考慮靜差消除的混沌電力系統有限時間命令濾波反步控制

李靜賢， 王 聰， 張宏立， 張紹華

(新疆大學 電氣工程學院，烏魯木齊 830047)

大規模的電網互聯為電力生產和消費帶來了巨大的便利，但是其高度復雜化的網絡結構以及大量非線性電氣設備的接入，會導致電力系統對參數擾動、時間延遲更為敏感[1]。電力系統本身是一個強非線性、強耦合性、多變量的動態系統，具有復雜的非線性動力學行為，更容易引發整個電力系統的劇烈振蕩，甚至失穩[2-4]。在實際電力系統中，混沌現象時有發生，導致相角發散、頻率振蕩和電壓崩潰，甚至會導致災難性的停電[5-7]。因此，采取有效的控制策略對電力系統的混沌振蕩現象加以控制，對整個電力系統的安全穩定運行具有重要意義。

近年來，針對電力系統的混沌振蕩現象，文獻主要集中于動力學行為分析和混沌控制策略研究。文獻[8]結合滑模控制原理，提出一種失配擾動觀測器的設計方法，有效緩解了電力系統混沌振蕩的問題，從而保證電力系統的穩定運行。文獻[9]針對六維三母線電力系統，基于李雅普諾夫自適應算法，結合協同控制理論設計控制量，解決了電力系統混沌振蕩問題。文獻[10]基于LaSalle不變性原理，提出一種自適應控制律，將不穩定的系統漸近穩定到平衡點，從而控制電力系統達到穩定。文獻[11]設計了一種基于模糊監督器的滑模控制律，使系統滿足Lyapunov穩定，從而抑制系統混沌振蕩、消除控制信號顫動。文獻[12]針對受控電力系統，定義對應的宏變量，設計具有連續控制律的協同控制輸入，從而有效抑制系統的振蕩。

以上方法針對電力系統的混沌振蕩都表現出較好的控制效果，但是控制量結構復雜，在實際工程中的實現較為困難。采用有限時間穩定原理的控制策略設計更加符合實際工程需求，并且在電力系統混沌控制中的應用較少[13]。文獻[14-16]分別針對參數不確定的永磁同步電機、處于振蕩狀態的機械臂以及串級連續攪拌反應釜系統，采用模糊邏輯對未知的非線性函數進行逼近，加入命令濾波器及誤差補償器對系統控制器進行設計，并證明了系統的有限時間穩定。但上述方法是在系統正常運行狀態下進行跟蹤控制，未探討系統處于混沌狀態下的控制效果，并且該控制方法僅采用比例反饋律，沒有考慮系統跟蹤控制過程中產生的靜態誤差問題。

本文基于以上研究，針對電力系統的混沌現象，提出一種考慮靜差消除的有限時間命令濾波反步控制方法。通過徑向基神經網絡對電力系統中相互耦合的復雜未知非線性項進行逼近，加入命令濾波器及誤差補償器，實現對虛擬控制量的求導及誤差補償；同時，考慮到跟蹤過程中的靜差問題，引入誤差積分反饋律，進一步削弱控制量之間的耦合關系，并達到靜差消除的目的；最后，通過反步法得出電力系統的控制律，并推導出系統滿足有限時間穩定，使系統輸出穩定在期望的軌道上，從而間接實現電力系統的混沌控制。理論推導與仿真試驗證明，本文所提的控制方法能夠有效抑制電力系統的混沌振蕩現象，消除系統靜態誤差，保證了電力系統的安全穩定運行。

1 三節點四階電力系統模型

本文將具有可變電壓幅度形式的電力系統作為研究對象，其系統模型如圖1所示[17-18]。

圖1 電力系統模型Fig.1 Power system model

系統由電機端和負荷端組成。其中，負荷模型包括并聯的恒定PQ負載和動態感應電動機，感應電機需要根據負載電壓和頻率來指定電動機的有功和無功功率要求。根據圖1構建三節點四階電力系統的動力學模型

(1)

式中：δm為發電機電壓相角；ω為電機的角速度；δ為負載電壓相角；V為負載電壓；P0，Q0分別為電動機的恒定有功功率和無功功率；P1，Q1分別為PQ負荷的有功功率和無功功率；Kpω，Kpv，Kqω，Kqv，Kqv2，T為比例系數。M，dm和Pm分別為發電機的慣性、阻尼和機械功率；η表示為

η=arctan(Kqω/Kpω)

取系統參數如表1所示。

表1 三節點四階電力系統參數表Tab.1 Three-node fourth-order power system parameter table

系統參數Q1取不同的值時，電力系統呈現出不同的動力學特性。當Q1取值范圍為 [11.376 6,11.382 0]時，電力系統處于混沌狀態。

圖2和圖3分別給出了Q1=11.379 0時電力系統的相軌跡和時間響應曲線。圖2的相軌跡表現為：局部來看，系統背離平衡點，做無序的振蕩運動，處于不穩定狀態；全局上來看，系統的相軌跡局限于固定區域內，沒有發散至無窮遠處。圖3給出了電力系統輸出的時間響應曲線，其輸出均在一定的范圍內做無規律的振蕩運動，并處于無序狀態。因此可以定性得出，電力系統處于混沌振蕩的運行狀態。

圖2 電力系統相軌跡Fig.2 Power system phase trajectory

圖3 電力系統各輸出時間響應曲線Fig.3 Power system output time response curve

圖4給出了Q1=11.379 0時電力系統Lyapunov指數譜，其輸出的最大Lyapunov指數分別為：0.243 01，-0.182 02，-5.277 90，-61.681 40，存在最大Lyapunov指數大于零的情況。因此可以定量得出，電力系統處于混沌振蕩的運行狀態。

圖4 電力系統Lyapunov指數譜Fig.4 Power system Lyapunov exponent spectrum

由以上分析可得，電力系統中出現混沌現象時，往往伴隨著系統的振蕩，甚至引發系統的裂解、崩潰，直接影響電力系統的安全穩定運行。因此，采取適當的控制策略抑制電力系統的混沌振蕩現象，對于電力系統的正常穩定運行具有重要的意義。

2 考慮靜差消除的混沌電力系統有限時間命令濾波反步控制

根據式(1)，取[δm，ω，δ，V]=[x1，x2，x3，x4]。發電機電壓相角δm與并網端電壓相角保持相對穩定，對于保證發電機功率傳輸的穩定性至關重要，一般通過控制發電機組角速度ω來實現發電機電壓相角δm的穩定性，故將控制量作用在電機的角速度ω上，實現對發電機電壓相角δm的控制。同時，為了保證電力設備的供電安全，需要實現負載電壓相角δ的穩定。在阻感性負載下，負荷將產生一定的無功功率，而過多的無功功率會造成電力系統電壓V的抬升，甚至越線，通常采用無功補償設備來實現對電力系統中無功能量的吸收及電壓V的調節。因此本文采用將控制量作用在負載電壓V上，從而達到對負載電壓相角δ的穩定控制。綜合功率傳輸的穩定性及電力設備的供電安全雙重因素，考慮在方程組的第二、第四項中分別加入控制量u1和u2，得到如下的受控電力系統模型

(2)

本文的控制目標為：針對三節點四階電力系統，設計一種具有靜差消除的有限時間命令濾波反步控制策略，使得系統的輸出x1與x3能夠跟蹤上期望的軌跡xd1與xd2，讓系統的跟蹤誤差收斂至原點。

假設1f1(X)，f2(X)，f3(X)均為具體形式的連續未知函數，其一階導數連續有界。

在實際電力系統中，f1(X)，f2(X)，f3(X)均為以電力系統的4個狀態變量作為自變量，由常函數、三角函數、指數函數等基本初等函數的有理運算組合而成的初等函數，其一階導數均滿足連續的要求。同時電力系統的4個狀態變量均為歸一化的標幺值，取值范圍均有界，有界函數的有理運算仍為有界函數，因此，f1(X)，f2(X)，f3(X)的一階導數滿足有界性，其具體形式將在下文給出。

假設2 理想軌跡xd1，xd2連續、有界，其一階導數和二階導數均連續有界。

引理1 本文采用的二階命令濾波器，其定義為

(3)

引理2 萬能逼近定理：若f(X)為定義在緊密集Ω上的連續函數，則必定存在一個徑向基神經網絡WTS(X)，使f(X)=WTS(X) +ξ(X)成立。其中W=[w1,w2, …,wn]T為線性加權項，n為神經網絡的節點數，S(X)=[p1(X),p2(X), …,pn(X)]T為徑向基函數向量。ξ(X)為逼近誤差，且滿足‖ξ(X)‖≤ε。其中第j個徑向基函數表示為

(4)

引理3 楊氏不等式：對于?(Φ,Ψ)∈R，有

(5)

成立。其中：(p-1)(q-1)=1，p>1，q>1；Θ>0。

引理4 有限時間理論：存在函數V(x)∈C2，χ1，χ2∈K∞，式(2)滿足

χ1(‖x‖)≤V(x)≤χ2(‖x‖),
LV(x)≤-μ1V(x)+μ2

(6)

則式(2)在有限時間內穩定。其中，μ1，μ2均大于零。

由于傳統的反步法會引入虛擬控制量的各階導數項，導致計算爆炸的問題[19-21]。本文引入命令濾波器，來逼近虛擬控制律以及其一階導數項。因此定義系統的跟蹤誤差為

(7)

考慮到命令濾波器的加入會產生濾波誤差，使濾波器輸入輸出信號之間產生相位差，影響到系統跟蹤性能。因此本文引入誤差補償變量δi(i=1,2)來消除濾波誤差對系統產生的影響。定義加入誤差補償后，系統的誤差子系統為

(8)

步驟1由上述定義的補償后誤差變量為

r1=e1-δ1

(9)

對式(9)求導可得

(10)

構造Lyapunov函數為

(11)

對其求導可得

(12)

設計虛擬控制率α1和誤差補償變量δ1的導數為

(13)

(14)

式中，k1，k11為參數，且滿足k1>0,k11>0。將式(13)和式(14)代入式(12)中得

(15)

步驟2由上述定義的第二個補償后的誤差變量為

r2=e2

(16)

對其進行求導，可得

(17)

構造Lyapunov函數為

(18)

對其進行求導可得

(19)

其中，

(20)

由于變量x1，x2，x3，x4為歸一化后的標幺值，均為有界變量，由式(20)可知，f1(X)二階可導，則f1(X)一階導數連續且有界。

(21)

且有|ξ1|≤ε1。由引理3可知

(22)

則有

(23)

在這一步中，存在真實的控制律，設計控制律u1為

(24)

式中，k2為參數，且有k2>0。將式(24)代入式(23)得

(25)

步驟3設計x1與x2的Lyapunov函數為

(26)

對式(26)進行求導，可得

(27)

步驟4由上述定義的第三個補償后的誤差變量為

r3=e3-δ2

(28)

對其進行求導，可得

(29)

構造Lyapunov函數為

(30)

對其進行求導，得到

(31)

其中，

(32)

由于變量x1，x2，x3，x4為歸一化后的標幺值，均為有界變量，由式(32)可知，f2(X)二階可導，則f2(X)一階導數連續且有界。

(33)

且有|ξ2|≤ε2。由引理3可知

(34)

則有

(35)

在這一步中，設計虛擬控制率α2以及誤差補償變量δ2的導數為

(36)

(37)

式中，k3，k22為參數，且滿足k3>0,k22>0。將式(36)和式(37)代入式(35)得

(38)

步驟5上述定義的第4個補償后的誤差變量為

r4=e4

(39)

對其進行求導，可得

(40)

構造Lyapunov函數為

(41)

對其進行求導，得到

(42)

其中，

(43)

由于變量x1，x2，x3，x4為歸一化后的標幺值，均為有界變量，由式(43)可知，f3(X)二階可導，則f3(X)一階導數連續且有界。

(44)

且有|ξ3|≤ε3。由引理3可知

(45)

將式(45)代入式(42)則有

(46)

在這一步中，設計真實的控制率u2為

(47)

將式(47)代入式(46)得

(48)

步驟6設計系統的Lyapunov函數為

(49)

對式(49)進行求導，可得

(50)

3 穩定性證明

設計系統的Lyapunov函數為

(51)

在上述控制律的作用下，可求得Lyapunov函數的導數為

(52)

系統滿足

(53)

其中，

μ1=min{2k1,2k2,2k3,2k4}

(54)

(55)

由引理4可知，式(2)在有限時間內收斂至原點。

由于電力系統狀態變量之間存在復雜、非線性的耦合關系，當系統參數選取在特定范圍時，狀態變量呈現振蕩且無序的變化狀態，導致電力系統不能穩定運行。本文考慮加入外界控制量來打破混沌狀態，使電力系統脫離混沌，正常運行。由以上分析可知，在上述控制律的作用下，混沌電力系統能夠在有限時間內跟蹤期望的穩定軌道，從而脫離混沌狀態，實現電力系統的混沌控制。

4 仿真結果分析

為驗證本文所設計方法的有效性，搭建三節點四階電力系統動力學模型，設計如上文所推導的控制律，對本文的方法進行驗證。

選取系統參數見表1，同時選取命令濾波器的參數為：ξ=0.5，ωn=200。選取控制量的參數為：k1=100，k2=10，k3=100，k4=10，k11=300，k22=300，h1=1，h2=0.6，h3=0.6。選取系統的跟蹤信號為：xd1=0.02，xd2=0.002cos(20t)+0.12。

采用徑向基神經網絡對電力系統中的三個未知非線性函數f1(X)，f2(X)，f3(X)進行逼近，考慮到逼近時徑向基神經元的個數與函數的復雜程度不同，最終其擬合效果如圖5所示。

圖5 徑向基神經網絡逼近f1，f2，f3Fig.5 RBF neural network approximates f1, f2, f3

由圖5可以得出，采用徑向基神經網絡可以很好得逼近復雜的非線性函數，其擬合程度較高，其中f1(X)的逼近誤差最大值約為±0.02，f2(X)的逼近誤差最大值約為±0.015，f3(X)的逼近誤差最大值約為±0.016，擬合誤差較小，可見采用徑向基神經網絡逼近方法可以較為精確地還原電力系統中連續未知函數的輸入輸出特性，為實現混沌電力系統的精確控制提供了基礎。

對文中設計的兩個虛擬控制信號分別加入命令濾波器及誤差補償器。圖6和圖7分別給出了加入誤差補償器前后命令濾波器1、2的輸出誤差情況，命令濾波器的輸入為虛擬控制信號，其輸出為虛擬控制信號的濾波和導數。由于虛擬控制信號包含檢測噪聲，采用命令濾波器可以實現對高頻噪聲的濾除，但會造成虛擬控制信號在幅值和相位上的失真，采用誤差補償器對信號進行補償，更精確的還原虛擬控制信號及其導數，增加濾波及求導的可靠性。從圖6可以得出，命令濾波器1在未加入補償之前，濾波誤差最大值約為0.04，加入補償變量δ1之后，虛擬控制信號在幅值和相位上的失真進一步減少，濾波誤差得到了有效抑制，基本為零；從圖7可以得出，命令濾波器2在未加入補償之前，濾波誤差最大值約為0.015，加入補償變量δ2之后，濾波誤差幅值進一步減少，誤差曲線更為平滑。可見加入誤差補償器能夠有效抑制濾波誤差，提高控制量的精確性，從而達到更好的混沌電力系統控制效果。

圖6 命令濾波器1誤差補償效果對比Fig.6 Command filter 1 error compensation effect comparison

圖7 命令濾波器2誤差補償效果對比Fig.7 Command filter 2 error compensation effect comparison

圖8給出了δm，ω，δ，V的初始值分別為0.3，0，0.2，0.97時的電力系統零輸入時間響應曲線，電力系統的電機電壓相角、電機的角速度、負載電壓相角、為、負載電壓都呈現為往復的振蕩、發散狀態，混沌且無序。可見在未對電力系統施加有效控制時，電機電壓相角、電機的角速度、負載電壓相角和負載電壓之間存在深度耦合關系，無法自主脫離混沌狀態，處于不穩定運行狀態，極易導致電力系統崩潰。

圖8 零輸入時間響應曲線Fig.8 Zero input time response curve

圖9給出了電力系統加入控制量前后的時間響應曲線。在電力系統進入混沌振蕩后的20 s處加入控制量u1，在25 s處加入控制量u2。在加入控制量前，各個狀態變量處于混沌狀態，在控制量u1加入后，系統馬上脫離了混沌狀態，振蕩現象得到了有效抑制，加入控制量u2之后，電力系統仍然處于穩定狀態。可見采用考慮靜差消除的有限時間命令濾波反步控制方法，能快速的讓電力系統脫離混沌振蕩狀態，保證了電力系統的安全穩定運行。

圖9 加入控制量系統時間響應曲線Fig.9 Add the time response curve of the control quantity system

圖10和圖11分別給出了加入誤差積分反饋律前后的電機電壓相角δm跟蹤效果。加入誤差積分反饋律，本質是對誤差系統進行升階，引入誤差積分項，當誤差系統達到穩定時，誤差積分項存在靜態誤差，而誤差項不存在靜態誤差，因此可以消除混沌系統控制過程中的靜態誤差。圖10和圖11可以得出，未加入控制量時，發電機電壓相角處于混沌振蕩的狀態；在20 s處加入控制量u1，電機電壓相角迅速響應，電力系統脫離混沌，并與跟蹤信號xd1達到同步，由圖10和圖11的局部放大圖可以得出，未加入誤差積分反饋律前，電機電壓相角不能實現完全跟蹤，存在靜態誤差，加入誤差積分反饋律后，系統在積分作用下實現了靜態誤差的消除，和跟蹤信號完全重合；在25 s處加入控制量u2，因控制量u2的跟蹤信號為頻率信號，和電機電壓相角之間存在狀態反饋關系，造成了電機電壓相角的微小振蕩，但其均值仍然服從跟蹤信號xd1。從以上分析可以得出，采用考慮靜差消除的有限時間命令濾波反步控制方法可以解決傳統控制方法存在的穩態誤差問題，進一步提高了混沌電力系統控制的精確性。

圖10 未加誤差積分反饋律δm的控制曲線Fig.10 Control curve of δm without error integral feedback law

圖11 加入誤差積分反饋律δm的控制曲線Fig.11 Control curve of δm with error integral feedback law

圖12和13分別給出了加入誤差積分反饋律前后的電機電壓相角δm的跟蹤誤差，未加入誤差積分反饋律前，電機電壓相角的跟蹤誤差穩定在0.000 27處，沒有實現完全跟蹤，并且受到控制信號u2的影響較大，呈正弦波動狀態；加誤差積分反饋律后，跟蹤誤差穩定在0處，實現完全跟蹤，并且對u2引起的正弦擾動具有一定的抑制效果，未加入誤差積分反饋律時，其幅值為0.000 02左右，加入誤差積分反饋律后，幅值基本為0，進一步削弱了電力系統控制量u1和u2之間的耦合關系。通過以上兩個誤差圖可以更加直觀地得出，加入誤差積分反饋律能夠有效消除控制過程中產生的靜態誤差，進一步抑制不同控制變量的耦合對控制效果的影響，可以有效提升混沌電力系統的控制效果。

圖12 未加誤差積分反饋律δm的跟蹤誤差Fig.12 Tracking error of δm without error integral feedback law

圖13 加入誤差積分反饋律δm的跟蹤誤差Fig.13 Tracking error of δm with error integral feedback law

圖14和圖15給出了加入誤差積分反饋律前后負載電壓相角δ的跟蹤效果。由圖14和圖15可以得出，在20 s處加入控制量u1，負載電壓相角的混沌狀態得到了抑制，穩定為常數，在25 s處加入控制量u2，負載電壓相角迅速與跟蹤信號xd2達到同步。未加誤差積分反饋律前，負載電壓相角與跟蹤信號之間存在直流偏移，具有較為明顯的幅值和相位跟蹤誤差；而加入誤差積分反饋律后，跟蹤誤差隨積分的作用逐漸減少，跟蹤過程中的幅值和相位偏移得到有效消除，達到了更好的控制效果。從以上分析可以得出，采用考慮靜差消除的有限時間命令濾波反步控制方法可以解決傳統控制方法在跟蹤頻率信號幅值和相位上的不足，達到更好的混沌電力系統控制效果。

圖14 未加誤差積分反饋律δ的控制曲線Fig.14 Control curve of δ without error integral feedback law

圖15 加入誤差積分反饋律δ的控制曲線Fig.15 Control curve of δ with error integral feedback law

圖16和圖17給出了加入誤差積分反饋律前后負載電壓相角δ的跟蹤誤差曲線，在25 s處加入控制量u2，兩者的跟蹤誤差都向零快速收斂。加入誤差積分反饋律前，負載電壓相角的跟蹤誤差最終保持-0.005左右，并存在明顯的正弦擾動，不能很好的跟蹤頻率信號；加入誤差積分反饋律后，因積分作用，跟蹤誤差快速收斂到零，并且正弦擾動也得到了有效抑制，具有更好的頻率跟蹤控制效果。從以上兩個誤差圖可以清晰得出，加入誤差積分反饋律能有效消除頻率信號跟蹤時存在的直流偏移，抑制了跟蹤誤差的波動性，進一步提高混沌電力系統控制的可靠性。

圖16 未加誤差積分反饋律δ的跟蹤誤差Fig.16 Tracking error of δ without error integral feedback law

圖17 加入誤差積分反饋律δ的跟蹤誤差Fig.17 Tracking error of δ with error integral feedback law

5 結 論

本文以三節點四階電力系統作為研究對象，揭示了電力系統的混沌振蕩現象。為抑制該現象的發生并消除控制過程中存在的跟蹤誤差，提出一種靜差消除的混沌電力系統有限時間命令濾波反步控制方法，給出了詳細的公式推導和設計步驟，并證明其能在有限時間內跟蹤期望軌道，使系統脫離混沌，間接實現了電力系統的混沌控制。仿真試驗表明，采用有限時間命令濾波反步控制，電力系統的電機電壓相角δm和負載電壓相角δ能夠快速地跟蹤給定信號，讓電力系統脫離混沌狀態；加入誤差積分反饋律進一步削弱了不同控制量之間的耦合影響程度，解決了該控制方法無法消除靜態誤差的問題，使電力系統電機電壓相角和負載電壓相角的跟蹤誤差分別由0.000 27和0.005收斂至0左右；將控制量u2引起的正弦擾動從幅值為0.000 02收斂至0左右。該控制方法能夠有效抑制電力系統的混沌振蕩現象，保證了電力系統的安全穩定運行。