有理數(shù)的乘方（1）的教學與反思

徐姍姍

（南京師范大學附屬中學仙林學校初中部 江蘇南京 210046）

一、活動背景分析

有理數(shù)的乘方（1）選自蘇科版數(shù)學七年級上冊第二章第六節(jié)，有理數(shù)的乘方是有理數(shù)的一種基本運。它既是有理數(shù)乘法的推廣和延續(xù)，又是后繼學習有理數(shù)的混合運算、科學記數(shù)法、整式乘方，以及開方的基礎，起到承前啟后、鋪路架橋的作用。教師在這一課的教學過程中，可以培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，通過這一課的學習，對培養(yǎng)學生的學習能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想起到很重要的作用。小學時，學生已經(jīng)接觸過一些簡單的正數(shù)乘方，如邊長為a的正方形面積為a2，邊長為a的正方體體積為a3，也能進行一些簡單的乘方的運算。初中階段，學生剛剛學習了有理數(shù)的乘法運算，也掌握了有理數(shù)乘法運算的法則，尤其是多個有理數(shù)乘法運算的符號確定，這些都是有理數(shù)乘方運算的基礎。但是，學生在乘方運算的學習中符號的確仍然是一個難點，如（－a）n與－an的區(qū)分與辨析，仍是學生中的易錯內(nèi)容。

二、學習目標

1.在現(xiàn)實情境中理解有理數(shù)乘方、冪、指數(shù)、底數(shù)的概念及意義，培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括能力；能夠進行有理數(shù)的乘方運算。

2.經(jīng)歷由乘法轉(zhuǎn)化引入乘方的過程，體會數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系；并從中感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

3.能進行有理數(shù)乘方的計算，并通過觀察、推理、歸納出有理數(shù)乘方的符號法則，培養(yǎng)學生的符號意識。

三、學習重點

1.經(jīng)歷乘方概念的建立過程，理解并掌握有理數(shù)乘方、指數(shù)、底數(shù)的概念及意義。

2.有理數(shù)乘方的計算。

四、學習難點

1.有理數(shù)乘方意義的理解。2.底數(shù)、指數(shù)在乘方中的作用，有理數(shù)乘方的符號的確定。

五、學習過程

1.自主學習

（1）復習舊知：①有理數(shù)的乘法法則______。②幾個有理數(shù)相乘，如何判斷結果的符號？（2）an其中a叫做______，n叫做______。（3）在自學中，你有什么疑問？（4）生活中有哪些乘方的實例嗎？（播放拉面視頻）。

【設計意圖】讓學生復習舊知，在自主學習中體會新舊知識之間的聯(lián)系，意識到乘方知識是建立在乘法基礎上的。學生通過預習初步地了解乘方的概念，雖然可能還停留在表象，即淺層次知道什么是乘方，并不一定能理解其中的意義，但是學生可以感受生活中的實際例子，有助于對于概念的理解。

2.合作探究

活動：學生模擬拉面實驗。

問題1：100個2相乘怎么寫呢？你能想一個簡潔的表達方式嗎？

【設計意圖】模擬拉面實驗，情境與生活息息相關，讓學生體會到“數(shù)學源于生活，用于生活”的理念。既能讓學生動手體驗，又能通過實際操作，激發(fā)學生的探究興趣，從特殊到一般，從將繩子對折1次到對折20次，分別是2，2×2，2×2×2，2×2×2×2……發(fā)現(xiàn)結果是將許多個2相乘，逐步感受乘方的意義。這樣有利于培養(yǎng)學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模能力。學生列出算式，會發(fā)現(xiàn)100個2相乘寫成乘法形式很不方便，體會到乘法算式的局限性。教師進一步提問，讓學生思考有什么好的表達方式，并不一定要求學生說出2100，只要言之有理即可。一般情況下，學生可以根據(jù)小學學過的平方、立方的知識說出2100，并感受引入簡便表達的必要性。

問題2：n個2相乘怎么寫？n個a相乘呢？

歸納概念：一般地n個相同的因數(shù)a相乘。

問題3：你能用自己的話說說什么是乘方嗎？

【設計意圖】此處，教師并不直接給出乘方的概念，而是讓學生通過思考、歸納出什么是乘方，從而加深對乘方概念的理解。數(shù)學學習過程是基于學習個體已有知識基礎、認知基礎上的知識建構[1]。章建躍博士指出：概念教學的核心是概括，即以典型豐富的實例為載體，引導學生展開觀察，分析事例的屬性，抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學概念。本環(huán)節(jié)精心設計問題串，引導學生經(jīng)歷觀察、概括、抽象、歸納總結等活動，建構對乘方概念的定義、內(nèi)涵及其外延的理解，深化對乘方概念的理解，培養(yǎng)了學生學會觀察、善于總結、勇于表達的學習習慣，發(fā)展了學生的數(shù)學素養(yǎng)[2]。

3.訓練提升

（1）例題講解

例1：說出下列式子中的底數(shù)、指數(shù)，以及各式的意義并計算。

①26②73③（—3）4④（—4）3

提出問題：你自己寫一個正數(shù)的乘方，再寫一個負數(shù)的乘方。

（比較同學們寫的負數(shù)的乘方，如（—10）4與—104一樣嗎？如果不一樣，你能說出他們的區(qū)別嗎？）

【設計意圖】這里先不急于讓學生做題，首先要求學生準確地說出各式的意義，鞏固對乘方意義的理解，正確理解算理。在此基礎上再進行計算書寫，并規(guī)范板書，幫助學生養(yǎng)成良好的書寫規(guī)范。符號問題是本節(jié)課的難點，先讓學生自己寫幾個數(shù)的乘方形式，此時，學生寫出的算式中，負數(shù)的乘方寫法會出現(xiàn)分歧，如有的學生會寫（－10）4而有的學生會寫－104。這樣一來，就非常自然地發(fā)現(xiàn)新的問題：“這兩種寫法一樣嗎？”提出這個問題以后，先讓學生自己獨立思考，再進行小組討論，最終總結出兩者的區(qū)別，并幫助學生從讀法、形式、意義幾個方面去加以區(qū)分，在此多花一些時間加以強調(diào)，突破難點。類似（—10）4與—104這樣的易錯問題，需要有針對性地進行講解和辨析。先理解兩個式子意義上的不同，算理上的區(qū)別，再在讀法上加以區(qū)分，如（—10）4與—104分別讀作：“－10的四次方”和“10的四次方的相反數(shù)”。

例2：說出下列式子中的底數(shù)、指數(shù)，以及各式的意義并計算：

【設計意圖】 概念教學不僅是概念生成的過程，而且還包括概念的多種表達、對概念的深層次理解，以及概念的應用等。在上一個環(huán)節(jié)辨析的基礎上，的辨析，學生應該可以很快解決問題，并能從多個方面說出兩者區(qū)別。這里完全交給學生，讓學生自主辨析并說出區(qū)別。本節(jié)課的難點在于底數(shù)的辨析，學生在進行計算時的易錯點也在此。因此，在上一題的基礎上，需要再一次重點強調(diào)，給學生足夠的時間和空間去思考、總結、完善。經(jīng)過知識的遷移和拓展，學生能夠舉一反三，歸納總結，提高了數(shù)學思維能力。

（2）探索法則

（-1）10、（-1）7、是正數(shù)還是負數(shù)？怎么判斷它們的符號？

【設計意圖】引導學生結合乘法的符號法則，探索規(guī)律，并歸納乘方的符號法則。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)，負數(shù)的奇數(shù)次冪是負數(shù)，零的任何正整數(shù)次冪都是零。這個規(guī)律要求學生能用自己的語言描述即可，讓學生在反思中學會歸納和表達，并會用歸納出的規(guī)律進行計算，驗證運算結果，進一步培養(yǎng)學生的運算能力，體會分類討論的數(shù)學思想。

（3）鞏固訓練

第一，52表示____個____相乘，____是底數(shù)，____是指數(shù)。

【設計意圖】通過課堂練習，及時反饋學生本節(jié)課的學習情況，進一步鞏固乘方的概念、乘方運算法則，提高學生乘方運算的能力。

（4）課堂小結

本節(jié)課你學習了哪些知識？有什么收獲？

【設計意圖】幫助學生養(yǎng)成總結反思的習慣，進一步體會乘方的算理。以及學習過程中用到的數(shù)學思想方法。

六、教學反思

本節(jié)課是概念課，概念課不能簡而言之地一帶而過，然后反復練習、運算操作。這樣，學生無法體會真正的數(shù)學思維，無法理解數(shù)學思想，無法提升數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)學概念應盡量以“概念形成”的方式進行學習，使學生經(jīng)歷概念形成的過程[3]。同時，這節(jié)課不僅是一節(jié)概念課，而且還對今后的運算教學起著至關重要的作用。運算能力是一種重要的數(shù)學素養(yǎng)，需要對學生進行持續(xù)培養(yǎng)。本節(jié)課的教學讓學生經(jīng)歷了理解算法與算理之間的關系的過程，提升了學生的運算能力。在學習新的概念、公式、性質(zhì)的時候，學生的探索與發(fā)現(xiàn)會具有一定的局限性。這就需要教師在一旁進行引導，學生的思維和能力才能得到提升與發(fā)展。

1.優(yōu)化情境問題設計，激發(fā)學生學習興趣

一個好的問題情境能夠讓學生更快地進入學習狀態(tài)，對他們理解新的數(shù)學概念有著積極的促進作用。優(yōu)化情境問題的設計，不能僅僅停留在知識表面，還要深入思考知識背后的數(shù)學本質(zhì)、數(shù)學邏輯和生成路徑。這節(jié)課中，從生活中常見的“做拉面”的情景出發(fā)，用實例幫助學生體會從乘法到乘方的過程，逐步形成了乘方的認識，了解了算理。教師通過設置真實的情境，讓學生在活動過程中學習探究，讓抽象的數(shù)學知識變得形象、生動，改變學生對數(shù)學的刻板印象，改善學生對數(shù)學學習的情感、態(tài)度，體會數(shù)學的實用與趣味，提高學習數(shù)學的主動性。

2.學生活動設計恰當，培養(yǎng)學生的學習能力

我們的教學不僅要注重學生對知識的掌握情況，而且更需要體現(xiàn)學生在教學中的主體地位。教師要成為教學過程中的引導者、幫助者和促進者。所以，教學設計中，教師要以學生的“學”為主，給學生足夠的時間去操作、探索、發(fā)現(xiàn)。本節(jié)課，學生先通過觀看視頻有了感性認識，再進行觀察、猜想、歸納與總結，體會概念形成的過程，讓學生積極地參與到課堂學習之中，更為直觀地感受具體問題與數(shù)學問題之間的聯(lián)系。因此，筆者在前面的概念引入以及例題講解中花了較多的時間，力求學生在理解乘方意義的基礎上再進行計算。在上本節(jié)課之前，筆者聽了另外兩位老師的課。評課中，大家一致認為比較這里應該是本節(jié)課的難點。之前，有老師在總結了乘方的意義之后，便提出了這個問題，學生反應并不理想，難點過早的提出讓學生不知所措。學生對有理數(shù)乘方的意義尚未理解穩(wěn)固的時候提出這個難點問題，很容易被繞暈，并不能有效地突破難點.因此，這個部分不適宜在概念引出之后就提，筆者將它放在了例1之后，先利用例1對乘方概念加以鞏固，再讓學生自己寫一個負數(shù)的乘方。這時候就有學生寫了—104，于是很自然地便發(fā)現(xiàn)了問題：—104和（—10）4一樣嗎？這時通過讀法、形式兩個方面的比較，強調(diào)兩者的區(qū)別，學生掌握度較高。每個學生活動非常適時地出現(xiàn)在各個環(huán)節(jié)中，有效地解決了課堂中的重點和難點問題。不過在這部分還有一些做的不到位的地方，如果在強調(diào)了兩者區(qū)別之后，能把—104和（—10）4的計算過程在黑板上寫出來，那么，學生將有更直觀的體驗。這樣不僅知道了兩者的區(qū)別，而且也能感受到兩者算法的不同，為后面的計算做好鋪墊。

3.在教學中滲透數(shù)學思想方法，靈活應用知識解決問題

讓學生多說、多想、多做，老師不是替學生歸納，而是通過一系列的問題，讓學生積極思考，引導他們歸納、總結，體驗概念形成的過程。這樣，更有助于學生對概念的理解與記憶。同時，讓學生在預習的基礎上，感受生活中的乘方，將概念與生活實際緊密地聯(lián)系起來，讓學生體會到數(shù)學知識來源于生活，生活中少不了數(shù)學。概念課必須緊緊圍繞“概念”兩字，而這節(jié)課的重點是讓學生弄清楚乘方的意義。因此，每一個例題都先讓學生說出底數(shù)、指數(shù)以及該式的意義，不斷地強化概念。讓學生在說的過程中不斷強化有理數(shù)的乘方是化為有理數(shù)的乘法來進行計算，滲透轉(zhuǎn)化思想。在有理數(shù)乘方的符號法則的歸納過程中，滲透分類討論的思想方法。對于數(shù)學概念的真正理解主要表現(xiàn)為對數(shù)學概念的靈活應用，只有達到對于數(shù)學概念的靈活應用，才能顯現(xiàn)出數(shù)學概念的價值和意義。