抽象出形象思維，從2個圓片的拼擺入手，然后加大難度變成3個、4個，再到憑借前期操作積累的經驗和總結的理論推導出用9個、10個、11個圓片擺出的數字的個數。學生在整個思維升級的過程中正視有序思考的巨大潛能。

有了一年級的預熱，學生到了二年級再學排列，重提有序思考就師出有名。舊版教材的例題順序雜亂無序，毫無章法，新版教材調整后則條理清晰，線索明朗。新版教材例1是“用0、1、3、5能組成多少個沒有重復數字的兩位數？”，雖說題意、題型沒變，但是難度增加不少，由3選2變成4選2，學生原有的有序思考經驗被調用，而且無論是用分類計數法還是分步計數法，首位都不能是0，這就涉及排列中的排除特殊情況，需要學生隨機應變、靈活處理，生搬硬套不再適用，這就間接刺激和考查學生掌握知識的情況，凸顯“排列組合”問題的復雜性和多變性。例2是服裝搭配題，例3是體育中的數學，兩道例題都要求用連線來列舉，本質是組合問題。這兩道題要求明顯提高，學生不但要連線，還要學會用圖標、符號表示和記錄自己的思路。

用符號記錄很受學生歡迎，因為這種介于直觀操作和抽象思維間的思維方式，兼具直觀和形象的優勢。學生通過畫圖、拼圖、連圖等形式，不僅能迅速篩選出所有組合情況，而且能深切體會到計數時，如何系統、有序、高效地思考問題。更可貴的是，畫圖、擺圖、連線、觀察等操作性強的推導法，在數學中具有很強的通用性。

兩個年級的“排列組合”內容的教學目標一致又各有側重。二年級側重于有序枚舉，三年級則側重于用符號表示排列過程，“排列組合”的邏輯和操作規則逐漸顯現。

三、綜觀全局，變通處理

“排列組合”問題與生活息息相關，如抽獎號碼的設置、銀行卡密碼的設置等。但它又是數學中一個難點，沒有相對固定的萬能公式，而且各種變式變化無窮，因此，數學思想方法就顯得特別重要，因為這是唯一以不變應萬變的法寶。日常教學中，教師要做到以下三點。

1.始終貫徹有序思考

有序思考不僅表現在例題教學中，要讓學生做題時也不忘有序思考。如搭配問題“讓學生用紅、黃、藍三種顏色，給兩個雞蛋涂色，一共有幾種方案”，它與數字排列組數的例題如出一轍，教師需要引導學生運用數學思想方法去研究，可以選擇從三種顏色中任取兩種來排序再涂色，還可以選擇其中的一個雞蛋來涂色，可以從紅、黃、藍中選擇。同理，另一個雞蛋也可用同樣的方法去研究，實現有序思考，助推學習進步。

接下來是給三個雞蛋涂三種顏色，這就需要應用“定位”和“換位”的單邊有序思考。由此案例教學實踐和學生學習情況來看，滲透“排列組合”數學思想方法是非常值得推崇之事。因為小學生學習和研究“排列組合”是有相應基礎的，也有對應的思維水平，只要教師能夠引導到位，就能讓有序思考成為學生研究問題的經驗、方法和思維模型。隨著學生對此方法的建構變得愈發清晰，他們就能用好經驗、用活數學思想方法去探究問題，實現問題突破，也能讓數學學習真實發生。

2.讓學生學會分類討論

分類也應用在組合問題中，它是按照一定標準先分類，不同的類別里又存在許多并列的具體方法，然后將所有方法數相加。如解答練習題“有1角、5角和1元硬幣各一枚，可以組成幾種不同的幣值？”，就需要分類計數，先按硬幣數分成1枚、2枚、3枚三大類，如果問的是任選2枚或3枚硬幣，則是組合問題。按照這種分類法，可組成7種幣值：選1枚硬幣，存在1角、5角、1元三種幣值；選2枚硬幣，存在6角、1元1角、1元5角三種幣值；選3枚硬幣，僅存在1元6角一種幣值。

再如服裝的搭配。可“先上后下”，先選定1件上衣，然后逐一和下裝搭配，每選1件上衣就有3種情況，2件上衣就有6種；也可“先下后上”，先選定1件下裝，然后逐一和上衣搭配，每件下裝有2種情況，3件下裝一共就有6種情況。由此可見，分類討論思想在“排列組合”問題中發揮著重要作用。

3.自主選擇表達方式

“排列組合”問題嚴格來說是高二的重頭戲，早早出現在小學教材，并不是向小學生灌輸什么深奧概念。從教材的編寫內容看，“排列組合”所有的例題都采用連線、列舉、畫圖等多元化策略來研究，關鍵點是引導學生初步掌握有序思考、分步計算的數學思想方法。在了解多種研究方法后，學生能夠思路清晰地分析問題，并準確地描述，能夠由直觀到抽象地表達計算結果，完全不用套“排列組合”的公式。

以“握手”游戲教學為例，這是生活中最為常見的現象，但是小學生對其中的數學關系的理解不是很理性。因此，教師在實際教學中就需要從兒童實際出發，可以采取現場演示法，幫助學生了解握手游戲中的一些規則，感知其中的數學規律。當1號學生分別與2號、3號、4號學生握手之后，學生能夠清醒地感知到4個人握手，1號學生握手3次后，后面的人還需要握手的次數會減少，2號學生再握手2次后，后面的人還需要握手的次數又會減少，以此類推。這樣，學生就很容易悟出排列組合思想方法的應用，形成研究該類問題的初步數學思維模型，為提高學習質量奠定基礎，為思維發展積蓄力量。

四、細化訓練，加速建構

筆者以為，在小學數學教學中談起“排列組合”的應用，看似不切實際，但也是有跡可循的。在此，筆者再度結合小學教材中的一些例題和練習，談談怎樣引導學生正確運用這一方法去研究問題，讓小學生的數學思維變得更為清晰可見，讓“排列組合”中的數學思想方法的積累變得更加扎實。

1.定位與有序結合，助力研究深入

以“數長方形個數”教學為例，在學習“長方形認識”之后，教材中就有這類的問題。要幫助學生較好地研究問題、解決問題，教師就需要在關注“排列組合”知識的同時，引導學生采取有序思考方法，以豐富學生對“排列組合”中的數學思想方法的感知。

比如，引導有序分析，可以從3×2的長方形格開始，讓學生用有序思考方法，從中悟出：先數1個長方形構成的長方形，可以數出6個長方形；再數2個長方形、3個長方形等構成的大長方形。綜合起來，這個圖形中就一共包含著18個長方形。以此類推，學生會從更多的實例中探尋到問題內在的數學規律以及研究方法。

2.換位與周密分析，助力認知建構

以“多邊形對角線”教學為例，教師就需要從“排列組合”這一思想出發，采取換位思考的策略，引領學生更為縝密地思考和分析，從中探尋到相應現象內在規律，為深入探究提供思維支撐和方法保障，從而實現學習研究突破，使得學生數學思維得以提升。

教學中，首先，引導學生去嘗試，以激活學生的思維。猜想能夠拓展學習視角，讓學生更有效地進入到問題探究之中。其次，搭建交流互動平臺，幫助學生展示自己，促進他們學習感知面的拓展和學習研究成果的匯聚。比如，學生采取換位策略，把多邊形分別替換為三角形、四邊形、五邊形等，從具體的多邊形開始研究，為提煉規律提供研究方向、方法。

總之，在小學階段的“排列組合”教學中，教師只要求學生根據實際問題用直觀的符號化方式算出排列數和組合數，并能夠初步提煉出思維過程即可，重要的是滲透有序思考和分類討論的數學思想方法，這才是小學階段“排列組合”問題的教學價值所在。