新課標導向下小學生數學抽象能力培養策略研究

文∣徐周亞

《義務教育數學課程標準(2022年版)》提出，培養學生數學核心素養就是要讓學生學會“三會”。“一會”是要會用數學眼光觀察現實世界,在形象思維的基礎上發展兒童的抽象思維。抽象是所有各門學科都具有的性質，沒有抽象就沒有科學。[1]從學科研究的角度來說，數學學科不同于其他學科。數學不研究具體的事物，而是研究從事物中抽象出來、不是現實存在的事物。不只是研究對象是抽象的，就連數學學科性質也是抽象的。處于前運算階段末期和具體運算階段前期的小學生，認知從擺脫具體動作過渡到能憑借具體事物或形象進行分類和理解邏輯關系，但運算仍脫離不了具體事物或形象的支持。抽象、推理和建模作為高中數學核心素養六要素中最重要的三個，體現了數學的抽象性、一般性、嚴謹性和應用性。因此，小學生抽象能力的提升得到了大多數學者的關注。本文緊扣數學課標中的數學核心素養“用數學的眼光觀察現實世界”，將小學數學學科抽象能力的培養作為研究重點，讓學生經歷抽象過程，感悟抽象方法，形成抽象思維，繼而提升抽象能力。

一、確定核心概念，經歷逐級抽象過程

(一)核心概念的呈現方式

數學抽象主要包括從數量和數量關系、圖形和圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體情境中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。[2]在確定核心概念時，學生通常會經歷從具象的現實事物抽象出共同的性質予以表征，再將抽象出的概念應用到新具象事物的過程，即呈現出“具象→抽象→具象”的過程；亦即從具體情境，歸納概括出模型，再應用模型解決新的實際問題逐級抽象過程，“情境→模型→應用”。[3]從具象到抽象，再由抽象回歸到具象，也是培養學生抽象能力的常用路徑。

(二)形式多樣的操作活動

教師在明晰了核心概念的逐級抽象教學方式后，再設計形式多樣的操作活動，將每一級抽象活動落到實處。逐步抽象的動手操作活動既能使抽象概念形象化，復雜知識簡單化，還能加深對核心概念的內涵理解。

如在教學北師大版小學數學一年級“100以內數的認識”時，對于學生來說，要認識抽象的計數單位、位值的意義是有一定難度的。教師可以在“數一數”這一課上，依次設計數小棒、數方塊和撥計數器活動。撥計數器原來在教材中是屬于下一節課的，目的是讓學生學會“寫數認數、數的構成、數的意義”。而將計數器安排在“數一數”這節課中，是想讓學生經歷完整的計數單位在不同模型中的表現形式。讓學生經歷“數花生→數小棒→數小方塊→撥計數器→讀數寫數”活動，從具象的事物計數開始，抽象到用小棒代替事物，再抽象到按群計數的小方塊，最后經歷抽象程度最高的撥計數器活動，學生在經歷形式多樣、逐漸抽象的操作活動中體會計數單位之間的十進關系和位置概念。然后，教師再呈現數學的語言——用數字表示數量，讓學生掌握符號，理解計數內涵。

在北師大版小學數學六年級“圓的認識”一課中，抽象的對象是圖形和圖形關系。為了讓學生能夠抽取數學元素，實現抽象能力的進階，教師可設計“從生活中抽象出圖形，建立圓的圖形表象”“從圖形中抽象出關系，加深圓的特征認識”“由方形抽象出圓形，探究圓的本質內涵”“由抽象回歸具象，實現圓的生活運用”等四個環節的逐步抽象活動，讓學生從具象到抽象，再回到具象(如圖1所示)。

圖1 “圓的認識”教學流程圖

在“圓的認識”教學中，環節一通過從生活實物中抽象出圓的過程，建立圓的圖形表象。環節二承接環節一的不同畫圓方法，介紹圓的各部分名稱，介紹圓心、半徑和直徑，探究影響圓大小和位置的因素。讓學生經歷從圖形中抽象出圖形關系的過程，加深學生對圓的特征認識和關系的理解。環節三是學生經歷了三次抽象活動后，由抽象回歸到具象，將所學數學知識用于解決生活中的實際問題，實現圓在生活中的運用。

二、緊扣知識聯系，掌握關聯抽象方法

(一)知識本質的縱橫聯系

教材的知識編排呈現出螺旋上升式發展。教師在備課時，不僅要關注教學中的學習目標和學習內容，還要思考教材為何這樣編寫，知識點背后呈現出怎樣的邏輯結構和內在聯系，學生的已有認知與將要學習的內容產生哪些勾連。數學知識本就抽象，要讓學生在抽象且零散的知識點中獲取知識的本質，需要建立知識之間的橫向和縱向聯系。學生只有對知識內容的內在聯系梳理清楚了，才不會將相似的知識混淆。

(二)關聯抽象的展開方式

當出現相似教學內容時，教材會用相同的數學工具或模型幫助學生理解數學知識本質。倘若把相似教學內容的模型分開，不利于學生理解模型的本質，只有找到模型之間的聯系，找到運用模型的有效抓手，確定關聯抽象的展開方式，才能有助于學生更好地掌握關聯抽象的方法。

例如，小學階段學生會學習不同的四邊形面積計算公式，教師可由平行四邊形出發，緊扣圖形面積之間的聯系，關聯抽象面積公式的計算方法。

三、歸納通性通法，培養數學抽象思維

當學生在具體的課例中經歷了抽象過程，掌握了抽象的方法后，結合自己現有的認識思維基礎，倘若能歸納總結出知識的通性和通法，完善自身的數學抽象思維，抽象能力可得到提升。教師可以從簡約清晰的數學表達、符號使用的數學思考和概括普適的數學模型這三方面來培養和檢驗學生的數學抽象能力。在“字母表示數”中，從文字表達到多種舉例，最后抽象出運用符號表示數量和數量關系的數學思考。在“相遇問題”中，從等量關系入手，歸納總結出ax+bx=c的相遇問題模型，并將其應用至兩人同時做一件事情，如工程問題、注水問題、購物問題等都可以運用ax+bx=c來解決。能應用普適的數學模型是學生數學抽象思維的體現。

抽象能力的培養還可以通過研究與抽象有關的數學思想來實現。如“正比例”中的變與不變思想，“分扣子”中的分類思想，找“公倍數”中的集合思想，“植樹問題”中的數形結合思想，“運算律”中的符號化思想等。抽象能力的培養不是一蹴而就的，它是基于學生的形象思維和抽象思維慢慢轉換的一個循序漸進的過程，在此過程中，教師一方面要深刻把握抽象的本質內涵，另一方面要在課堂實踐中不斷探索提升學生抽象能力的規律和策略，以實現高質量學科教學。