電路原理與電機物理場建模的共性問題

岳雨霏 王旭紅 周臘吾 唐 欣 王 文 劉東奇 王偉平

（長沙理工大學電氣與信息工程學院,湖南 長沙 410114）

“電機學”作為電氣工程專業的核心基礎課程，是“電路理論”“電磁場”“大學物理”等理論課程在電氣領域得以應用的集大成者，也是“電力系統分析”“繼電保護”“電力電子技術”等專業核心課程的鋪路石[1]。“電機學”課程涉及范圍廣、內容多，且電機中所蘊含的物理場耦合作用復雜，同時與工程應用實踐結合緊密，因而學生在聽課過程中感覺難度頗大，高校教師在講授該門課程時需要較強的授課技巧，這對教師來說是一項嚴峻挑戰。

針對“電機學”課程在授課時存在的難度和問題，國內高校教師兵出奇招，從不同角度出發，采用多種形式對該門課程的教學方式進行探索和改進。付興賀等（2021）從對稱美學的視角出發，對電機的物理模型、微分方程、機電控制結構圖等原理所存在的對稱性進行解讀，并分析電機模型的對稱特征，增加了電機學理論的藝術氣息[2]。肖冬亞等（2021）從改進傳統教學法的思路著手，將翻轉課堂聯合問題導向，提高學生在學習電機理論知識過程中的主動性和參與度，從而提升教學效率[3]。基于學生主動學習這一理念，李建文等（2021）將課程思政元素融入電機學教學活動，遵循“構建知識體系→探究現象本質→制訂實驗方案→提煉科學問題”的教學思路和目標，將“發掘科學規律→培養終身學習意識→鍛煉合作協同能力→樹立科學探索精神和愛國主義情懷”的思政教育融入這一目標中，幫助學生樹立正確的科學觀和世界觀[4]。王明杰等（2021）則從理論與實踐相融合的角度，將實習實訓與電機理論知識有機結合，并實踐認知，在課堂上引入工程問題，引導學生思考；同時開啟課外討論小組，培養學生自學軟件編程，激發學生學習興趣[5]。

上述思路分別從“電機學”課程的理論研究和教學方法等方面進行了探索和改進。在實際教學中，學生普遍存在基礎知識不扎實的問題，迫切需要較為詳細和邏輯清晰的電機理論的闡述，而上述方法必須建立在學生對理論掌握程度較高的基礎上才能順利實施，因此，亟須探索一種結合所學知識的類比方法。“電路理論”與“電機學”同為電氣工程專業的基礎課，通常在本科一、二年級開設，為“電機學”提供良好的理論鋪墊，同時，“電路理論”課程與“電機學”課程開課時間十分接近，因而學生在開始接觸電機學時已具備較好的電路理論基礎。為此，本文提出將“電路理論”與“電機學”的知識體系進行類比的教學研究思路。田社平等（2021）指出電路理論可應用于非電學科，通過分析電路定理、向量法和互易定理在機械力學中的類比應用，證明了電路理論具有廣闊的應用前景[6]。李濤等（2021）利用電路理論分析城市景觀生態安全格局的構建方法，更體現了電路學知識與不同研究領域的兼容性[7]。

本文從電路定理出發，通過分析一階電路全響應機理、電路的歐姆定律和基爾霍夫定律的建模本質，以及電路疊加定理的深層含義，提煉出類似電路定理所蘊含的一般規律和共性問題，總結電路定理所涉及的物理場廣義模型，并提取共性特征。基于這一模型和關鍵特征，分析電機學中的溫度場和磁場建模思路和研究方法，簡化電機中抽象的物理現象，深度解讀物理場中復雜的耦合關系，以期增強學生在已知問題基礎上對新問題的領悟能力，使學生的知識遷移能力得到提升，從而進一步提高“電機學”的教學效率。

1 一階電路全響應模型與電機的發熱和冷卻建模的共性問題

1.1 直流激勵下的一階電路全響應模型

圖1中，（a）為直流激勵下的一階電路，假設電容電壓uC初始值為U0，閉合開關S，根據基爾霍夫電壓定律（Kirchhoff’s voltage law,KVL）可得：

式（1）中，uR=iR，電流i由電容決定，可表示為i=CduC/dt，代入式（1）可得一階電路微分方程為

根據電路學理論，求解方程（2）可得一階電路電容電壓在t≥0時的全響應表達式為：

式（3）中，T0=RC，為電路時間常數。

由式（3）可知，在一階電路全響應uC中，第一項為方程特解，與圖1（a）中直流激勵源變化規律相同，表示穩態分量；第二項為方程通解，不受激勵源影響，隨時間衰減，表示瞬態分量。綜合一階電路研究思路，

圖1 一階電路模型和電機傳熱等效模型

令某一物理場系統中待分析的物理量初始值為f（0+），穩態解為f(∞)，利用三要素法提煉得到該系統全響應f(t)表示為：

利用式（4）可得到物理場變量的最終狀態，若要分析變量的狀態變化過程，則將式（4）變換得到全響應的狀態表達式為：

1.2 電機發熱和冷卻模型

基于公式（4）和（5）的物理場全響應表達式，推導電機發熱和冷卻過程的數學模型。考慮到電機內部發熱和傳熱過程本質上屬于溫度場問題，因而將電機視為表面溫度和散熱能力均勻分布的質等溫體。首先，根據能量守恒定律和圖1（a）的電路模型，建立圖1（b）所示電機傳熱等效模型。

假設等溫體質量為m，初始溫升為τ0，閉合開關S，單位時間產熱Q，散熱Qs，物體內能增加量為ΔQ，根據熱力學定律和圖1（b）可得：

式（6）中，ΔQ=mγ，γ由物體單位時間內的溫升決定，表示為γ=cdτ/dt（c為比熱容量），散熱Qs=λAτ，代入式（6）可得等溫體熱能微分方程為：

由式（2）和（3）可知，方程（7）中溫升的穩態解τ∞和時間常數T可分別表示為：

則式（4）中的三要素在等溫體熱能模型中分別代表f(∞)=τ∞，f(0+)=τ0，T0=T，因此電機溫升τ(t)的全響應表達式為：

由式（9）可知，電機發熱過程中，隨著時間延長，溫升最終會穩定至τ∞。將式（9）根據式（5）進行變換，可得溫升變化過 程表達式為：

式（10）中，電機發熱階段，從環境溫度開始上升，初始溫升τ0=0，溫升達τ∞時發熱過程達到平衡狀態，產熱和散熱穩定進行，表示溫升的零狀態響應，則電機發熱函數可寫作

當處于冷卻階段時，電機內部不再產生熱量，即Q=0，則τ∞=0，溫升最終降至初始溫升τ0，電機溫度與環境溫度相同，表示溫升的零輸入響應，因而電機冷卻函數可表示為：

通過對一階電路全響應模型進行規律總結，可提煉得到任一物理場的全響應廣義模型，筆者利用該模型對電機發熱和冷卻過程的溫升情況進行建模分析，證明了該全響應廣義模型同樣適用于電機內部溫度場分析。教師在講解電機熱模型時，可首先指導學生復習“電路理論”中一階電路全響應數學解析式的推導過程，然后將電機熱模型與一階電路等效模型進行類比分析，指出二者之間的相似處，并從電路全響應建模過程提取共性特征，基于該特征推導電機熱模型，進而得到電機發熱和冷卻模型，幫助學生深刻理解電機傳熱和散熱的物理過程。

2 電路與電機磁路的歐姆定律與基爾霍夫模型的共性問題

2.1 歐姆定律

圖2（a）中，在電路兩端施加電壓源u，則回路中電流i與u的參考方向一致，在任何時刻u和i遵從歐姆定律，R為等效電阻，其表達式為

圖2 電路與磁路歐姆定律等效電路

對于電路歐姆定律所涉及的基本模型，可解讀為，在一個二端口閉合回路中，在回路一側兩端施加一激勵源，則產生流通閉合路徑的物理量，該物理量與激勵源取關聯參考方向，則任何時刻，二者都滿足確定的比例關系。由此，磁路歐姆定律的建模思路可理解為，在一個閉合單孔鐵芯磁路中，在一側兩端施加磁勢源F（由N匝通入電流i的線圈產生，即F=N i），則在鐵芯中產生流通整個磁路的磁通Φ，如圖2（b）所示，Φ與i的方向滿足右手螺旋定則，則F和Φ遵循如下比例關系：

式（14）中，Rm為鐵芯磁路的磁阻。

2.2 電路KCL與磁路基爾霍夫第一定律的類比

圖3（a）表示電路基爾霍夫電流定律（Kirchhoff’s current law,KCL）原理，即流入結點與流出結點的電流量相等，如式（15）所示。電路KCL本質模型可解讀為，在帶有支路的回路中，取支路結點或截面，通過該點或面的物理量代數和為0。在磁場中，區別于電流，磁通以面積作為衡量標準，因而磁路基爾霍夫第一定律的建模思路可定義為，在帶有支路的鐵芯磁路中，如圖3（b）所示，取支路截面，通過該截面的磁通量代數和為0，如式（16）所示。

圖3 電路KCL與磁路基爾霍夫第一定律等效電路

2.3 電路KVL與磁路基爾霍夫第二定律的類比

圖4（a）為電路KVL原理，即閉合電路回路內電壓代數和為0，如式（17）所示。電路KVL本質模型可解讀為，在閉合回路中，沿回路內規定正方向繞行一周的物理量代數和為0。則磁路基爾霍夫第二定律建模思路為，如圖4（b）所示任一閉合磁路內，磁動勢代數和為0，磁路①的基爾霍夫第二定律方程如式（18）所示。

圖4 電路KVL與磁路基爾霍夫第二定律等效電路

在講解電機磁路三大定律時，教師應首先幫助學生回顧電路三大定律，引導學生自主總結電路定律平衡方程的列寫規律，強調各定律對應電氣量所處的物理環境（節點或回路），然后以電路定律作為類比對象，依次列寫磁路定律平衡方程，并總結電路和磁路方程的共同點，提高學生對磁路知識的理解和掌握能力。

3 電路疊加定理與電機dq軸電樞反應建模的共性問題

3.1 電路疊加定理

圖5（a）所示電路包含兩個激勵源——獨立電壓源us和獨立電流源is，疊加定理要求分別分析us和is單獨作用時的電路響應，如圖5（b）和（c）所示，再疊加可得式（19）所示全響應i2和u1。因此，疊加定理本質可解讀為，當物理場中存在多個激勵源共同作用于某系統時，可分析各激勵源獨立作用下電路的響應情況，當一個激勵源作用時，其他激勵源賦值0，最后將各獨立源響應結果進行疊加，得到系統全響應。

圖5 電路疊加定理

3.2 根據疊加定理分析電機電樞反應

直流電機穩態過程可近似看作線性模型，當電刷偏離中性線時，電機的電樞反應可等效為交軸、直軸反應效果的疊加，如圖6所示。圖6（a）通過作物理中性線ab關于幾何中性線對稱的輔助線a' b'，將電刷偏離時的電樞電路分解為圖6（b）和圖6（c）所示等效電路的疊加形式。圖6（b）的上下對稱電路可得到交軸磁勢Faq的電樞反應，圖6（c）的左右對稱電路可得到直軸磁勢Fad的作用效果。最后綜合Faq和Fad的電樞反應作用。

圖6 直流電機電樞反應疊加原理

在論述電機電樞反應原理過程中，應引入疊加的概念，首先講解電路疊加定理的推導思路是將多激勵源電路進行分解，分別分析獨立激勵源作用下的電路響應，再進行線性疊加。在此思路的基礎上，指出電路疊加定理雖然僅用于線性齊次系統，但這種先分解后疊加的思想依然可應用于電樞反應原理分析。然后類比這種數學思想對同時存在交、直軸電樞反映的情況進行描述，并對如何判斷兩種電樞反應的磁勢方向和作用分別進行講解，培養學生對“電機學”課程的研究興趣。

4 結語

本文針對“電機學”和“電路理論”課程所涉及的物理場建模和電路定理所存在的共性問題進行了討論和分析。首先，通過提煉電路建模過程的規律性結論和共性問題，總結得到適用于物理場子系統的廣義建模方法，并提取模型關鍵特征。然后，將該建模思路遷移到電機物理場建模理論中，推導得到電機發熱和冷卻模型、磁路歐姆定律和基爾霍夫定律以及電機磁場的dq軸電樞反應分析模型。由推導解析式可知，利用該建模思路得到的電機物理場模型與電機教材理論模型一致，證明了本文對電路定理和電機物理場共性特征提取的正確性。這種研究思路有利于培養學生的知識遷移能力，同時能夠顯著提高教師教學的趣味性，調動學生聽課積極性，是一種增強“電機學”課程教—研—學過程有效性的新機制。